高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨 3.3 平面与圆锥面的截线同步检测（含解析）新人教A版选修4-1.doc

3.3平面与圆锥面的截线同步检测一、选择题1. 在圆锥内部嵌入dandelin双球,一个位于平面的上方,一个位于平面的下方,并且与平面及圆锥均相切.若平面与双球的切点不重合,则平面与圆锥面的截线是（ ）a.圆b.椭圆c.双曲线d.抛物线答案：b解析：解答：由于平面与双球的切点不重合,则平面与圆锥母线不平行,且只与圆锥的一半相交,则截线是椭圆.分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线的性质结合dandelin双球性质分析即可2. 已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形,用一个与轴线成30角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时,所截得的截线的离心率为（ ）a. b. c. d. 答案：a解析：解答：圆锥的轴截面为等腰直角三角形,所以母线与轴线的夹角=45.又截面与轴线的夹角=30,即,故截线是椭圆,故选b.分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线结合圆锥的有关性质分析计算即可5. 平面与圆锥的轴线平行,圆锥母线与轴线夹角为60,则平面与圆锥交线的离心率是（ ）a.2b. c. d.2答案：a解析：解答：设平面与轴线夹角为,母线与轴线夹角为,由题意,知=0,=60,故e=2分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线的性质结合所给条件分析计算即可6. 已知双曲线两个焦点的距离为10,双曲线上任一点到两个焦点距离之差的绝对值为6,则双曲线的离心率为 （ ）a. b. c.1d. 答案：d解析：解答：设双曲线的实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c.由题意知,2c=10,2a=6,故e= 分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线结合双曲线的性质计算即可7. 平面与圆锥轴线夹角为45,圆锥母线与轴线夹角为60,平面与圆锥面交线的轴长为2,则所得圆锥曲线的焦距为（ ）a. b.2c.4d. 答案：b解析：解答：e=, .c=,2c=2.分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线结合所给截面计算即可8. 圆锥的顶角为60，截面与母线所成的角为60，则截面所截得的截线是（ ）a. 圆 b. 椭圆 c. 双曲线 d. 抛物线答案：a解析：解答：由题意知截面与圆锥的轴线成90角，即是圆锥的正截面，故截线为圆.分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线的性质分析即可9. 工人师傅在如图1的一块矩形铁皮上画一条曲线，沿曲线剪开，将所得到的两部分卷成圆柱状，如图2，然后将其对接，可做成一个直角的“拐脖”，如图3工人师傅所画的曲线是（ ）a.一段圆弧 b.一段抛物线 c.一段双曲线 d.一段正弦曲线答案：d解析：解答：将图2剪开展成平面图分析可知，曲线为轴对称图形，将图3剪开展成平面图分析可知，曲线也为中心对称图形所以此曲线即为轴对称图形又为中心对称图形，故只有d正确故选：d分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是利用平面图分析曲线的对称性，即可得出结论10. 如图所示，圆锥so的轴截面sab是边长为4的正三角形，m为母线sb的中点，过直线am作平面面sab，设与圆锥侧面的交线为椭圆c，则椭圆c的短半轴长为（ ）a. b. c. d. 答案：a解析：解答：过椭圆c作平行于圆锥底面的截面（圆形），交as，bs于r，t，交椭圆c于两点p，q，则p，q即是椭圆短半轴顶点，在所作的圆中，rt为直径，如图，因为轴截面sab是边长为4的正三角形，c为am的中点，所以tc=ab=2，rc= ab=1，因为pqrt，所以pccq，所以利用相交弦定理可得：pccqtcrc，所以pc=.所以橄圆c的短半轴为.分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线的性质结合所给几何关系利用相交弦的性质分析计算即可11. 轴截面是边长为4的等边三角形的圆锥的直观图如图所示,过底面圆周上任一点作一平面,且与底面所成的二面角为,已知与圆锥侧面交线的曲线为椭圆,则此椭圆的离心率为（ ）a. b. c. d. 