第六节 控制系统的局部反馈校正3.doc

第一章 线性离散系统 第一节 概 述随着微电子技术，计算机技术和网络技术的发展，采样系统和数字控制系统得到广泛的应用。通常吧采样系统，数字控制系统统称为离散系统。一 举例 自动测温，控温系统图;图解：1.当炉温h变化时，测温电阻R变化 ，电桥失去平衡状态，检流计指针发生偏转，其偏转角度为e（t）；2.检流计是个高灵敏度的元件，为防磨损不允许有摩擦力。当凸轮转动使指针与电位器相接触（凸轮每转的时间为T）,接触时间为秒；3.当炉温h连续变化时，电位器的输出是一串宽度为的脉冲信号e(t);4.e(t)二 相关定义说明（通过上例来说明）1.信号采样偏差e（t）是连续信号，电位器的输出的e(t)是脉冲信号。连续信号转变为脉冲信号的过程，成为采样或采样过程。实现采样的装置成为采样器。 To采样周期，fs=采样频率，Ws=2fs采样角频率2信号复现 因接触时间，故可把采样器的输出信号近似看成是一串强度等于矩形脉冲面积的理想脉冲，为了去除采样本身带来的高额分量，需要把离散信号恢复到原信号e（t）。 实现方法：是在采样器之后串联一个保持器，及信号复现滤波器。 作用：是吧脉冲信号变成阶梯信号e(t)3.采样系统结构图 r(t)，e(t)，c(t)，y(t)为连续信号，为离散信号 ，分别为保持器，被控对象和反馈环节的传递函数。4.采样系统工作过程5.采样控制方式 采样周期To 6.采样系统的研究方法（或称使用的数字工具） 因运算过程中出现s的超越函数，故不用拉式变换法，二采用z变换方法，状态空间法。第二节 信号的采样和复现 第一节是定性认识与分析，本节是定量研究。一、 采样过程从第3个图形可知，采样器输出信号是一串理想的脉冲信号，k瞬时的脉冲强度等于此时的幅值，即，. . 采样过程可以看成为一个幅值调制过程，采样器如同一个幅值调制器。的数学表达式为： 调制过程 =e(t)=e(t) 式中是一个周期函数，可以展开富氏级数，写成级数的复指数形式。= Ws=-采样角频率（基频率） 富氏级数的系数Cn=：把Cn结果带入到中，得： 进行富氏变换：Fe(t)=E(jw)，Fe(t)e=E(jw+jnws)E 上式说明，一个连续信号经过理想采样后，它的频谱将沿着频率轴，从开始，每隔一个采样频率重复出现一次，另乘一个常数， 设连续信号的频谱是一个单一的连续频谱，其最高频率为，如下图：延拓后的E二、采样定理（香农采样定理shamnon）从上图可知，只有当n=0的频谱才是的频谱，其余的均是高次谐波。若要从采样信号e中完全复现出采样前的连续信号,必须满足香农采样定理（乃氏定理），即“采样频率大于或等于两倍的连续信号频谱中的最高频率”。 2三、信号恢复如果按香农定理来采样，即2，又如何去除高次谐波频谱，又能保留基频呢？为此，设置一个低通滤波器，其理想的频率特性必须等于。理想是不存在的，实际应用中，常用三种保持器，即低通滤波器。常值-零阶保持器 0阶线性-按比例增加或减小 1阶二次函数-按两次方关系变化 2阶零件保持器1.作用能使采样信号e每一个瞬时的采样值，,一直保持到下一个采样瞬时，从而使采样信号e由脉冲序列变为阶梯信号。为何称零阶保持器：在每个采样区间内的值均为常数，其导数为零，故称为零阶保持器。如果吧的中点联起来，则可以得到与形状一直，在时间上滞后的时间响应曲线。2、零阶保持器的传递函数和频率特性设某瞬间时 输出应该是幅值为1的，持续时间为的脉冲过渡函数，必须增加一个信号，才能完成上述的假定。