屏蔽二进阵列偶的构造方法研究.doc

第7期蒋挺等：屏蔽二进阵列偶的构造方法研究7屏蔽二进阵列偶的构造方法研究蒋挺, 施炯, 周正（北京邮电大学 泛网无线通信教育部重点实验室，北京 100876）摘 要：准最佳、双准最佳屏蔽二进阵列偶具有良好周期相关特性，是对最佳屏蔽二进阵列偶的扩充。为深入完善屏蔽二进阵列偶理论，在最佳二进阵列偶、准最佳和双准最佳二进阵列偶构造方法研究的基础上，给出了3种最佳、准最佳、双准最佳屏蔽二进阵列偶的构造方法，即准最佳、双准最佳屏蔽阵列偶的复合构造法，利用最佳与准最佳屏蔽二进阵列偶来构造最佳屏蔽二进阵列偶，以及利用准最佳和双准最佳屏蔽二进阵列偶来构造准最佳屏蔽二进阵列偶。关键词：信息论；屏蔽二进阵列偶；最佳信号；相关信号中图分类号：TN911.22 文献标识码：A 文章编号：1000-436X(2008)07-0001-06Study of methods for constructing punctured binary array pairsJIANG Ting, SHI Jiong, ZHOU Zheng(Key Laboratory of Universal Wireless Communication, Beijing University of Posts & Telecommunications, Ministry of Education, Beijing 100876, China)Abstract: Quasi-perfect punctured binary array pairs and doubly quasi-perfect punctured binary array pairs are good periodic correlation signals. They are extension of the perfect punctured binary array pairs. As a complement to the theory of punctured binary array pairs, three methods were proposed for constructing perfect punctured binary array pairs, quasi-perfect punctured binary array pairs and doubly quasi-perfect punctured binary array pairs, which base on the methods for constructing perfect binary array pairs, quasi-perfect binary array pairs and doubly quasi-perfect binary array pairs. A composite method for constructing quasi-perfect punctured binary array pairs and doubly quasi-perfect punctured binary array pairs; a method for constructing perfect punctured binary array pairs using perfect punctured binary array pairs and quasi-perfect punctured binary array pairs; a method for constructing quasi-perfect punctured binary array pairs using quasi-perfect punctured binary array pairs and doubly quasi-perfect punctured binary array pairs.Key words: information theory; punctured binary array pair; perfect signal; correlation signal1 引言收稿日期：2007-05-04；修回日期：2008-03-22基金项目：国家自然科学基金重点资助项目(60432040)；国家自然科学基金资助项目(60572020, 60772021)；国家教育部博士点基金资助项目(20060013008, 20070013029)Foundation Items: The Major Program of National