黄金分割的空间拓展.doc

黄金分割的空间拓展在自学华东师大版八年级（下）数学教科书第71页的阅读材料黄金分割之后，我发现目前对黄金分割的研究主要集中在黄金分割点（一维）。经过深入地研究，我创造性提出了“黄金分割的空间拓展”。黄金分割的空间拓展是数学领域的一个新课题，现阶段对其研究尚处于初级阶段。目前对“黄金分割点（一维）”中的黄金分割数0.618的研究很多，但是对于“黄金分割线（二维）”、“黄金分割面（三维）”的研究还非常少。而黄金分割线、黄金分割面同样在生产生活中有着广泛的应用，比如在军事、医学、天文、气象、城市规划、人功智能、实验的优选、工艺美术等诸多领域有着广泛的应用。ABCD图 1我们已经知道，如图1，如果线段AB被点C分成线段AC和BC，且，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。通过计算可知黄金比为称此为黄金分割数，取三位小数约为0.618。即0.618,其中有3个重要的等式:2+-1=0; 2=1-; .为了研究方便，我把2 =1-0.382和称为广义的黄金分割数。我们通过图形可以发现黄金分割点具有对称性：容易得出，如果线段AB上另有一点D，满足BD=BAAD，那么D点也是AB的黄金分点，因此，一条线段的黄金分割点应该有两个：其中点C简称线段AB的“第一种黄金分割点”，点D简称线段AB的“第二种黄金分割点”我把这些统称为“黄金分割点（一维）”。因为，所以点D不仅是线段AB的第二种黄金分割点，也是线段AC的第一种黄金分割点。同样地，点C既是线段AB的第一种黄金分割点，也是线段BD的第二种黄金分割点目前，社会各界对黄金分割点已经进行过大量的研究，这里就不再说明了，我将在下面重点阐述“黄金分割线”和“黄金分割面”。一、“黄金分割线”类似“黄金分割”的定义，我对“黄金分割线”进行定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线。同样地，黄金分割线也存在相应的广义黄金分割线。下面我着重对三角形、平行四边形、梯形、圆等几种常见的平面几何图形的黄金分割线存在情况进行探索。（一）三角形的“黄金分割线”在中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则线段CD是的黄金分割线 过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DFCE，交AC于点F，连接EF（如图3），则线段EF也是的黄金分割线AEDCB图4图图ADB图2CADB图3CFE证明：线段CD是的黄金分割线理由如下：设的边AB上的高为h, 又点D是AB边上的黄金分割点 即线段CD是的黄金分割线 又CD是的黄金分割线 即线段EF也是的黄金分割线 在中，（如图4）若点D、点E分别为AB、AC边上的“第一种黄金分割点”，则线段DEBC且DE是广义的黄金分割线。证明：点D、点E分别为AB、AC边上的“第一种黄金分割点“ DEBC又DE是广义的黄金分割线同理可得，若点D、点E分别为AB、AC边上的“第二种黄金分割点” 则线段DEBC且DE是广义的黄金分割线AEDCB图5图图F在中，（如图5）若点D是AB边上的“第一种黄金分割点”，点E是AC边上的“第二种黄金分割点“，则 DEBF 且 证明：点D是线段AB的黄金分割点 同理可得：DEBF又线段BF是ABC的黄金分割线 联合、可得： 由此，我们可以得出：三角形存在无数条的黄金分割线，其中如图4的这条黄金分割线的位置非常优美，可以说是众多黄金分割线中“模特儿”，已经被人们广泛的应用。（二）平行四边形的“黄金分割线”如图6，若点E是ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF/AD，交DC于点F，则线段EF是ABCD的黄金分割线EFCBDA图6证明：设ABCD边AB上的高为hS=SABCD=ABh S1=SEBCF=BEh又点E是ABCD的边AB的黄金分割点,即线段EF是ABCD的黄金分割线如图7，若取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则线段MN就是ABCD的黄金分割线如图8，若在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM/NE交AB于点M，连接MN，则线段MN也是ABCD的一条黄金分割线 图7 图8证明： SNGF=SMGES四边形MBCN= SEBCF 设S=SABCD，S1= S四边形MBCN又SEBCF：SAEFD=（上题已证），即线段MN就是ABCD的黄金分割线同理可得：线段MN就是ABCD的黄金分割线由此可见，平行四边形有无数条黄金分割线。（三）梯形的“黄金分割线”如图9，在梯形ABCD中，点E、F分别是上底边安定和下底边BC的黄金分割点，则线段EF是梯形ABCD的一条黄金分割线。