2勾股定理直角三角形三边的关系精品教案.doc

第十四章 勾股定理14.1.1 直角三角形三边的关系（1）教学目标：1.探索并掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2会应用勾股定理解决实际问题教学重点：探索勾股定理的证明过程教学难点：运用勾股定理解决实际问题教学过程：一。探索勾股定理试一试测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：三角尺直角边a直角边b斜边c关系12根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、 b、 c之间的关系由图14.1.1得出等腰直角三角形的三边关系图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形P、 Q的面积之和等于大正方形R的面积即AC，图14.1.1这说明，在等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?试一试观察图14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积 平方厘米；正方形Q的面积 平方厘米；（每一小方格表示1平方厘米）图14.1.2正方形R的面积 平方厘米我们发现，正方形P、 Q、 R的面积之间的关系是 由此，我们得出直角三角形的三边的长度之间存在关系 由图14.1.2得出一般直角三角形的三边关系.若C=90,则勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABC中，C=90, 则(a、b 表示两直角边，c表示斜边)变式：2介绍勾股定理的历史背景。二例题分析：例1.RtABC中，AB=c,BC=a,AC=b,B=90（1） 已知a=8,b=10,求c. (c=6)（2） 已知a=5,c=12,求b (b=13)注意：“B为直角”这个条件。三、引申提高：例2如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离（精确到0.01米） 解 如图14.1.4，在Rt中， .米，.米， 根据勾股定理可得 .（米） 答： 梯子上端A到墙的底边的垂直距离 约为4.96米四巩固练习： 1书本P51.1.2五课时小结：1. 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方2. 已知直角三角形两边的长或知道两边关系和第三边的长，可以利用勾股定理求出三角形未知边长，并可运用面积关系式求斜边上的高。六课堂作业：P55 2.3 14.1.1 直角三角形三边的关系（2）教学目标：1.用拼图的方法说明勾股定理的结论正确。2会应用勾股定理解决实际问题教学重点：利用勾股定理解决实际问题教学难点：构造直角三角形求解。教学过程：一 复习引入：1. 勾股定理的内容是什么？2.一直角三角形中有两条边的长为1和2，求第三边。二 体验勾股定理的几种探求方法：试一试剪四个与图14.1.5完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图14.1.6所示的图形大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论 图14.1.5 图14.1.6用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如图14.1.7所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的由下面几种拼图方法，试一试，能否得出的结论。（1） （2） （3） （4） （5）探究点拔：1.将这四个全等的直角三角形拼成图（1），（2），（3）中所示的正方形，利用正方形的面积等于各部分面积的和可以得出。2.将两个直角三角形拼成图（4）中的梯形，由梯形面积等于三个直角三角形面积的和可以得到。3.通过剪接的方法构成如图（5）的正方形，可以证得。三应用：例1. 如图,为了求出湖两岸的AB两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使ABC恰好为Rt，通过测量，得到AC长160米，BC长128米，问从A点穿过湖到点B有多远？解：RtABC中，AC=100，BC=128，根据勾股定理得: (米)答：从A点穿过湖到点B有96米。说明：运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形。若已知条件中没有直角三角形时，应构造直角三角形后方可运用勾股定理。例2 .在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘。如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？解：设.RtABC中， 四引申提高：例3有一个棱长为1米且封闭的正方形盒子（如图），一只蚂蚁从顶点A向顶点B爬行，问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？分析：最短路程为展开图中的米五 小结：1.说明勾股定理成立时要有一定的拼图能力。2.构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题，运用勾股定理建立方程求解。六课堂作业：书P53 1.2 14.1.2直角三角形的判定教学目标：1.掌握直角三角形的判别条件。 2.熟记一些勾股数。能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用。教学重点 ：直角三角形的判别条件及其应用；它可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形。教学难点 ：直角三角形的判别条件判断一个三角形是否是直角三角形及综合应用直角三角形的知识解题。教学过程：一 .复习引入：1、 复习直角三角形的性质：角的性质、边的性质。2、 我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？二、 讲述新课：1、 古代埃及人作直角：古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形。其直角在第4个结处。他们真的能够得到直角三角形吗？2、做一做下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：5，12，13； 7，24，25； 8，15，17。（1）这三组数都满足 吗？（2）分别以这三组树为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？3、从做一做中，你能猜想到什么结论？勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形.例1 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形：（1） 7， 24， 25； （2） 12， 35， 37； （3） 13， 11， 9解 因为 25，所以根据前面的判定方法可知，以（1）、（2）两组数为边长的三角形是直角三角形，而以组（3）的数为边长的三角形不是直角三角形4、勾股数：能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数）。请你与你的同伴合作，看看可以找出多少组勾股数。练习：在一根长为180个单位的绳子上，分别标出A，B，C，D四个点，它们将绳子分为长为60个单位、45个单位和75个单位的三段线段。