第01实数与二次根式.doc

让我们为全力打造甘肃名校甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧！第1讲 实数与二次根式音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。克莱因知识方法扫描1. 有理数和无理数统称为实数.有理数包括整数和分数，无限不循环小数是无理数. 两个有理数的和差积商都是有理数，一个无理数与一个非零有理数的积是无理数.有理数能够写成两个整数之比的形式，而无理数不能够写成两个整数之比的形式.2. 一个实数的整数部分是指不超过的最大整数，的小数部分是, ().3. 要掌握二次根式的四则运算法则，特别是分母有理化的方法及复合二次根式的化简.4要注意运用整式，分式的恒等变形技巧，如因式分解，运用公式，通分和约分，拆项，换元，配方等.经典例题解析例1（1997年陕西省初中数学竞赛试题）化简：解 原式= =例2（2004年辽宁省八年级北师大版数学竞赛试题）计算：+.解 原式=（）+（）+（）+ +（） =例3(1991年北京市初中数学竞赛试题)若为两两不等的有理数，求证为有理数.证明 因= = 故=是一个有理数.例4(1994年烟台市初中数学竞赛试题)若， 求的值.解 因为 =，于是,从而=5.例5（武汉，广州，福州，重庆，西安五市初中数学联赛试题）已知的值.解 因为从而,即,又.故原式=.例6（2007年全国初中数学联赛试题）设，是的小数部分，是的小数部分，则_.解 ，而，.又，而，.，.例7（2000年全国初中数学竞赛试题）已知，求的值.解: 由已知得=，原式=.例8（2004年全国初中数学联赛江西赛区加试试题）若，则+的值是 .解 设 , ,，则有, 所以 . 于是,即, 因.若, 则 ;若, 则,也有.同步训练一 选择题1 （1999年全国初中数学联赛试题）有下列三个命题：（甲）若是不相等的无理数，则一定是无理数；（乙）若是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是不相等的无理数，则是无理数；其中正确命题的个数是( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 32（2005年乐清市初中数学竞赛，1990年黄冈地区数学竞赛试题）设，其中为相邻的两个整数，则（ ）A必为偶数 B必为奇数 C必为无理数 D以上三种都有可能3（1993年河北省初中数学竞赛试题）若都是有理数，则,的值是（ ）(A) 二者均为有理数 (B) 二者均为无理数 (C) 一个为有理数，另一个为无理数 (D)以上三种情况均有可能4（第一届“五羊杯”初中数学竞赛试题）设实数则满足( ) 5（1997年安徽省初中数学竞赛试题）已知是有理数,而满足方程,则的值是( ) (A) -1 (B) 1 (C) -3 (D)3二 填空题6（1998年武汉市初中数学竞赛试题）计算 .7（1998年全国初中数学联赛试题）设,那么的整数部分是 .8（2005年上海市初中数学竞赛）已知实数满足则的值为 .9（1994年天津市初中数学竞赛试题）化简= 10(1996年全国初中数学联赛试题)设且，则 = .三、解答题11（2000年河北石家庄市初中数学竞赛）已知是两两不等的有理数，且也是有理数，求证：都是有理数.12（1993年信阳市初中数学竞赛）已知，且求的值.13(1981年北京市初中数学竞赛试题)设的整数部分是,小数部分是试求之值.14（1991年天津市初中数学竞赛题）计算：+15.（第四届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题）(1)证明：(2)利用或不利用(1)式，计算同步训练题参考答案1A解:命题甲是假命题，取为有理数；命题乙是假命题，取是有理数；命题丙也是假命题，取是有理数2B解:为相邻的两个整数，则必一奇一偶，不妨设(或)，,无论取什么整数，必为奇数，即为奇数，故选B.3. A若,的值一个为有理数，另一个为无理数，则为无理数，与已知条件矛盾，故可排除（C），（D）.若,的值均为无理数，设，, ,此时应有，否则=，得出一个无理数与一个有理数相等，于是由得，从而,与假设矛盾. 所以,的值均为有理数.4B解: ，即 5A解:将代入并化简，得于是，且,解得 , 于是. 6. 1解:,由等比定理，得,于是原式=.73 解:，于是 ，.80解：由，得,于是9解: 原式=.10. 1解:设, 则，有，即 故，因,所以11证明:设为有理数，则必为有理数，为有理数,于是必为有理数，为有理数.令为有理数，则也是有理数，必为一有理数。同理，得也是有理数，即是有理数.故是有理数,类似地，可证得都是有理数.12解:由，且,故原式13解