答案：c解析：解答：本题综合考查空间几何体中的线面关系与解析几何中直线与直线的位置关系以及平面几何中圆的相关定理的应用,意在考查数形结合思想与空间想象能力.如图,根据轴截面是边长为4的等边三角形,可知椭圆的长轴长为ab=6,设o为椭圆的中心,则a=ob=oa=3,过o作平行于底面的平面,可得到截面圆,交椭圆于两点c、d,则c、d即是椭圆短半轴的顶点.根据题意知abbf,在直角三角形obf中,obf=90，所以fo=2,f是bp的中点,过点b作ap的平行线,交am于点g,则e是ag的中点,所以oe=ap=,由相交弦定理得co2=ofoe,所以b2=6,所以c2=a2-b2=3,所以椭圆的离心率为.分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线满足的有关条件通过构造辅助线结合所学椭圆性质及相交弦定理计算即可二、填空题12用一个平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则会出现四种情况：_，_，_，_.答案：圆|抛物线|椭圆|双曲线解析：解答：如图分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线的性质分析即可13. 已知圆锥母线与轴夹角为60,平面与轴夹角为45,则平面与圆锥交线的离心率是 ,该曲线的形状是 .答案：|双曲线解析：解答：e=1,曲线为双曲线分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线的性质结合离心率定义计算即可14. 一圆锥面的母线和轴线成30角,当用一个与轴线成30角的不过顶点的平面去截圆锥面时,所截得的截线是 .答案：抛物线解析：解答：由题意知=30,=30,则=.则截线是抛物线,如图.分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线15. 设圆锥面是由直线l绕直线l旋转而得,l与l交点为v,l与l的夹角为（090）,不经过圆锥顶点v的平面与圆锥面相交,设轴l与平面所成的角为,则当 时,平面与圆锥面的交线为圆；当 时,平面与圆锥面的交线为椭圆；当 时,平面与圆锥面的交线为双曲线；当 时,平面与圆锥面的交线为抛物线.答案：=90| 90| |=解析：解答：不同倾角的截面截割圆锥，无论是两个对顶的圆锥，还是一个单个的圆锥，都有下面的关系：（1），平面与圆锥的交线为椭圆；（2）=，平面与圆锥的交线为抛物线；（3），平面与圆锥的交线为双曲线分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线16. 在圆锥内部嵌入dandelin双球,一个位于平面的上方,一个位于平面的下方,并且与平面和圆锥面均相切,则两个切点是所得圆锥曲线的 答案：两个焦点解析：解答：根据题意可得两个切点是所得圆锥曲线的两个焦点分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线的性质分析即可三、解答题17. 如图,讨论其中双曲线的离心率.其中是dandelin球与圆锥交线s2所在平面,与的交线为m.答案：解答：点p是双曲线上任意一点,连接pf2,过点p作pam于点a,连接af2,过点p作pb平面于点b,连接ab,过点p作母线交s2于点q2.pb平行于圆锥的轴,bpa=,bpq2=.在rtbpa中,pa= 在rtbpq2中,pq2= 由切线长定理,得pf2=pq2,pf2= e= 0cos .e1.同理,另一分支上的点也具有同样的性质,综上所述,双曲线的准线为m,离心率e=.解析：分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线的性质结合切线长定理计算即可18. 顶角为60的圆锥面中有一个半径为2的内切球,以该球为焦球作一截面,使截线为抛物线,求该抛物线的顶点到焦点的距离和截面与轴的交点到圆锥顶点的距离.答案：解答：如图是圆锥的截面,其中点p为抛物线的顶点,点q为抛物线的焦点,点m为截面与轴的交点,连接oa,oq.设a,b为球与圆锥的母线的切点.由asb=60,aso=30.又oa=2,oasa,os=4,易知opos,op=ostan 30=,=pq= 又pmsb,pms=osb=osa,sm=2os=8.解析：分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线满足的性质结合所给圆与圆锥曲线位置关系计算即可19. 已知一圆锥面s的轴线为sx,轴线与母线的夹角为30,在轴上取一点o,使so=3 cm,球o与这个锥面相切,求球o的半径和切点圆的半径.答案：解答：如图,oh=so= cm,hc=ohsin 60=（cm）.所以球o的半径为cm,切点圆的半径为 cm.