2019_2020学年高中数学第3章圆锥曲线与方程章末复习课学案北师大版.docx

第3章 圆锥曲线与方程1三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹标准方程(以焦点在x轴为例)1(ab0)1(a0，b0)y22px(p0)关系式a2b2c2a2b2c2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，无渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率0e1e1准线方程x决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小统一定义圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e2.椭圆的焦点三角形设P为椭圆1(ab0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且F1PF2，则PF1F2为焦点三角形(如图)(1)焦点三角形的面积Sb2tan；(2)焦点三角形的周长L2a2c3待定系数法求圆锥曲线标准方程(1)椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数当焦点位置不确定时，要分情况讨论可将椭圆方程设为Ax2By21(A0，B0，AB)，其中当时，焦点在x轴上，当时，焦点在y轴上双曲线方程可设为Ax2By21(AB0)，当0时，焦点在y轴上，当0)中，|AB|x1x2p；(2)y22px(p0)中，|AB|x1x2p；(3)x22py(p0)中，|AB|y1y2p；(4)x22py(p0)中，|AB|y1y2p.6直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式，则有：0直线与圆锥曲线相交于两点；0直线与圆锥曲线相切于一点；b0)的两焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为点Q，则点Q的轨迹为()A圆B椭圆C双曲线 D抛物线(2)设F1，F2是椭圆1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，求的值思路探究(1)借助角平分线的性质及相关曲线的定义求解；(2)要求的值，可考虑利用椭圆的定义和PF1F2为直角三角形的条件，求出|PF1|和|PF2|的值，但RtPF1F2的直角顶点不确定，故需要分类讨论(1)A延长垂线F2Q交F1P的延长线于点A，如图则APF2是等腰三角形，|PF2|AP|，从而|AF1|AP|PF1|PF2|PF1|2a.O是F1F2的中点，Q是AF2的中点，|OQ|AF1|a.Q点的轨迹是以原点O为圆心，半径为a的圆(2)解：由题意知，a3，b2，则c2a2b25，即c，由椭圆定义知|PF1|PF2|6，|F1F2|2.若PF2F1为直角，则|PF1|2|F1F2|2|PF2|2，|PF1|2|PF2|220，即解得|PF1|，|PF2|.所以.若F1PF2为直角，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2.即20|PF1|2(6|PF1|)2，解得|PF1|4，|PF2|2或|PF1|2，|PF2|4(舍去)所以2.运用定义解题主要体现在以下几个方面：(1)在求动点的轨迹方程时，如果动点所满足的几何条件符合某种圆锥曲线的定义，则可直接根据圆锥曲线的方程写出所求的动点的轨迹方程；(2)涉及椭圆或双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常常运用圆锥曲线的定义并结合三角形中的正、余弦定理来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义，把抛物线上某一点到焦点的距离转化为到准线的距离，并结合图形的几何意义去解决1(1)已知点M(3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过点M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()Ax21(x1) Bx21(x1)Cx21(x0) Dx21(x1)(2)点P是抛物线y28x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2，3)，求|PM|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标(1)A设PM，PN与C分别切于点E，F，如图，则|PE|PF|，|ME|MB|，|NF|NB|.从而|PM|PN|ME|NF|MB|NB|422|MN|，P点的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(除去右顶点)所求轨迹方程为x21(x1)(2)解：抛物线y28x的准线方程是x2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x2的距离，过点P作PD垂直于准线x2，垂足为D，那么|PM|PF|PM|PD|.如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|PF|的值最小，且最小值为|MD|2(2)4，所以|PM|PF|的最小值是4.此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为，即点P的坐标是.圆锥曲线简单性质的应用【例2】(1)已知椭圆1和双曲线1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()Axy ByxCxy Dyx(2)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F1(c，0)，A(a，0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率e.