线代数练习题2及答案.doc

线性代数练习题一 选择题1都是阶矩阵，且, 则必有:（ ）(A) 或. (B) .(C) 或 (D) 2设 则（ ）(A) (B) (C) (D)3若 为矩阵,且则( )必成立. （A）中每一个阶数大于r的子式全为零。 （B）是满秩矩阵。 （C）经初等变换可化为 （D）中r阶子式不全为零。4 向量组 ,线性无关的充分条件是( ) （A） 均不是零向量. （B） 中任一部分组线性无关. （C） 中任意两个向量的对应分量都不成比例. （D） 中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示.5 齐次线性方程组是非齐次线性方程组的导出组,则( )必定成立. （A）只有零解时, 有唯一解. （B）有非零解时, 有无穷多解. （C）是的任意解, 是的特解时,是的全部解.（D）是的解时, 是的解.6若,方程组中, 方程个数少于未知量个数，则有( )(A) 一定无解。 (B) 只有零解。 (C) 必有非零解。 (D) 一定有无穷多组解。7线性方程组， 若 ,则方程组 ( )(A)无解 (B)有唯一解 (C)有无穷多解 (D)其解需要讨论多种情况8 设、都是阶矩阵，且, 则和的秩（ ） 必有一个为, 必定都小于, 必有一个小于， 必定都等于 二 填空题1方程组的通解为_. 2设5阶方阵的行列式为 ，则 _.3已知 ，求 三 计算题1 2 解：3 解： 4 、5设, 求矩阵的秩。解：，6设, 求 解：， 7 解矩阵方程:解: 8 解矩阵方程:9 解: 10 求线性方程组的通解解: 知, 故原方程组有无穷多组解,同解方程组为：，为自由未知量,原方程组的通解为：, 任意常数10求线性方程组的通解，并指出其对应的齐次线性方程组的一个基础解系。解:知, 故原方程组有无穷多组解, 同解方程组为：，为自由未知量,原方程组的通解为：, 任意常数11求线性方程组的通解，并指出其对应的齐次线性方程组的一个基础解系。解: ，知, 故原方程组有无穷多组解,同解方程组为：，为自由未知量,原方程组的通解为：, 任意常数12当为何值时下列线性方程组有解？有解时用向量形式表示出它的通解 解: ，当时, ,线性方程组有解。，知, 故原方程组有无穷多组解, 同解方程组为：，为自由未知量,原方程组的通解为：, 任意常数13判断下列向量组的线性相关性并求它的一个最大无关组（1）（2）1=(1,0,1), 2=(0,1,-1), 3=(2,0,1) 4=(0,1,2)解：（1）向量组线性无关，且就是一个最大无关组解：（2）向量组线性相关，或是最大无关组14 已知向量组， ， ，求向量组的秩。解: 15已知向量组 ， ，的秩为2，求t。解:若,则,所以.16讨论向量组 ， ， ，当为何值时，向量组线性相关。解: 若向量组线性相关,则所以,即四 证明题1设相乘可交换，且可逆，证明与相乘也可交换.证：由 得 故2设是可逆的 阶矩阵，求证证： 由 故线性代数练习题答案一选择题（）。（）可代入验算。（,）例如（,）部分组也含向量组本身。（）是的任意解，是的特解时，是的全部解（）（），由克莱姆法则知有唯一解。（）二填空题，k是任意常数 ，有关的三计算题解：化为三角形行列式得： 解：由范得蒙行列式结论得：解：按第一行展开计算得：解：将,行加到第一行提公因式化三角形得：解：，解：解：,，解：同上题，解：增广矩阵(行最简阶梯阵)，0. 解：对增广矩阵做初行变后类上题可得：，令为对应导出组的一个基础解系。1. 解：对增广矩阵做初行变后类上题可得：，令为对应导出组的一个基础解系。12. 解：对增广矩阵做初行变后可知当时，原方程组有解，通解为：13. (1)解：,(2)解：,1