“多解题”题集.doc

2013年中考数学专题复习多解数学问题满足条件的多解题就是指我们在解数学题时，如果遇到的对象不确定，就要根据已知条件和题意的要求，分不同的情况作出符合题意的解答，这就是满足条件的多解题温馨提示：满足条件的多解型试题不但知识覆盖面广，综合性较强，题意构思精巧，而且在解答时需要灵活运用一种重要的数学思想方法分类讨论，今年我省的中考数学中这种题型不但在综合题中会有所涉及，而且特别规定把原来的多项选择型的第14题调整为一道“满足条件的多解”型题，进一步强调分类讨论这一思想方法的考查这类题的思维空间较大，解题时常出现考虑不全或不严谨，导致漏解、错解，要求同学们在复习中应加强对多向思维的培养，学好分类讨论这一思想方法，熟练掌握这一题型的特征与解法分类讨论思想是指当数学问题中研究的对象不确定，不宜用统一方法处理时，常常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准,将问题分为全而不重，广而不漏的若干类，然后逐类分别进行讨论，再把结论汇总，得出问题的答案的思想分类讨论是一种重要的数学思想，又是一种重要的解题策略从几何角度来看在看：在等腰三角形问题中，腰和底没有明确时，在直角三角形问题中.直角边和斜边没有明确时，三角形全等、三角形相似或位似的对应关系不明确，动点在不同的位置产生不同的图形，在平行四边形问题中.边和对角线没有明确时，在拼接问题中，拼接的方式没明确时等；在代数方面：是正是负没有明确时，已知数与未知数没有明确大小时，在实际问题中，某方面的情境不明确时，数学解析中的待定系数的正、负号，函数的增减性等。抛物线的开口方向，一次函数中的k、b反比例中的K的正负号。一、基础知识回顾1.若a=2，=3，则ab的值为 .2.（2012广元）已知等腰三角形的一个内角为80，则另两个角的度数是_ _3.（2012呼和浩特）一组数据-1,0,2,3，x，其中这组数据的极差是5，那么x的值是.4.如图，是象棋盘的一部分，一匹“马”在图示的位置，如果“马”现在的位置可表示为（7，3），按照象棋的规则，“马”下一步跃到的位置可表示为 .5.（2012襄阳）ABC是O的内接三角形，若AOC160，则ABC的度数是 .二、经典例题分析例1.（2011贵州安顺）已知，如图1：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 分析：题中不确定的对象是什么呢？显然题目给出了条件“ODP是等腰三角形”，但未指明在ODP中哪两条边相等，因此我们的讨论对象是：ODP中哪两条边相等，从而可分为三类：当OPOD时，则点P、D到点O的距离相等，因此只要以O为圆心，OD的长为半径画弧，交CB于一点P，过点P作PEOD于E，由勾股定理可求得OE3，则P（3，4）；当DODP时，则点O、P到点D的距离相等，因此只要以D为圆心， DO的长为半径画弧，交CB于两点P，过点P作PEOD于E，当ODP为锐角时，由勾股定理可求得DE3，OE=532，则P（2，4）；当ODP为钝角时，由勾股定理可求得DE3，OE5 + 38，则P（8，4）；当POPD时，则点P在OD的垂直平分线上，因此只要作OD的垂直平分线PE交CB于一点P，垂足为E，由勾股定理可求得OP，显然结果不等于5，不合题意，舍去；其他解法：方法1：OD、DP、OP轮流为底边，同时要注意以OD为底边时OP、PD是腰，但不会等于5，易产生错解，以OP为底边时又易漏掉一种情况方法2：POD、ODP、OPD轮流为顶角，这样分类同时还要考虑顶角可以是锐角、直角、钝角.本题由于腰为5的限制，故直角是不可能，POD为钝角不可能，PDO既可以是锐角，又可以为钝角答案：（3，4），（2，4），（8，4）方法感悟：这道题告诉我们，在抓住了分类讨论的特征后，还要学会掌握分类的标准（或说方法）而有了分类的标准，就要自始至终使用这一标准分类，同时在求满足条件的点的坐标时，画出相应的图形，使用图形分析求解也是十分必要的，还要特别注意，分类后还应注意题中约束条件，谨防出现不合要求的解或漏解现象例2.