自然数约数的个数及所有约数的和.doc

自然数约数的个数及所有约数的和我们知道：一个数，如果能被数b整除，b就是的约数。自然数(除了1以外)按照约数的多少，可以分成质数与合数两类：质数只有1和它自己两个约数；合数除了1和它自己以外，还有其它的约数；上面这些知识都是非常浅显的，连小学生都知道。殊不知，在这些人们耳熟能详的知识中，却隐藏着许多饶有兴味的问题。一、约数的个数一个数的约数的个数，与这个数由哪些质因数组成有关。以12为例，分解质因数得到12223。在构成12的约数时，质因数2，可以取2个(即224)、1个(即212)或者不取(即201)，有3种方法，“3”比质因数2的幂指数“2”多1；对于质因数3，可以取1个(即313)或者不取(即301)，有2种方法，“2”比质因数3的幂指数“1”多1。所以，总共可以组成326个约数，分别是22314312，2131236，2031133，2230414，2130212，2030111。推广到一般：如果一个数Nibjck，其中，、b、c是N的质因数，i、j、k是这些质因数的幂指数。N的约数的个数等于：(i1)(j1)(k1)以360为例，36023325。质因数2、3、5的幂指数分别是3、2、1，所以360的约数有(31)(21)(11)24个。检验：360的约数有360、180、120、90、72、60、45、40、36、30、24、20、18、15、12、10、9、8、6、5、4、3、2、1，共24个。二、约数的总和仍以12为例，12223。根据上面所说的12的约数的构成，这些约数的总和等于：223121312031223021302030，化简后得到：(222120)(3130)。所以，12的约数总和等于：(421)(31)28。检验：12的约数有12、6、4、3、2、1，126432128。推广到一般，如果一个数Nibjck，其中、b、c是N的质因数，i、j、k是这些质因数的幂指数。N的约数总和等于：(ii-1i-21)(bjbj-1bj-2b1)(ckck-1ck-2c1)这个结果可以化简：由恒等式(x1)(xn-1xn-2x1)xn1推知，(x1)(xnxn-1x1)xn11，于是，(xnxn-1x1)。所以，N的约数总和等于：仍以360为例。36023325，360的约数总和是：151361170。检验：360的约数前面已经给出，36018012090726045403630242018151210986543211170。三、完全数一个数的所有约数中，也包括这个数自己，除此之外，其余的约数都小于这个数，称为这个数的真约数。如果一个数的真约数之和正好等于这个数，这个数就叫做完全数。如，6的真约数有3、2、1，3216，所以6就是一个完全数，而且是最小的完全数。更大的完全数有28、496、8128、早在两千多年以前，欧几里得就曾经给出了偶完全数的计算公式：2n-1(2n1)式中，n是大于1的自然数，并且2n1必须是质数。这样就产生了另一个要求：式中的n不能是合数。因为：如果n是偶合数，设n2m，2n122m1(2m1)(2m1)，2n1等于两个数的积，2n1就是合数，这是不允许的；如果n是奇合数，设npq，(p、q为奇数)，2n12pq1(2p)q1。根据前面引用过的恒等式xn1(x1)(xn-1xn-2x1)可得2pq1(2p)q1(2p1)(2p)q-1(2p)q-2(2p)1)2n1等于两个数的积，2n1就是合数，同样是不允许的。所以n只能是质数。上面所说的4个完全数6、28、496、8128，就是当n分别取前4个质数2、3、5、7时得到的。第1个质数是2，当n2时，2n1221413，3是质数，所以第1个完全数是2n-1(2n1)22-1(221)2(41)6；第2个质数是3，当n3时，2n1231817，7是质数，所以第2个完全数是2n-1(2n1)23-1(231)4(81)28；第3个质数是5，当n5时，2n125132131，31是质数，所以第3个完全数是2n-1(2n1)25-1(251)16(321)496；第4个质数是7，当n7时，2n12711281127，127是质数，所以第4个完全数是2n-1(2n1)27-1(271)64(1281)8128；第5个质数是11，当n11时，2n121112048120472389，2047是合数，没有与11对应的完全数。第6个质数是13，当n13时，2n12131819218191，8191是质数，所以第5个完全数是2n-1(2n1)213-1(2131)4096819133550336。用这种方法依次可以求出更大的完全数：第6个完全数是8589869056，对应的质数n17；第7个完全数是137438691328，对应的质数n19；第8个完全数是2305843008139952128，对应的质数n31。可以想象，越往后计算越困难，特别是所对应的质数没有规律，而判断一个数位很多的数是不是质数，就更加困难。在尚未发明电脑的时代，找到一个新的完全数，往往需要成年累月的计算，稍有不慎就会导致判断错误。有了电脑以后，情况大为改观，不过，已经发现的完全数都是偶数，至于是否存在奇完全数，依然是一个未解之谜。四、多重完全数换一种视角，如果把一个数的约数(包括它自己)全部考虑在内，完全数所有约数的总和就等于它的2倍。那么，有没有这样的数，它的全部约数的总和等于它的3倍、4倍、5倍呢？有。这样的数称为多重完全数。通常的完全数就是二重完全数。下面是一些多重完全数的例子：120是一个3重完全数。1202335，120的约数的总和是：1546360，360等于120的3倍；672也是一个3重完全数。6722537，672的约数的总和是：63482016，2016等于667的3倍。30240是一个4重完全数。30240253357，30240的约数的总和是：634068120960，120960等于30240的4倍一个5重完全数。141824390402734571121719约数的总和是：25512168133182070912195200，70912195200等5倍。重数更多的完全数也有，但是由于数太大，约数太多，就不再举例了。五、完全数的余波有时，一个数的真约数之积，会等于这个数的某次幂，如：12，它的真约数有1、2、3、4、6，12346144122；20，它的真约数有1、2、4、5、10，124510400202；45，它的真约数有1、3、5、9、15，1359152025452；24，它的真约数有1、2、3、4、6、8、12，1234681213824243；40，它的真约数有1、2、4、5、8、10、20，12458102064000403；48，它的真约数有1、2、3、4、6、8、12、16、24，1234681216245308416484；80，它的真约数有1、2、4、5、8、10、16、20、40，124581016204040960000804；405，它的