证明：如图9所示，设梯形ABCD的高为h BAEFCDh图9 又点D是上底边AD的黄金分割点 同理可得： 即线段EF是梯形ABCD的一条黄金分割线如图10，在梯形ABCD中，点E、F分别是上底边安定和下底边BC的黄金分割点，上面已证线段EF是梯形ABCD的一条黄金分割线，现过线段EF的中点G任作一条直线，使得直线与上底边AD、下底边BC分别交与点P和Q，则线段PQ是梯形ABCD的一条黄金分割线。BAEFCDh图 10PQG证明：在 ADBC 又， 又， 前面已证过： 即线段PQ是梯形ABCD的一条黄金分割线。 由此可见，梯形有无数条黄金分割线。 （四）圆的“黄金分割线” 如图11，若弦AB是O的一条黄金分割线，设AB=2a, O的半径为r,弦AB所对的圆周角为，则。ABCDO图11证明：， 又弦AB是是O的黄金分割线 等式两边同时除以,得：令0 ，则 等式两边同时平方，得： 再令，0 ，则即 或（不合题意，舍去） 即 由此可见，圆有无数条黄金分割线。 二、“黄金分割面”类似“黄金分割线”得定义：截面将一个体积为的图形分成体积为、的两个图形，且，则称平面为该图形的黄金分割面下面，我着重对棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等常见的立体图形的黄金分割面的存在情况进行探索。（一）棱柱：四棱柱的“黄金分割面”如图12，长方体ABCD-EFGH中，T是线段AB上的黄金分割点，那么经过T点且平行于平面BCGF的截面QRST是长方体的黄金分割面。证明：,于是,BADCEFHGQRST图12且，即截面QRST将体积为的长方体，分成左、右两块体积分别是、,故截面QRST是长方体的黄金分割面由对称性，我们容易知道长方体还存在另一个黄金分割面由此可见，长方体有无数个黄金分割面。棱柱体也存在无数个黄金分割面。（二）三棱锥的“黄金分割面”如图13，三棱锥P-ABC中，线段BD是的黄金分割线，那么截面PBD就是三棱锥P-ABC中的一个黄金分割面。PADBC图13证明：设三棱锥P-ABC的高为h，体积为V；三棱锥P-ABD的体积为. 线段BD是的黄金分割线 又 所以，截面PBD就是三棱锥P-ABC中的一个黄金分割面。 推广：从顶点P连结的任意一条黄金分割线，所得的截面就是三棱锥P-ABC的黄金分割面。（三）圆柱的“黄金分割面”如图14，设整个圆柱的体积为V，点C是母线AB上的黄金分割点，过点C作一个平面平行于圆柱的底面（如图所示的阴影圆）则该阴影圆就是圆柱的一个黄金分割面。证明：设上圆柱的体积为V1，下圆柱的体积为V2，底面圆的面积为S CBA图14 V1=SAC V2=SBC V=SAB又 点C是母线AB上的黄金分割点 即该阴影圆就是圆柱的一个黄金分割面同样，由对称性，我们容易知道圆柱还存在另一个黄金分割面如图15，若弦EF、GH分别是两个底圆的黄金分割线，则矩形EFGH是圆柱ABCD的一个黄金分割面。证明： 设圆柱ABCD的体积为V，高为h,底圆的半径为r,立体图形EBF-HCG的体积为 , CBA图15DHGFE 又 弦EF是底圆的黄金分割线 即矩形EFGH是圆柱ABCD的一个黄金分割面。由此可见，圆柱也有无数个黄金分割面。（四）圆锥的“黄金分割面”如图16，圆锥OAB，若点D是母线OB的黄金分割点，经过点D作一个平面使得所作的平面平行于圆锥的底面，和圆锥相交于E，ABCDOEF图16则小圆锥OCD的体积与大圆锥OAB的体积比为。证明：设圆锥OAB的高为H，F的半径为R，体积为V 圆锥OCD的高为h，E的半径为r，体积为V1则： V=，=如图17，圆锥OAB，若E所在的平面是圆锥OAB的一个黄金分割面时，ABCDOEF图17则。证明：设圆锥OAB的高为H，F的半径为R，体积为V， 圆锥OCD的高为h，E的半径为r，体积为V1，圆台的体积为V2E所在的平面是圆锥OAB的一个黄金分割面即即又OEDOFB解关于的方程，得：R0即当时, E所在的平面是圆锥OAB的一个黄金分割面如图18，若弦EF是C的黄金分割线，则OEF是圆锥OAB的一个黄金分割面。 证明：设圆锥OAB的体积为V，高为h,ABFOEC图18C的半径为r，立体图形O-EBF的体积为 ， 又弦EF是C的黄金分割线 即OEF是圆锥OAB的一个黄金分割面。由此可见，圆锥也有无数个黄金分割面。棱锥也存在无数个黄金分割面。推广：从圆锥的顶点O连结底圆的任意一条黄金分割线，所得的截面就是圆锥的黄金分割面。黄金分割点、线、面三者在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感；建筑物中某些线段的比、面积的比、体积的比就科学采用了黄金分割、黄金分割线、黄金分割面。舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。植物界也有