即 传递函数：= 频率特性：=() 幅频特性：= 相频特性：=（弧度） 设置保持器（低统滤波器）并不理想。从上式知，当时，不像理想滤波器只有一个截止频率，这里有几个截止频率。在基频之外尚有高频部分通过，恢复后的中含有误差信号。 只有让，即，才能使误差。3、零阶保持器的实现把传递函数中的展成泰勒级数，取前两项，得近似为一阶惯性环节的传递函数。可近似用一个无源四端网络来实现。等效于RC低通网络的传递函数：若对取前三项，即是一个振荡环节加一阶导前环节，等效于R-L-C无源电路。 第三节 Z变换与Z反变换连续系统 则 进行拉氏变换，得其中为常数，对应用位移定理，得。上式中为s的超越函数，不易求反变换，引入Z变换定义，令（z为变换算子）称为的Z变换，记作Z变换仅是一种的变量置换，通过它可将S的超越函数转变为Z的幂级数，是拉氏变换的变异。一、 求离散函数Z变换的几种方法1、 级数求和法（是最基本方法，优点是直观，缺点是难以写成闭式）此方法是按定义求变换，要写出各采样点的值。拉氏变换：用代入，上式为（即为Z变换）Z变换：写成闭式：例1：求的Z变换。解：若，几何级数收敛。求闭式（和式），例2、求的Z变换解：依图看值若，收敛则2、 部分分式法若变换得由变换，得 成为指数函数形式。由例2 则例3 求的Z变换。3、 留数计算法已知的全部极点，则有式中是极点的阶数，-采样周期。例4 已知某函数的拉氏变换，求。解：这里是两个极点（单），二、 Z变换的基本定理1、 线性定理是常数，则2、 滞后定理若则有：说明原函数在时间上产生K个采样周期的滞后时，相应的Z变换乘以。3、 初值定理若则有：4、 终值定理若则有：三、 Z反变换将变成离散时间函数，称为Z反变换。的反变换记为1、 长除法例1。解：，将变换成幂级数排列，再把Zz写成Z-1的升幂形式，目的是利用正变换的，及变换Z-1Z(z)=X*(t)=10(t-To)+30(t-2To)+70(t-3To)+150(t-4To)+=2.部分分式法目的：是利用Z变换的形式，通过查表解X*(t)特点：因Z(z)中分子多含有Z，在计算时，先把代为分项分式，然后两边同乘Z因子。例2. 求Z(z)=的X*(t)。解：3.留数计算法已知Z变换函数为Z(z)，在t=nTo时刻采样值X(nTo)为例1，求。解：，有两个极点，即，。则离散函数。第4节 脉冲传递函一. 脉冲传递函数的概念 对离散系统，输入由K个脉冲组成的时间序列，即在kTo时刻输出X（t）幅值为：输出的时间序列为X*(t):进行Z变换令m=k-n，则k=m+n，代入得 脉冲总是从0开始m=-n=0.Z(z)=G(z).E(z)=E(z).G(z) 类似连续系统或者 若输出是连续信号，可虚设一个理想采样开关，与输入的相同且同步。当时，就可以用来近似描述。求G（z）的步骤：1. 求出系统的传递函数G（s）；2. 求出脉冲响应函数g（t）=L-1G(s);3. 计算，若系统是稳定的，G（z）收敛。二. 离散系统的开环脉冲传递函数1. H（s）与G（s）之间没有采样开关 ，或G（s）与H（s）无采样开关，G(S)与H(s)先乘积后Z变换。2. 与之间有采样开关Z(S)=E*(s)G(s)Z*(s)=E*(s)G*(s)则：，求开环传递函数。两者的Go(z)不同，不同之处零点不同，极点是相同的。三. 离散系统的闭环脉冲传递函数作用在连续系统上的偏差信号是离散的脉冲序列E*(s)，由图知闭环系统脉冲传递函数：离散反馈系统偏差传递函数：四. 