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线性代数试卷A答案一、 求行列式的值（每题6分，共18分）1、 (6分)2、 （6分）3、 （6分）（结果正确，根据步骤酌情给分。）二、 计算下列各题（每题8分，共16分）1、 设计算A41 + A42 + A43 + A44 = ? 其中A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A|中元素a4j的代数余子式.解. A41 + A42 + A43 + A44 （3分）=（3分）（2分）2、 已知，求满足矩阵方程的矩阵.解：由，有（1分）（4分）（3分）三、 （本题14分）已知向量组,求：（1）向量组秩（4分）（2）向量组的一个极大线性无关组（4分）（3）把其余向量用此极大线性无关组线性表示.（6分）解：（1分）是向量组的一个极大无关组（4分）（6分）四、 （本题14分）有线性方程组, 问k为何值时,（1）方程组无解? （4分）（2）方程组有唯一解?（2分）（3）方程组有无穷多组解? （2分）（4）方程组有无穷多组解时, 求出一般解.（6分）解：由克莱姆法则有：,令D=0，有（2分）（1）当时，,所以当时，方程组无解（2分）（2）令，有所以当时，方程组有唯一解。（2分）（3）当时，,所以当时方程组有无穷多组解。（2分）（4）由（3）可得同解方程组：，得其中为基础解系，为特解，所以方程的一般解是（为任意常数）。（6分）五、 （本题20分）已知二次型（1） 验证二次型是否正定。（4分）（2） 求一个正交变换，将其化成标准形。（16分）解：（1），因为，所以二次型是不正定（4分）（2）得：，（2分）当时，有同解方程组：，有基础解系（3分）当时，得：，则其基础解系（3分）将正交化，令，则（2分）将单位化有：（2分）所以，使得（2分）标准型（2分）六、 证明题（共18分）1、 设方阵的两个不同特征值的特征向量分别是，证明：不是的特征向量。（8分）证明：（2分）如果是特征向量，则（2分）有，又因为是两个不同特征值的特征向量，所以线性无关，（2分）于是有，得与题设矛盾。所以不是的特征向量。（2分）2、 证明向量组线性无关的充要条件是向量组线性无关。（10分）证明：（1）必要性：向量组线性无关，设有n个数，有即：，所对应方程组的系数行列式等于1，故仅有零解，所以，所以线性无关（5分）（3） 充分性：向量组线性无关，因为，
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