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文档简介
第十六章 多元函数的极限与连续 本章重点 1 掌握二元函数的极限的定义,会求二元函数的极限,并能区分二元函数的二重极限和累次极限3 熟练掌握二元函数连续性的定义,并能运用它判断二元函数的连续性内容提要1平面点集的基本概念坐标平面上满足某种条件的集合,称为平面点集内点:若存在点的某邻域,使得,则称点是的内点外点:若存在点的某邻域,使得,则称点是的外点界点:若存在点的任何邻域既含有属于的点,又含有不属于的点,则称是的界点聚点:若在点的任何空心邻域内都含有中的点,则称是的聚点孤立点:,若点不是的聚点,则称点是的孤立点2平面点集的基本定理柯西准则:平面点列收敛,正整数,当时,对一切正整数都有闭域套定理:设是中的闭域列,它满足:(1),(2),则存在惟一的点,聚点定理:设为有界无限点集,则在中至少有一个聚点3元函数的概念设为中的点集,若有某个对应法则,使中每一点,都有唯一的一个实数与之对应,则称为定义在上的元函数,记作,或,4多元函数的极限与累次极限定义 设函数在以点为聚点的集合上有定义,若对于任何的,存在,使得只要及,有,则称当点趋于点时的极限为特别,当函数为二元函数时,该极限又记为,并称之为二重极限若存在或存在,则称之为二次极限或累次极限二重极限与累次极限关系:(1)两个累次极限都不存在,二重极限仍可能存在;(2)两个累次极限存在而不相等,二重极限必不存在;(3)两个累次极限存在且相等,但二重极限仍可能不存在5二元函数的连续性及性质定义2 若在有定义且满足,则称在点连续性质 (1)有界性定理:若在有界闭区域上连续,则它在上有界,亦即存在正数,使在上恒有(2)一致连续性定理:若在有界闭区域上连续,则它在上一致连续,亦即对,使上任意两点,当,时恒有(3)最大值最小值定理:若在有界闭区域上连续,则它在上必有最大值和最小值(4)零点存在定理:设在区域内连续,并且在内两点和有,那么用完全位于内的任意折线联结和时,在上必有一点满足典型例题分析例1 指出下列点集的内点、界点、聚点,并说明是否是有界集、连通域、开区域、闭区域等(1);解 任意点都是的界点;没有内点;轴上的点,轴上的点与都是的聚点;是有界集;不是开区域,不是闭区域,也不是连通区域(2)或解 如图1y 0 x 图1中除外任意点都是的内点;圆:与的点和点都是的界点,中的点都是的聚点,是有界集,是单连通域,但既不是开区域(点不是的内点),也不是闭区域例2 已知,求解 设,则,所以,例3 确定下列函数的定义域(1);(2)解 (1)因为,所以(2)因为,所以,即因此或例4 的充要条件是:,证明 ()设,由条件可得,所以,当时,有.显然,所以,()当,时,有,当时,有;,当时,有取当,有,例5 依定义验证证明 (取),为了使,而,所以只要,取,于是,满足与时, 即例6 计算极限解 注意到函数和在上连续,根据极限的运算法则得例7 计算极限解 注意到,就得例8 计算极限解 ,而,由夹逼准则得例9 计算极限解 令,例10 设,证明证明 令,不妨令,则对,当时,因为,所以,因此例11 设,求在原点的两个累次极限解 显然,所以又有,所以例12 讨论下列函数在点的极限是否存在(1);(2);(3)解 (1)由于,显然随变化而变化,所以不存在(2)由于,所以不存在(3)由于,所以不存在例13 (1)试举出两个累次极限不相等的例子;(2)试举出只有一个累次极限存在的例子;(3)试举出二重极限存在但累次极限不全存在的例子解 (1)对于 ,有;又有 (2)对于在点,有;而不存在(3),在的二重极限存在为0,但仅存在一个累次极限又如在的两个累次极限不存在,但二重极限存在且为0例14 证明函数在上连续证明 设为上的任一点,由于,取当时,就有所以在点连续,由于为上的任一点,所以在上连续例15 设试讨论它在点处的连续性解 设,则所以,当时,函数在点处连续,当时,函数在不连续例16 设是定义在上的实值连续函数,是任意实数,试证明是开集,是闭集证明 ,由局部保号性,使当时,故这就证得中任一点都是的内点,即为开集同理可证也为开集,而,故必为闭集如果或为空集,则按约定,结论亦成立例17 证明点到非空集的距离函数,()是连续函数证明 ,由下确界定义,使得由三角不等式,对任何,恒有,所以,所以,取,当时,有成立,所以在连续因此,在处处连续例18 