离散系统的过度过程分析（Z平面的时间响应） 相当于经典控制论中的时间域分析步骤：1. 计算闭环系统脉冲传递函数;2. 按输入信号或，求；3. 求输入；4. 求的反变换，得或者。主要指标：10 超调量 (%); 20 过渡过程时间； 30 稳态误差。例: 已知采样时间T0=1s，k=1，r(t)=1(t)，分析系统动态和静态过程。解：.求开环离散系统传递函数（连续部分）即前向通道函数20. 求g(t) g(t)=L-1G0(s)=t1(t)-11(t)+e-t1(t) -(t-1)1(t-1)+1(t-1)-e-(t-1)1(t-1) =(t-1+e-t)1(t)-(t-1)-1+e-(t-1)1(t-1)=1+e-t-e-(t-1)应用位移衰减定理：因，由 1+e-n-e-(n-1) n=1,2,3,g(t)=g(nT0)=g(n)= 0 n=0（零状态）30. 求开环脉冲传递函数 .求闭环脉冲传递函数（s）以e=2.718代入，得.求R(z) 因r(t)=1(t)，R(z)=.求Z(z)=(z)R(z)=.求是最终目的：即求Z(z)的Z反变换，用长除法 若系统是稳定的，经过若干项后，其脉冲序列的系数近似为1.0响应曲线如下： 最大超调量40%=；12=12秒，误差小于5%；=2秒.求稳态误差利用Z变换的终值定理，对于单位反馈系统，误差=偏差 E(z)=1-(z)R(z)稳态误差为零，说明该系统为型系统，定为无差度为1。“能够准确地复现阶跃函数型控制信号”。若r(t)=t， 有常数型误差若r(t)=t2时， 不能跟踪加速度信号 第二章 状态方程 第 一 节 基本概念可以研究多输入、多输出、时变、非线性、随机、采样系统等方面的问题。基本方法：把高阶的微分方程化为一阶运动状态。概念与术语：状态：指系统状态的过去、现在、将来的运动状态。状态变量：确定系统状态的最小一组变量，状态变量可不同，但个数是相同的个数，取决于微分方程的阶数。状态向量：，相当于坐标系。状态空间：状态向量的所有可能值的集合称为状态空间，以、为坐标轴所构成的n维空间。状态方程：描述系统状态变量与系统输入之间的一阶微分方程组。例题：针对二阶系统的振动模型，建立状态方程。 方程： 是二阶系统，选两个状态变量，速度V、位移S即,则第 二 节 化高阶微分方程为状态方程步骤：1.按实际系统写出运动微分方程。 2.选择适当的状态变量。针对单输入、单输出系统左为输出，右为输入。稳定系统，则mm.一、 输入函数不含有导数的情况由于是n阶微分方程，必须选n个状态变量。设 =目的是转换为以X为变量的微分方程组，最后的必须从原方程中求反解。写成矢量式（矩阵式） 简写为= 阵.主对分线上方为1，最后一行元素可取任意值，其余为零。阵.称为酉阵，为系数矩阵，表示系统内部状态的联系。 阵.称为控制矩阵，表示输入对状态的作用，又称输入矩阵.称为状态变量列阵。 .输出方程.例题：把 化成状态变量。 解：只能设三个状点变量 状态方程1. 能控标准形是对输出的定义,于1960年由卡尔曼提出：“系统在输入信号作用下，在有限时间内，将某一状态复到任意状态，这种状态称为能控的。” 在动态方程中，A阵为酉阵，B=的形式，即为能控标准形，对没有要求。2. 能观测标准形 在输入时，在有限时间区间内，测量到的输出，能够唯一的确定系统在时刻的初始状态的能力（中间状态无法测量），称为能观测标准形。对于方程： 设 求状态方程及输出方程： 系统输出方程： 写成矩阵形式 具有此种和形式的，称为能观测标准形，对