直觉在数学教学中的应用.pdf

直 觉 在 数 学 教 学 中 的 应 用 毛飞飞 浙江衢州市柯城万田中学 324000 随着教育观念的转轨 创造性思维越来 越被人们所重视 直觉作为创造性思维的重 要构成部分也日益被人们所关注 现代思维 学理论认为 直觉就是对于一些现象或事物 未经过严密的逻辑程序直接地认识到其内在 本质或规律的思维活动 由于直觉过程具备 直接性与快速性 它对事物的认识是瞬间完 成的 所以直觉普遍受到科学家们的青睐 在 初中数学教学中直觉有着广泛的应用 下面 笔者根据自己的实践谈谈这方面的几点体 会 一 直觉在发散性思维中的应用 思维的发散不是盲目的发散 它必须朝 着 可 能解决问题的方向发散 那么究竟哪些 才是 可 能的呢 这要依赖于直觉 例1 解方程 x 2 6 x 3 10 x 30 x 2 6 7 分析 利用直觉 注意分式的特征可考 虑去分母 原方程化为高次方程 注意左边结构可考虑换元 设x 2 6 x 3 y 原方程化为y 10 y 7 注意左边结构还可考虑令 x 2 6 x 3 m 10 x 30 x 2 6 n 从而得 m n 7 m n 10 例2 解方程 x x 2 2 分析 利用直觉 注意根式的特征可考 虑去根号 原方程化为一元二次方程 注意方程特征移项后得 x 2 x 2 0 可考虑换元 设x 2 y 原方程化为 y 2 y 0 注意方程为x 2 2 x 考虑算术平 方根的定义可得 x 2 0 2 x 0 联立 两道例题的几条思路都是发散性思维的 结果 但发散的过程始终得益于直觉 没有直 觉 发散性将变得漫无边际 因此 直觉给发 散性思维指明了方向 它是发散性思维的指 路灯 二 直觉在收敛性思维中的应用 如果说思维的发散是寻找可能性 那么 思维的收敛就是确定必然性 要从可能性飞 跃到必然性同样需要借助于直觉 图1 例3 已知 如图 1 在 A B C中 A B A C A D是B C上 的 高 E F分别是A B A C延长线上的点 且 B E CF A D的延长 线交EF于M 求证 D E D F 分析 由发散性思维可得四条思路 用三角形全等证 用等角对等边证 用角平分线性质证 用线段垂直平分线性质证 利用直觉进行收敛性思维 图形中显然 有全等三角形 故思路 可行 图形中无法轻 易得到 D EF D FE 故思路 被排除 图形中D E D F不是D到 EA F两边的距 离 故思路 被排除 图形中易知A E A F 51 数学教师 1997年第12期 专题研究 1994 2006 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved AM平分 BA C 故AM垂直平分EF 思路 可行 这样 在直觉筛选下 发散性思维的 四种可能性就变成收敛性思维的两种必然 性 最终解决了问题 因此 直觉为收敛性思 维缩小了范围 它是收敛性思维的筛选器 三 直觉在观察中的应用 观察事物是了解事物的基础 观察的目 的是要从个性中探索共性 从现象中寻找规 律 它体现了认知由浅入深的突变 这个突变 能否实现 很大程度上取决于直觉 例4 求19971996的末位数 分析 先考虑特殊情形 1997一次方的 末位数是7 二次方的是9 三次方的是3 四 次方的是1 直觉告诉我们 1997 n 的末位数 似乎以4为周期重复出现 受此启发 做出猜 测 19974 n的是 1 19974 n 1的是 7 19974 n 2的 是9 19974 n 3的末位数是 3 由数学归纳法我 们不难证明这个猜测 从而问题得解 例5 设x y z为互不相等的实数 且 x 1 y y 1 z z 1 x 求证 x 2y2z2 1 分析 x 1 y y 1 z x y 1 z 1 y y z yz yz y z x y 3 由于已知条件具有轮换对称性 受直觉 牵引 我们自然猜测 3 式也有轮换对称性 即 xy x y z x x z x z y z 这个猜测是正确的 从而x 2y2z2 1 回顾例4 例5 直觉在解题中起了重要 作用 它在观察获得的个别特征中剖析出一 般规律 因此 直觉使观察深刻 细致 它是观 察的解剖刀 四 直觉在联想思维中的应用 联想的实质就是意象的联结 但储存于 记忆的意象有许多 并非所有的意象都能联 结起来形成有效的联想 有效联想的产生离 不开直觉 例6 如图2 在 A B C中 A B A C D 是B