Natural Science Foundation of China(60432040); The National Natural Science Foundation of China (60572020, 60772021); The Ph.D. Programs Foundation of Ministry of Education of China (20060013008, 20070013029)最佳二进阵列偶1具有优良的周期相关特性，应用这种阵列偶可以使通信系统的接收端与发送端使用不同的信号进行相关检测，即在通信系统的发射端和接收端各取2个阵列偶中的任一阵列，在接收端计算阵列偶的自相关函数来达到提取信息的目的。但是最佳二进阵列偶存在空间有限，最佳屏蔽二进阵列偶2的提出，为最佳离散信号理论又增添了新的内容，为工程应用提供了更多具有良好循环相关特性的离散信号。同时，准最佳3、双准最佳屏蔽二进阵列偶是对最佳屏蔽二进阵列偶的扩充。因此，研究屏蔽阵列的构造方法是很有必要的。本文在最佳二进阵列偶、准最佳和双准最佳二进阵列偶构造方法46研究的基础上，给出了最佳、准最佳、双准最佳屏蔽二进阵列偶的构造方法。本文其余部分的组成为：第2节给出本文所引用的基本定义；第3节给出准最佳、双准最佳屏蔽阵列偶的复合构造法；第4节给出利用最佳与准最佳屏蔽二进阵列偶来构造最佳屏蔽二进阵列偶的方法；第5节给出利用准最佳和双准最佳屏蔽二进阵列偶来构造准最佳屏蔽二进阵列偶的方法；第6节是本文的结束语。2 基本定义定义11 设和 是2个n维阶阵列，其中，称X和Y组成一个n维阵列偶，记为（X, Y）；称为该阵列偶的体积。若X和Y中的元素取值为，则称阵列偶（X, Y）为n维二进阵列偶（或二元阵列偶）。定义21 若阵列偶(X, Y)的循环自相关函数满足=(1)则称阵列偶(X, Y)为n维最佳二进阵列偶。定义32 若屏蔽二进阵列偶(X, Y)的自相关函数满足=(2)则称屏蔽二进阵列偶(X,Y)为最佳屏蔽二进阵列偶。定义43 若(X, Y)为n维阶屏蔽二进阵列偶，将其构成为另一阵列偶(X1, Y1)为n维阶二进阵列偶，其中，表示取整，。若屏蔽二进阵列偶(X1,Y1)的自相关函数满足如下条件=(3)其中，； ，； ， ，；则称(X, Y)为准最佳屏蔽二进阵列偶；阵列偶(X1, Y1)为(X, Y)的准生成屏蔽阵列偶。定义5 若(X, Y)为n维 阶屏蔽二进阵列偶，将其构成一阵列偶(X2, Y2)为n维阶屏蔽二进阵列偶，其中表示取整，。若阵列偶(X2,Y2)的自相关函数满足如下条件(4)其中，；， ，； ， ，；则称(X, Y)为双准最佳屏蔽二进阵列偶；阵列偶(X2, Y2)称为(X, Y)的双准生成屏蔽阵列偶。定义64 设(X1,Y1)为m维 阶阵列偶， ；设(X2,Y2)为n维阶阵列偶，其中，；若这2个阵列偶构成一个新的阵列偶(X, Y)；其中则称阵列偶(X, Y)为阵列偶(X1, Y1)和(X2, Y2)的复合阵列偶。3 准最佳、双准最佳屏蔽二进阵列偶的复合构造法根据之前给出的最佳二进阵列偶，最佳、准最佳、双准最佳屏蔽二进阵列偶的定义，以及阵列偶的复合构造法，我们可以利用2个低维低阶的阵列偶来构造高维高阶的准最佳、双准最佳屏蔽二进阵列偶。定理1 设(X1,Y1)为m维阶最佳二进阵列偶，其中, ；设(X2,Y2)为n维阶准最佳屏蔽二进阵列偶，其中，；则该2个阵列偶的复合阵列偶(X,Y)为维阶准最佳屏蔽二进阵列偶。证明 由复合阵列偶的定义和准最佳屏蔽二进阵列偶的定义，得(X,Y)的准生成阵列偶则准生成阵列偶的自相关函数为故复合阵列偶(X,Y)为准最佳屏蔽二进阵列偶。 证毕推论1 设阵列B为m维阶最佳二进阵列，其中；设(X2,Y2)为n维阶准最佳屏蔽二进阵列偶，其中, ；则该2个阵列的复合阵列偶(X,Y)为维阶准最佳屏蔽二进阵列偶。证明 由于阵列B为m维最佳二进阵列，则(B,B)也是最佳二进阵列偶，再由定理6即可证得推论1成立。 证毕推论2 设(X1,Y1)为m维阶最佳屏蔽二进阵列偶，其中，；设(X2,Y2)为n维阶准最佳屏蔽二进阵列偶，其中，；则该两个阵列偶的复合阵列偶(X,Y)为维 阶准最佳屏蔽二进阵列偶。推论2的证明可由最佳屏蔽二进阵列偶与准最佳屏蔽二进阵列偶的定义，再由定理1即可证得。定理2 设(X1, Y1)为m维阶最佳二进阵列偶，其中，；设(X2, Y2)为n维阶双准最佳屏蔽二进阵列偶，其中 , ；则该2个阵列偶的复合阵列偶(X, Y)为维阶双准最佳屏蔽二进阵列偶。证明 由复合阵列偶、双准最佳屏蔽二进阵列偶的定义，可得(X, Y)的双准生成阵列偶则生成阵列偶的自相关函数为故复合阵列偶(X,Y)为双准最佳屏蔽二进阵列偶。 