若函数分别对每个变量与都连续,并对是单调的,则函数是连续的证明 任取一点,设对单调增加,因为对、都连续,即,有或 (16.1),有与 (16.2)对任意点,当与时,应用对单调增加性及(16.1)(16.2)有,所以当,当,时,有成立,所以在连续,因此是连续函数例19 证明函数在上非一致连续证明 要使结论成立,只要证:,取,对,取,有 (只须),,有,所以在上非一致连续例20 证明函数的不连续点的集合不是封闭的证明 因为 ,所以当时,在连续,即在除去轴以外的一切点都连续,又,所以在点连续;当,对点,不存在,所以在不连续所以的全部不连续点为轴上除外的所有点,且为不连续点集的一个聚点,所以的不连续点的集合不是封闭的补充练习题1指出点集的内点、界点、聚点,并说明是否是有界集、连通域、开区域、闭区域等2确定函数的定义域3证明:对任何,它的导集必为闭集4讨论函数当时,极限是否存在?5证明:6证明:7讨论是否存在8设讨论函数在点的累次极限与二重极限是否存在9讨论函数的连续性: 10讨论函数的连续性自测题()一、选择题1若、为闭集,则对于与集合类型下面哪个是正确的( )A都为开集;B都为闭集;C为闭集,为开集;D为开集,为闭集2邻域是( )集A开集; B闭集; C左开右闭; D左闭又开3函数的定义域为( )A; B;C; D4若,则为( )A; B; C; D5有关函数在点连续性的讨论下面正确的是( )A在点关于与分别是连续的,但在点不连续;B在点关于是连续的,关于是不连续的,在点不连续;C在点关于是连续的,关于是不连续的,在点不连续;D在点关于、都不连续,在点不连续二、填空题1设,则为,且的导集为(填开集或闭集)2设函数,则它的定义域为3 = 4 = 5叙述中有限覆盖定理三、计算题1设,当时,试求函数与2求函数的定义域3计算4计算及,其中 四、证明题1用极限定义证明:2证明:(1)不存在;(2)不存在3设有二元函数,证明在上不一致连续自测题()一、选择题1为开集的充分必要条件是( )A为开集;B为闭集;C为闭集; D为开集2若为有界闭域上连续函数,且不是常数函数,则必定是( )A开集;B邻域; C闭区间; D不确定3函数的定义域为( )A;B;C;D4若,则为( )A; B; C; D5若函数在某区域内对变量是连续的,而关于对变量是一致连续的,则此函数在所考虑的区域内是( )A一致连续; B连续; C不连续; D不确定二、填空题1设均为整数,则是(填开集、闭集、有界集、区域),的边界是2函数的定义域是3若,则4函数的不连续点是5三、计算题1设,当时,求和2求函数的定义域3计算4计算及,其中四、证明题1用极限定义证明2设函数,求证不存在3证明函数分别对于每一个变量或连续的,但并非对这些变量总体是连续的补充练习题参考答案1提示 集是坐标面去掉了原点,除原点外任意一点都是的内点;只有原点是的界点;坐标平面上任意一点都是的聚点;是无界集;是复连通域;是开区域2提示 只要满足和且即可,于是定义域是3提示 设为中任一聚点,由定义,使,再由为的聚点,必使,于是,所以是的聚点,由的任意性可知是闭集4提示 利用夹逼准则,所以5提示 先换元,再利用夹逼准则因为,而,所以6提示 利用夹逼准则因为及7提示 当,设,有,因为,所以该极限不存在或取路径,原极限8提示 关于原点的两个累次极限都不存在这是因为对任何,当时的第二项不存在极限同理,对任何,当时的第一项不存在极限但是由于,故9提示 当,取路径,则,而在点处,极限所以在处连续若点不在直线上,则显然在点连续,故的间断点为除外的直线上的所有点10提示 ,且,沿着过点的某条射线,不存在极限,从而在不连续比如可以取直线,这时在不连续,用连续定义证明,在点连续:,即自测题(A)参考答案一、1B; 2A; 3D; 4D; 5A二、1闭,闭;2;3;45设为一有界闭域,为一开域族,它覆盖了(即),则在中必存在有限个开域,它们同样覆盖了(即)三、1提示 因为当时,所以,即,因而2提示 只要即可3提示 由不等式得,而,故有4提示 ;四、1提示 函数的定义域为,并且,所以,对于所给,只要取时,当时,就有2提示 (1)取路径,则不存在,所以不存在(2)取路径,不存在,所以不存在3提示 因为,当时,所以,即在上连续,所以在上连续,但不是紧集,由一致连
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