在RtABC中，ACB=90，AC3，BC4，过点B作射线BB1AC，动点D从A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发，沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动，过点 E作EFAC交射线BB1于点F，G是EF的中点，连接DG，设点D运动的时间为t秒，当DEG与ACB相似时，求t的值CDECDEABB1FGABB1FG分析：通过观察，可以发现图形随着点D、E的位置变化而发生变化，而点D、E间的位置关系又随着时间t的值的变化而变化，观察运动过程发现随着时间t的值的变化过程中D、E两点有几种不同的位置关系呢？（开始一段时间点D在点E的左侧，然后D、E两点重合，再后一段时间点D在点E的右侧）因此我们要讨论影响D、E两点位置关系的时间t的取值范围，显然我们易求D、E两点重合时的时间t的值，从而可以确定这几种不同位置关系的时间t的范围因为当D、E两点重合时DEG不存在，所以可以分为两类：当即点D在点E左侧时，DEG与ACB相似；当即点D在点E右侧时，DEG与ACB相似；而DEG与ACB相似，其对应边无法确定，因此每类情况的相似还要进行讨论，当时DEGBCA，当时DEGACB，从而共分四种不同情况求出时间t的值解：由题意，AD5t，CE3t，DG2，当点D、E重合时，有ADAC+CE，即5t=3t+3，解得；（1）如图1，当即点D在点E左侧时，DEAEAD3t+35t=32t，若，则DEGBCA， 有，得；若，则DEGACB， 有，得；（2）如图2，当即点D在点E右侧时，DEADAE5t（3t+3）=2t3，若，则DEGACB，有，得；若，则DEGBCA，有，得；综上，当t为秒时，DEG与ACB相似方法感悟：分类讨论的原则：(1)分类的每一部分是相互独立的；(2)一次分类按一个标准(不重复，不遗漏)；(3)分类讨论应逐级进行三、课堂训练反馈1.如图，在直角坐标系中，已知A（1，0）、B（1，2）、C（2，2）三点坐标，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标可以是 2.若抛物线与坐标轴有两个交点,则的值为 . 四、解题方法归纳1. 分类讨论的一般步骤： (1)确定讨论的对象和讨论的范围； (2)确定分类的标准并进行合理分类； (3)逐级讨论并总结概括得出结论分类讨论解题的关键是如何正确进行分类 2. 分类讨论的原则： (1)分类的每一部分是相互独立的； (2)一次分类按一个标准(不重复，不遗漏)； (3)分类讨论应逐级进行五、练习题1.已知等腰三角形的每条边的长都是方程的根，则等腰三角形的周长是 2“五一”期间，某超市推出如下购物优惠方案：（1）一次性购物在100元（不含100元）以内时，不享受优惠；（2）一次性购物在100元（含100元）以上，300元（不含300元）以内时一律享受九折的优惠；（3）一次购物在300元（含300元）以上时，一律享受八折的优惠在此期间某顾客一次性购物付款252元，那么该顾客比平时购买总价相同的商品（没有优惠的时候）优惠了 元3（2012江西）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合将AEF绕其顶点旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，则BAE的大小可以是 .4如图，点A、B在线段CD上，CD=12cm，CA=1cm，BD=2cm， A、B的半径分别为1cm，2cm，A以每秒2cm的速度自左向右在线段AD上运动，则当点A出发后 秒后两圆相切5. （2012浙江丽水）如图，在直角梯形ABCD中，在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得。ADEFCB（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是_;6（2）若射线EF经过点C，则AE的长是_。2或56、（2012北京）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与一次函数的图象的交点为（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数的图象与轴交于点，若是轴上一点， 且满足的面积是4，直接写出点的坐标7、RtABC中，已知C=90，B=50，点D在边BC上，BD=2CD（如图