证毕推论3 设阵列B为m维阶最佳二进阵列，其中；设(X2,Y2)为n维阶双准最佳屏蔽二进阵列偶，其中， ；则该两个阵列的复合阵列偶(X,Y)为维阶双准最佳屏蔽二进阵列偶。推论3的证明可由最佳二进阵列与双准最佳屏蔽二进阵列偶的定义，再由定理2就可证得。推论4 设(X1, Y1)为m维阶最佳屏蔽二进阵列偶，其中，；设(X2, Y2)为n维阶双准最佳屏蔽二进阵列偶，其中, ；则该2个阵列偶的复合阵列偶(X,Y)为维 阶双准最佳屏蔽二进阵列偶。推论4的证明可由最佳屏蔽二进阵列偶与双准最佳屏蔽二进阵列偶的定义，再由定理2即可证得。4 利用最佳与准最佳屏蔽二进阵列偶来构造最佳屏蔽二进阵列偶定理3 设和 是n维阶二进阵列，其组成的阵列偶(X1, Y1)为最佳屏蔽二进阵列偶；设和是n维阶二进阵列，其组成的阵列偶(X2, Y2)为准最佳屏蔽二进阵列偶；且两阵列偶的屏蔽位数相等即p=p1=p2；对任意的一组；令则由X*,Y*所构成的二进阵列偶(X*,Y*)为n维阶最佳屏蔽二进阵列偶。其中表示取整，。证明 阵列偶(X*,Y*)的自相关函数为可以分3种情况来证明该阵列偶满足最佳屏蔽二进阵列偶所定义的条件，得到结果因此，由最佳屏蔽二进阵列偶的定义，可以证得(X*,Y*)为n维阶最佳屏蔽二进阵列偶。 证毕定理4 设和 是n维阶二进阵列，其组成的阵列偶(X1,Y1)为最佳屏蔽二进阵列偶；设和是n维阶二进阵列, 其组成的阵列偶(X2,Y2)为准最佳屏蔽二进阵列偶；且两阵列偶的屏蔽位数相等，即p=p1=p2；对任意的一组；令则由X*,Y*所构成的二进阵列偶(X*,Y*)为n维阶最佳屏蔽二进阵列偶。其中表示取整，。定理4的证明省略。5 利用准最佳与双准最佳屏蔽二进阵列偶来构造准最佳屏蔽二进阵列偶定理5 设和 是n维阶二进阵列，其组成的阵列偶(X1,Y1)为准最佳屏蔽二进阵列偶；设和是n维阶二进阵列，其组成的阵列偶(X2,Y2)为双准最佳屏蔽二进阵列偶；且两阵列偶的屏蔽位数相等，即p=p1=p2；则对任意的一组 ；令则由X,Y所构成的二进阵列偶(X,Y)为n维阶准最佳屏蔽二进阵列偶。其中表示取整， 。证明 阵列偶(X,Y)构成的准生成屏蔽阵列偶(X*,Y*)的自相关函数满足下列条件可以分2种情况来证明该阵列偶满足准最佳屏蔽二进阵列偶所定义的条件，得到结果因此，可以证得(X,Y)为n维阶准最佳屏蔽二进阵列偶。 证毕定理6 设和 是n维阶二进阵列，其组成的阵列偶(X1,Y1)为准最佳屏蔽二进阵列偶；设和是n维阶二进阵列，其组成的阵列偶(X2,Y2)为双准最佳屏蔽二进阵列偶；且两阵列偶的屏蔽位数相等，即p=p1=p2；对任意的一组 ；令则由X,Y所构成的二进阵列偶(X,Y)为n维阶准最佳屏蔽二进阵列偶。其中表示取整，, 。定理6的证明省略。6 结束语本文在最佳二进阵列偶、准最佳和双准最佳二进阵列偶构造方法研究的基础上，给出了三种最佳、准最佳、双准最佳屏蔽二进阵列偶的构造方法，即准最佳、双准最佳屏蔽阵列偶的复合构造法，利用最佳与准最佳屏蔽二进阵列偶来构造最佳屏蔽二进阵列偶，以及利用准最佳和双准最佳屏蔽二进阵列偶来构造准最佳屏蔽二进阵列偶。参考文献：1赵晓群, 何文才, 王仲文等. 最佳二进阵列偶理论研究J. 电子学报,1999,27(1):34-37.ZHAO X Q, HE W C, WANG Z W, et al. The theory of the perfect binary array pairsJ. Acta Electronica Sinica, 1999,27(1):34-37.2蒋挺, 赵晓群, 侯蓝田. 最佳屏蔽二进阵列偶理论研究J. 电子学报,2004,32(2):282-286.JIANG T, ZHAO X Q, HOU L T. The theory of perfect punctured binary array pairsJ. Acta Electronica Sinica, 2004,32(2):282-286.3蒋挺, 赵成林, 周正. 准最佳屏蔽二进阵列偶理论研究J. 电子学报,2007,35(1):80-85.JIANG T, ZHAO C L, ZHOU Z. On quasiperfect punctured binary array pairsJ. Acta Electronica Sinica, 2007,35(1):80-85.4何文才, 赵晓群, 贾世楼等. 最佳二进阵列偶的复合构造法J. 电子学报,1999,27(4):51-54.HE W C, ZHAO X Q, JIA S L, et al. A composite meth