矩阵对角化方法的研究.doc

矩阵对角化方法的研究目 录摘要 IAbstract .II第一章 绪论11.1 引言11.2 预备知识11.2.1 可对角化概念及判断是否可对角化相关知识：11.2.2 相关结论知识：2第二章 矩阵对角化方法探究52.1 矩阵对角化的方法52.1.1 一般矩阵的3种对角化方法52.1.2 实对称矩阵的对角化10第三章 运用143.1 已知特征值和特征向量，求原矩阵143.2 计算方阵的高次幂14参考文献:17致谢18. 2 矩阵对角化方法的研究学生：胡邦群 指导教师：何聪教师摘要 对角矩阵是矩阵中形式最为简单但其地位却十分重要，因此对矩阵对角化问题的研究很有价值。本文主要介绍了对于一般矩阵的3种对角化方法并对实对称矩阵的对角化方法以及对角矩阵的运用做了相关补充，同时配例题加以阐述。关键词: 特征值；特征向量；可对角化；矩阵初等变化；正交变换；线性无关STUDY OF MATRIX DIAGONALIZATION METHODStudent: Hu Bangqun Supervisor: He CongAbstract Diagonal matrix is the matrix form of the most simple ,but its position is very important. So the study torque Angle problem are valuable. This paper mainly introduces the three methods and the general matrix of real symmetric matrices diagonalization method as well as the application of diagonal matrix made relevant supplement, at the same time are discussed with examples.Keywords: The characteristic value; The feature vectors; Can diagonalization; Matrix elementary change; Orthogonal transformation; Linearly independentII第一章 绪论1.1 引言对角矩阵在矩阵理论意义非凡，因而探究矩阵对角化方法很有实用价值。主要表现在：利用合同关系化解二次型矩阵以及在不同基下矩阵具有相似的特征。基于这些知识我们可以很方便求矩阵的方幂，方阵的逆和行列式等问题，再者，我们知道在复数域C上矩阵一定与上（下）三角阵（若尔当矩阵）相似，但仅在某种特定的条件下才可相似于对角阵。本文着重介绍一般矩阵对角化的三种方法：一、利用特征值和特征向量将矩阵对角化，二、利用矩阵的初等变换将矩阵对角化，三、利用矩阵的乘法运算将矩阵对角化。然后又对实对称矩阵的对角化方法作了补充，并对对角矩阵的运用作了适当阐述，同时用例子加以说明。1.2 预备知识为了更加严密的阐述本文，特此摘录了相关定义、定理、结论：1.2.1 可对角化概念及判断是否可对角化相关知识：对角矩阵：是一个主对角线之外的元素皆为零的矩阵，对角线上的元素可以为零或其值。定义1：设，若存在的一组基使得在这组基下的矩阵为对角矩阵，那么我们就说是一个可对角化的线性变换。以上定义等价于:定义2 设，若存在一可逆矩阵使得那么就说是一个可对角化矩阵。特别说明:若令，那么定义2中的式子等价于即:可逆矩阵使得第列是矩阵的属于特征值的特征向量。性质定理: 设那么定理1 若或在数域中有个互异的特征值，那么或可对角化。定理2 或可对角化的充要条件为当或有个线性无关的特征向量。定理3 或可对角化的充要条件为当任意特征值，特征根的几何重数等于其对应的代数重数，即的重数。定理4 或可对角化的充要条件为当或的最小多项式没有重根。