解析：分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线结合所给几何体满足条件计算即可20 如图,已知圆锥母线与轴的夹角为,平面与轴线夹角为,dandelin球的半径分别为r,r,且r,求平面与圆锥面交线的焦距f1f2,轴长g1g2.答案：解答：连接o1f1,o2f2,o1o2交f1f2于点o,在rto1f1o中,of1= 在rto2f2o中,of2= 则f1f2=of1+of2= 同理,o1o2= 连接o1a1,o2a2,过o1作o1ho2a2.在rto1o2h中,o1h=o1o2cos =cos .又o1h=a1a2,由切线定理,一般验证g1g2=a1a2,故g1g2=cos .解析：分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线由知截线为椭圆,通过数形结合转化到相应平面上求解21. 已知圆锥面s,其母线与轴线所成的角为30,在轴线上取一点c,使sc=5,通过点c作一截面使它与轴线所成的角为45.求圆锥曲线的离心率及圆锥曲线上任一点到两个焦点的距离之和.答案：解答：e= 设圆锥曲线上任意一点为m,其两焦点分别为f1,f2,mf1+mf2=ab.设圆锥面内切球o1的半径为r1,内切球o2的半径为r2.so1=2r1,co1=r1,sc=（2+）r1=5,即r1=so2=2r2,co2=r2,sc=（2-）r2=5,即r2= o1o2=co1+co2=（r1+r2）=10,ab=o1o2cos 30=o1o2 =5 即mf1+mf2=5.解析：分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线满足的性质结合圆锥曲线的有关性质分析计算即可22. 如图,已知圆锥的母线与轴线的夹角为,圆锥嵌入半径为r的dandelin球,平面与圆锥面的交线为抛物线,求抛物线的焦点到准线的距离.答案：解答：设f为抛物线的焦点,a为顶点,fa的延长线交准线m于点b,af的延长线与po交于点c.连接of,oa,如图,平面与圆锥轴线和圆锥母线与轴线的夹角相等,apc=acp=.由切线长定理知,oa平分pac,oapc.oca+oac=90,aof+oac=90,oca=aof=.在rtoaf中,af=oftanaof=rtan .又由抛物线结构特点,af=ab.fb=2rtan ,即抛物线的焦点到准线的距离为2rtan .解析：分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线满足的有关条件转化到相应的平面中求解,注意切线长定理的使用23. 如图，平面与圆锥面的轴l垂直，则交线是什么曲线？设圆锥底面半径为r，高为h，顶点s到截面的距离为h1，（r，h，h1均为正常数）.答案：解答：因为l（垂足为o1），所以平面/o所在的平面.设p为交线上的任意一点，过点p作圆锥的母线sq，连接po1，qo，则po为平面sqo与平面的交线，qo为平面sqo与o所在的平面的交线.所以po1/qo.于是 .即 .因此 （r为常数）.所以点p到定点o1的距离为常数r，故交线为一个圆.解析：分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线满足的性质结合三角形的相似性计算即可24. 在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于o点，夹角为，l围绕l旋转得到以o为顶点，l为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴l的交角为（当与l平行时，记0），求证时，平面与圆锥的交线是抛物线.答案：证明：如图，设平面与圆锥内切球相切于点f1，球与圆锥的交线为圆s，过该交线的平面，为与相交于直线m.在平面与圆锥的截线上任取一点p，连接pf1过点p作pam，交m于点a，过点p作的垂线，垂足为b，连接ab，则abm，pab是与所成二面角的平面角.连接点p与圆锥的顶点，与s相交于点q1，连接bq1，则bpq，apb.在rtapb中，pbpacos .在rtpbq1中pbpq1cos . 又pq1pf1， ，即pf1pa，动点p到定点f1的距离等于它到定直线m的距离，故当时，平面与圆锥的交线为抛物线.解析：分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线满足的有关性质结合所给几何体的空间结构特征构造辅助线结合二面角定义分析计算即可25. 在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于o点，夹角为，l围绕l旋转得到以o为顶点，l为母线的圆锥面.任取平面，若它与轴l的交角为（当与l平行时，记0），求证