C的中点 D E A B D F A C 垂足为 E F 求证 D E D F 图2 分析 该题的常见解 法是证 B ED CFD 得D E D F 其实 调动 直觉通过联想有更简捷的 解法 由条件A B A C D 是B C的中点 可引发 等 腰三角形三线合一 意象 A D应是 BA C的平分线 D到 BA C两边 的距离 D E应等于D F 经过直觉的粘连 两 个意象一旦联结 问题就巧妙被解 图3 例7 如图3 在 A B C中 A CB 90 D E在A B上 且A F垂直平分CD B G垂直平分CE 求 证 ECD 45 分析 该题的图形相当复杂 令人无从 下手 其实 调动直觉通过联想 问题将得以 简化 由条件 A F垂直平分CD B G垂直平 分CE 可引发等腰三角形三线合一意象 故 A F平分 CA B B G平分 CBA 由条件 A CB 90 及 A F平分 CA B B G平分 CBA 意象可引发 直角三角形两锐角平 分线相交所得的钝角等于135 意象 即 A OB 135 至此 经过直觉的叠合 两个 意象联结之后 ECD 45 就呼之欲出了 例6 例7都说明直觉对联想至关紧要 只有经过直觉进行相关意象的粘连或叠合才 能完成有效的联想 因此 直觉把构成联想的 相关意象蝉联起来 它是联想的粘合剂 五 直觉在类比思维中的应用 类比是根据事物某一部分的相似推导其 它部分的相似 类比推导具有或然性 它的结 论有时是错误的 这导致人们对类比缺乏足 够的信心 抑制了类比的展开 直觉参与类比 61 专题研究 数学教师 1997年第12期 1994 2006 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 可以增加类比结论的准确性 增强人们对类 比的信心 进而促进类比思维趋向活跃 例 如 研究一元二次不等式 我们可以把它与一 元一次不等式类比 源于对直觉的信心 由部 分相似性 同是不等式 可作以下推广 既 然一次不等式的解是解集 那么二次不等式 的解也是解集 既然求得对应一次方程的 解能知道一次不等式的解集 那么求得对应 二次方程的解也能知道二次不等式的解集 既然对应一次不等式 对应一次方程的解 集和解恰是x轴 那么对应二次不等式 对 应二次方程的解集和解也恰是x轴 这 样 在直觉的激励下 类比思维充分展开了 我们比较全面地得到了一元二次不等式的大 致特征 直觉让类比的结论相对可靠 让类比 思维兴奋 灵活 它是类比思维的催化剂 教学中应用直觉的天地十分宽广 远不 止上述的几个方面 本文只是作了粗浅的探 讨 让我们以法国数学家彭加勒的话共勉 直 觉无处不在 直觉为我们打开发现真理的大 门 参考文献 1 思维学导引 卢明森 工人出版社 1995 2 广义比较思维在初中数学教学中的应用 毛 飞飞 数学教师 1996 6 激励原理在数学教学上的运用 俞剑波 浙江舟山市普陀区五星中学 316131 一 激励 时代的需要 二十年代 美国心理学家罗森塔尔有一 次到一所中学里给某班主任一份名单 颇为 神秘地悄悄告诉她 名单上列出的是他们研 究者在经过各项测试后认为最有发展前途 最可能成才的学生 其实名单只是罗森塔尔 随机抽取的 一学期后 奇迹真的出现了 所 有在名单上列出的学生的确要比其他学生发 展得更快 更为出色 罗森塔尔在研究后得出 这样一个结论 由于研究者暗示给教师名单 上的这些学生将是成功者 因此教师在平时 的教育活动中也常给学生这样的暗示 给予 这些学生更多的关注和鼓励 这会提高他们 的自我形象 从而也更利于他们的发展 罗 森塔尔效应 至少给我们以下启示 教师应多 鼓励 表扬学生 赞可夫说 教学法一旦触及学生的情绪 和意志领域 这种教学就能发挥高度的有效 作用 苏霍姆林斯基也说过 你向自己的学生 提出一条禁律 就应当同时提出十条鼓励 鼓励他们从事积极的活动 所谓激励 就是指运用各种有效手段激 发人的热情 调动人的积极性 主动性 发挥 人的创造精神和潜能 使行为朝向组织所期 望的目标而努力的一种心理因素 2 中小学中 原本不乏对数学恐惧 畏难 少兴趣的学生 一些学生学数学的积极性和 自信心又常受到这样那样的挫伤 真正是雪 上加霜 使数学教学的分化越演越烈 这就从 一个侧面提醒我们 数学教学需要激励 数学 教师尤应懂得激励的艺术 二 教学上激励的主要方法 1 信心激励 弗雷德 爱泼斯坦 美 上小学后 学习 状况很糟 不管怎么