自己握住绳子的两个端点（A点和D点），两名同伴分别握住B点和C点，一起将绳子拉直，会得到一根什么形状？为什么？记住常用的勾股数能成为直角三角形三边的三个正整数叫做勾股数，32+42=52 3、4、5是一组勾股数同理 6、8、10是一组勾股数，5、12、13也是一组勾股数；此外，还可用下面的方法产生无数组勾股数：由例2a=n2-1b=2nc=n2+1n=2a=3b=4c=5n=3a=8b=6c=10n=4a=15b=8c=17三、 随堂练习：1、P54练习1.2题四、 小结：（1） 只要有两边的平方和等到于第三边的平方，这样的三角形是直角三角形，简记为：a2+b2=c2C=900（2） 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较；（3） 常用的勾股数有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等。（4） 判定一个直角三角形，我们除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用今天的勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用；（5） 在定理中出现的a、b、c并不是固定的，要理解其实质；五、布置作业：P55 5.6勾股定理的应用（一）一、教学目标1、会用勾股定理解决简单的实际问题。2、树立数形结合的思想。二、重点、难点1、重点：勾股定理的应用。2、难点：实际问题向数学问题的转化。3、难点的突破方法：数形结合，从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性。勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用三.举例例1如图14.2.1，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程图14.2.1分析 蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图14.2.2），得到矩形 D，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线AC之长（精确到.cm）图14.2.2解 如图14.2.2，在Rt中，底面周长的一半cm， AC229（cm）（勾股定理）答： 最短路程约为cm例2一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图14.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?图14.2.3分析由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图.所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD， 与地面交于H解 在RtOCD中，由勾股定理得.米，C.（米）.（米）因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门四.随堂练习：1、P54练习1.2题五、作业1课本P1415 1.4 1、2、3。勾股定理的应用（二）一、教学目标1、会用勾股定理解决较综合的问题。2、树立数形结合的思想。二、重点、难点1、重点：勾股定理的综合应用。2、 难点：勾股定理的综合应用。教学过程：一.举例例3如图14.2.5，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1） 从点A出发画一条线段，使它的另一个端点在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2） 画出所有的以（1）中的为边的等腰三角形， 使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数分析只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求 图14.2.5 图14.2.6解（1） 图14.2.6中长度为22（2） 图14.2.6中、 D就是所要画的等腰三角形例4如图14.2.7，已知CDm， ADm， ADC， BCm， m求图中阴影部分的面积图14.2.7解 在RtADC中，AC（勾股定理）， ACm ， ACB为直角三角形（如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： abc，那么这个三角形是直角三角形）， S阴影部分ACBACD1/21/2（m）二、随堂练习三作业回顾与思考教学目标1知识目标：掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，熟练地运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题。2能力目标：正确使用勾股定理的逆定理，准确地判断三角形的形状。3德育目标：熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的爱国热情，培养探索知识的良好习惯。教学重点：掌握勾股定理及其逆定理。教学难点：准确应用勾股定理及其逆定理。教具准备：投影仪，胶片，彩色水笔，三角板等教学方法：启发式教育教学过程 一、回顾与思考 1直角三角形的边存在着什么关系？ 2直角三角形的角存在着什么关系？ 3直角三角形还有哪些性质？4如何判断一个三角形是直角三角形？ 5你知道勾股定理的历史吗？三、 讲例BDCAO问题：如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？（留几分钟的时间给学生思考）分析：1、求梯子的底端B距墙角O多少米？ 2、如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m至C，请同学们猜一猜：（1）底端也将滑动0.5米吗？（2）能否求出OD的长？解：根据勾股定理，在RtOAB中，AB=3m，OA=2.5m，OB2=AB2-OA2= 32-2.52=2.75。BOAOB1.658m；在RtOCD中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，OD2=CD2-OC2= 32-22=5。OD2.236m。BD=OD-OB=2.236-1.6580.58m如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.58m。 例2 议一议P19 拼图与勾股定理 观察图 2 验证：c2a2b2证明：大正方形面积可表示为c2，也可以表示为ab4（ba）2 所以c2ab4（ba）2 2abb22aba2 a2b2 故c2a2十b2例3. 一个零件的形状如图，按规定这个零件中A与BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD4，AB3，DB5，DC12，BC13，这个零件符合要求吗？ 分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断ABC和DBC是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。DBA34512C13 解：在ABC中，AB2AD2324291625BD2 所以ABC为直角三角形，A90 在DBC中，BD2DC25212225144169132BC2 所以DBC是直角三角形，CDB90 因此这个零件符合要求。四