定理5 或 可对角化的充要条件为当 其中是或的互异的特征值。定理6 或 可对角化的充要条件是当对任意，有秩的重数。定理7 矩阵可对角化的充要条件为的不变因子没有重根。定理8 矩阵可对角化的充要条件为的初等因子全为一次。1.2.2 相关结论知识：结论1. 对于任一个阶实对称矩阵，一定存在阶正交矩阵使得为对角矩阵。证明：对阶数作数学归纳法。当时显然成立。假设当取阶实对称矩阵成立，即存在阶正交矩阵使得表示对角矩阵，再证明阶实对称矩阵也成立设是的一个特征值，是属于的特征向量，那么 由于特征向量的倍数任为特征向量，故可设为单位向量，再将其扩充为上一组标准正交基，以为第一列，以这个正交单位向量为列构成一个正交矩阵，其中不一定为的特征向量，于是有及 因为为正交矩阵，所以有，且为标准正交向量组，于是第一列为 因此可得由，又为实对称矩阵所以有得为对称矩阵，于是 为阶实对称矩阵，而由归纳假设知存在阶正交矩阵使得不妨令易得，即是正交矩阵，且有 其中为的特征值。证毕结论2若是实对称矩阵,则的特征值都是实数,且的不同特征值的特征向量相互正交.结论3.若为的互异的特征值，如果可对角化，则的列向量为对应于的特征向量，且列向量的极大线性无关组是特征向量空间的一组基。第二章 矩阵对角化方法探究2.1 矩阵对角化的方法2.1.1 一般矩阵的3种对角化方法方法一:利用特征值和特征向量对角化。先通过解，通过看其特征值来看有无重特征值，若无重特征值或有重特征值但其特征值的代数重数等于几何重数则可对角化，那么对每个解方程组得相应的特征向量，从而求得一个可逆矩阵使得,（其中表示对角矩阵）。方法二：利用矩阵的初等变换化为对角矩阵 当所有特征值为单根时：先给出引理1：设是以为秩的阶矩阵，并且 其中是秩为的行满秩矩阵，那么齐次线性方程组的基础解系则为矩阵的个行向量。证明如下：矩阵左乘一阶可逆矩阵T得： 由（1），（2）知： 解得再两边同时取转置得,则有的解即为的行向量，故证毕。引理2：特征矩阵可以经过一系列初等变换得上三角（或下三角）矩阵，且矩阵的全部特征值即为主对角线上的元素乘积的多项式的解。证明如下： 显然先看的第一列，假设不全为零，不妨取作，经初等行变换，可变为： 如果则本就这种形式。再看的第一列，若不全为零（全为零则有）选择的幂最低的元素，记为，对进行行变换，使得该列全部元素的幂都小于进而选择其中幂最小的元素，记为，按如此步骤进行一系列初等行变换，直到最终化为 然后对进行上述变换，最终化为：易知与等价。引理3：数域上的阶方阵，如果的特征多项式在内有个单根，则由特征向量构成的可逆矩阵,使得定理9：如果阶方阵的特征多项式在数域上有个单根，那么可以由以下方法对角化：令1）为上三角矩阵，则有方阵的特征值即为主对角线上元素乘积的解。2）对方阵的任意特征根有中零行向量所对应的中的行向量与之对应。说明：由以上引理已知定理9成立。例1：已知,方阵能否可对角化，若不可以说明理由，若可以，求出其对角化后的方阵。解：因为 易得： 故方阵可对角化。当时，分别代入和可知第三行为零，结合定理9知的第三行向量为属于的特征向量，同理分别属于，的特征向量。于是可得当特征值有重根时 当特征值有重根时，可将方阵化为上（下）三角矩阵，然后再进行一系列初等行变换，这样就可避免上（下）三角矩阵中非零行向量可能不构成行满秩。相关定理：定理10：令,那么有为对角矩阵，则有： 1）的每个特征值，在中与中零行向量相对应的行向量则为所对应的特征向量。 2）若为的全部互异的特征值，为其对应的重数，那么可以对角化的充要条件为中零的行数与所对应的重数相等。 给出如下证明： 1)、由于具有相同的秩，总存在可逆的矩阵使得,为对角矩阵，故有 因 则有 进而有不妨设中有行零元素，则与其对应的个对角元素，取中列向量则有，又可逆，故又可逆结合易得是所对应的个线性无关的特征向量即为中零向量所对应的中的行向量。2)可对角化，结合1）的证明得: 所以可对角化即证毕因此当特征值有重根时对角化方法如下:由其中那么的特征值为的根 如果的特征值全含在内，再则对于每个特征值都满足中零行数与的重数相等，那么就说可对角化，否则不可对角化。