思路探究(1)由椭圆和双曲线有公共的焦点可得m，n的等量关系，从而求出双曲线的渐近线方程；(2)写出AB的直线方程，由F1到直线AB的距离为得出a，c的关系，求椭圆的离心率e.(1)D由题意，3m25n22m23n2，m28n2，令0，y2x2x2，yx，即双曲线的渐近线方程是yx.(2)由A(a，0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB，故AB所在的直线方程为ybx，即bxayab0.又F1(c，0)，由点到直线的距离公式可得d，(ac).又b2a2c2，整理，得8c214ac5a20，即81450，8e214e50.e或e(舍去)综上可知，椭圆的离心率e.1.(变结论)在本例(1)条件不变的情况下，求该椭圆的离心率解题意可知，该椭圆的焦点在x轴上，故椭圆的离心率e.2.(变条件)在本例(2)条件换为“已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，”求椭圆离心率的取值范围解0，点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，其方程为x2y2c2.由题意知椭圆上的点在该圆的外部，设椭圆上任意一点P(x，y)，到|OP|minb，cb，即c2a2c2.解得e.0e1，0e.1本类问题主要有两种考查类型：(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点；(2)已知圆锥曲线的性质求其方程2对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法：(1)代入法就是代入公式e求离心率；(2)列方程法就是根据已知条件列出关于a，b，c的关系式，然后把这个关系式整体转化为关于e的方程，解方程即可求出e的值直线与圆锥曲线的位置关系【例3】(1)在抛物线y216x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在的直线的方程是_(2)已知向量a(x，y)，b(1，0)，且(ab)(ab)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；设曲线C与直线ykxm相交于不同的两点M、N，又点A(0，1)，当|AM|AN|时，求实数m的取值范围8xy150(1)设所求直线与y216x相交于点A、B，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得y16x1，y16x2，两式相减，得(y1y2)(y1y2)16(x1x2)，即，得kAB8.设直线方程为y8xb，代入点(2，1)得b15；故所求直线方程为y8x15.(2)由题意得，ab(x，y)，ab(x，y)，(ab)(ab)，(ab)(ab)0，即(x)(x)yy0，化简得y21，点Q的轨迹C的方程为y21.由得(3k21)x26mkx3(m21)0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，0，即m2m2，解得0m0，解得m，故m的取值范围是.()当k0时，|AM|AN|，APMN，m23k21.即为m21，解得1mb0)经过点P，离心率e，直线l的方程为x4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解(1)由P在椭圆上，得1.依题设知a2c，则b23c2.将代入，解得c21，a24，b23.故椭圆C的方程为1.(2)由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk(x1)代入椭圆方程3x24y212，并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，x1x2.在方程中令x4，得M的坐标为(4，3k)从而k1，k2，k3k.注意到A，F，B三点共线，则有kkAFkBF，即有k.所以k1k22k.将代入，得k1k22k2k1.又k3k，所以k1k22k3.故存在常数2符合题意.函数与方程的思想【例4】已知椭圆G：y21.过点(m，0)作圆x2y21的切线l交椭圆G于A，B两点(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值解(1)由已知得a2，b1，所以c.所以椭圆G的焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率为e.(2)由题意知|m|1.当m1时，切线l的方程为x1，点A，B的坐标分别为，.此时|AB|.当m1时，同理可得|AB|.当|m|1时，设切线l的方程为yk(xm)由得(14k2)x28k2mx4k2m240.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2，x1x2.又由l与圆x2y21相切，得1，即m2k2k21.所以|AB|.由于当m1时，|AB|，所以|AB|，m(，11，)因为|AB|2，当且仅当m时，|AB|2，所以|AB|的最大值为2.1函数思想是解决最值问题最有利的武器通常用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题2方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决3如图所示，过抛物线y22px的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A、B两点(1)证明直线AB过定点；(2)求AOB面积的最小值解(1)证明：当直线AB的斜率不存在时，ABx轴，又OAOB，AOB为等腰直角三角形，设A(x0，y0)，则y2px0，x02p，直线AB过点(2p，0)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(xa)，A(x1，y1