2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程33.2双曲线的简单性质学案北师大版选修.docx

32双曲线的简单性质学习目标：1.掌握双曲线的简单性质(重点)2.感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想(难点)双曲线的简单性质标准方程1(a0，b0)1 (a0，b0)图形性质焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性关于x轴，y轴和原点对称顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长实轴长2a，虚轴长2ba叫实半轴长，b叫虚半轴长离心率e(e1)渐近线yxyx思考：(1)椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？(2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？提示(1)不一样椭圆的离心率0e1.(2)当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线yx的双曲线可设为(0，R)，当0时，焦点在x轴上，当0时，焦点在y轴上1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)方程1(a0，b0)的渐近线方程为yx.()(2)双曲线1的实轴长为6.()(3)离心率越大，双曲线的开口就越大()(4)等轴双曲线的离心率为.()答案(1)(2)(3)(4)2若双曲线1的离心率为，则实数k的值为()AB.C6 D6C由题意可知k0，b0)，则.A(2，3)在双曲线上，1.由联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.A(2，3)在双曲线上，1.由联立，解得a28，b232.所求双曲线的标准方程为1.法二：(双曲线系法)由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为y2(0)，A(2，3)在双曲线上，(3)2，即8.所求双曲线的标准方程为1.由双曲线的简单性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2ny21(mn0)，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为避免讨论焦点的位置.2(1)已知双曲线的一条渐近线方程是x2y0，且双曲线过点P(4,3)，求双曲线的标准方程；(2)双曲线的离心率等于2，且与椭圆1有相同的焦点，求此双曲线的标准方程解(1)法一：双曲线的一条渐近线方程为x2y0，当x4时，y2yp3.双曲线的焦点在y轴上从而有，b2a.设双曲线方程为1，由于点P(4,3)在此双曲线上，1，解得a25.双曲线方程为1.法二：双曲线的一条渐近线方程为x2y0，即y0，双曲线的渐近线方程为y20.设双曲线方程为y2(0)，双曲线过点P(4,3)，32，即5.所求双曲线方程为y25，即1.(2)椭圆1的焦点坐标为(4,0)和(4,0)，则可设双曲线方程为1(a0，b0)，c4，又双曲线的离心率等于2，即2，a2，b2c2a212.故所求双曲线方程为1.求双曲线的离心率探究问题1若双曲线焦点在x轴上，且渐近线方程为yx，请求出双曲线的离心率提示双曲线焦点在x轴上，则，e.2双曲线1(a0，b0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|2|PF2|，能否求出双曲线离心率的取值范围？提示由双曲线的定义知，|PF1|PF2|2a.又|PF1|2|PF2|，|PF2|2a，|PF1|4a.|PF1|PF2|F1F2|(当P为双曲线右顶点时取等号)，6a2c.3.又e1，10，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()A.B.C. D3思路探究：根据双曲线的定义，求出|PF1|PF2|的值由|PF1|PF2|ab，建立a、b、c三者之间的等量关系求解解析考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，则|PF1|PF2|2a，而|PF1|PF2|3b，两式等号左右两边平方后相减，得|PF1|PF2|.又已知|PF1|PF2|ab，ab，得(负值舍去)该双曲线的离心率e.答案B(变条件)条件“|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab”改为“若PF1PF2，且PF1F230”，结果如何？解作出满足题意的几何图形(如图)，利用PF1PF2及PF1F230，求出a，c的关系式设点P在双曲线右支上PF1PF2，|F1F2|2c，且PF1F230，|PF2|c，|PF1|c.又点P在双曲线的右支上，|PF1|PF2|(1)c2a，e1.1求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e；二是依据条件提供的信息建立参数a、b、c的等式进而转化为离心率e的方程，再解关于e的方程即可2求离心率的范围时，常结合已知条件构建关于a，b，c的不等关系，再转化为含e的不等关系求解1中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是()A.1B.1或1C.1D.1或1B由题意：a5，b3，且焦点不确定，应选B.2双曲线1的渐近线方程是()AyxByxCyx DyxC由题意，焦点在x轴上，且a2，b3，故渐近线方程为yx.3已知双曲线x21，那么它的焦点到渐近线的距离为_解析c2134，c2.焦点坐标为(2,0)，又渐近线方程为yx，焦点到渐近线的距离为d.答案4已知双曲线C经过点(1,1)，它的一条渐近线方程为yx，则双曲线C的标准方程是_解析设双曲线标准方程为3x2y2(0)，把(1,1)代入得312122，所以双曲线方程为3x2y22，即1.答案15已知以双曲线