就对于每个在中均找到与中零行相对应的行向量并且这些向量线性无关。例2：试说明方阵是否可对角化，若可以求出其对角化后的方阵。解：由题意可得满足中零行数等于的重数，所以可对角化。将代入中知第二、三行为零，根据定理10知的第二行向量和第三行向量即为属于的特征向量，同样为属于的特征向量。因此可得使得方法三：利用矩阵乘法对角化定理11 令是在数域上的全部互异的特征值1)如果,那么就说可对角化。2)设为的重根，那么属于的特征向量为矩阵列向量的前列由上例知：是的全部不同特征值，且有故可对角化，结合定理11知：1是二重根，因此属于1的特征向量是列向量组的前两列,属于4的特征向量是的前一列。于是可求得可逆矩阵,则有 2.1.2 实对称矩阵的对角化方法一：由结论1知：实对称矩阵一定可对角化，则可利用二次型的合同，配方，相似等知识结合特征值和特征向量将矩阵对角化。（求特征值，求对应特征向量， 将特征向量标准正交化， 构造出使得）方法二：定理12：若为实对称矩阵且有，分别对应于特征值的特征向量。记是生成的子空间，生成的子空间。令 那么满足即线性方程组的解，其中是对应特征值的特征向量，从而有与是的一组正交基。证明如下： 由结论2证明 用数学归纳法证明： 当 的系数矩阵的秩一定有非零解，不妨取且满足：故属于维实向量空间，定有，则可由线性表出。进而不全为零。 假设当时，可得且是对应于的特征向量。 当时，因可得：的系数矩阵的秩因此有非零解，不妨取由于所以有从而可由线性表出，故不全为零，因而是属于特征值的特征向量。 综上所述，且是一组正交基。例3:设，求使得是的特征值。解：因为由得由结论1知一定可对角化，的最小多项式为再由结论3和可得：对应于特征值的特征向量为,由可得对应特征值的特征向量为，令由定理12得再标准化得 从而得到正交矩阵 可以验证说明：Schmidt正交方法是先对线性无关的特征向量正交后再单位化,涉及到商的运算;而本法在求解齐次线性方程组时,利用齐次线性方程组的结果,可降低计算的复杂度。第三章 运用3.1 已知特征值和特征向量，求原矩阵说明：若已知阶矩阵的个线性无关的特征向量以及对应的特征值，若令 那么，故，因此当可对角化时可以根据特征值和特征向量求解原矩阵。例 4：已知1,1,2是3阶实对称矩阵的特征值，属于2的特征向量为试求原矩阵解：设的属于1的特征向量为那么由实对称矩阵属于不同的特征值的特征向量正交可得即所以属于二重特征值1的两个线性无关的特征向量为 不妨令 则有，所以 3.2 计算方阵的高次幂说明：事实上若有，那么有 对于对角矩阵有故 例5： 已知，求解：的特征值为且两两互异，故对角矩阵相似，即存在可逆矩阵使得故从而 又由于，所以结论本文主要总结了一些矩阵对角化的方法，简捷方便，易于操作，可以在遇到实际问题需要矩阵对角化做以参考，并且对于矩阵运用方面也做了一些阐述，但依旧有很多不足之处，为了更加深入理解高等代数关于对角化的重要思想，还应该知道在不同条件下矩阵对角化的每一种方法以及定理的理论依据，本文因为自身知识能力有限以及文章篇幅有限等原因在此就不做过多阐述。参考文献: 1陈汉藻.矩阵可对角化的一个充要条件【J】.数学通报，1990，（2）：30-31 2马杰,邹本腾,漆毅,等.线性代数辅导M.北京:机械工业出版社,2003:321.3李尚志.线性代数M.北京:高等教育出版社,2006:504.4李高明,张明礼.求矩阵特征向量的一个新方法J.高等数学研究,2006(4):892955高吉全.矩阵特征根与特征向量的同步求解方法探讨【J】.数学通报，1991，12:34-376李廷民.关于矩阵的特征值与特征向量同步求解问题【J】.大学数学，2004，20（4）：92-95 7陈汉藻.矩阵可对角化的一个充要条件【J】.数学通报，1990，（2）：30-31 8刘国琪，王保智.利用矩阵的初等行变换对矩阵的特