数学建模-牧羊人的希望 最终版.doc

数学建模牧羊人的希望班级：数学与应用数学（2）班 学号：1307022042 姓名：郭大炜 摘要：本文主要对牧场最大经济效益问题提出规划方案。分析题中所给数据可知，这是一个最优动态规划问题。先找出所求的目标函数，再列出约束条件，即通过有限的牧草资源来限制这片牧场能够饲养的羊群的数目，并使牧草达到最大的利用来建立数学模型。建立模型后，运用MATLAB和LINGO软件求解，得到最优解，使其能够获得的最大的效益。关键词：最优化问题; 分步分析; 线性规划; 正 文1 问题的提出一个牧羊人拥有xm2的牧场,牧场中长着多年生黒草麦，他期望今后几年通过养羊获得满意的收益。请你建立数学模型帮助他解决以下问题。（1）他应该饲养多少只羊？（2）夏季应存储多少干草用作冬季饲料？（3）为了繁殖，每年应该保留多大比例的母羊？ 黑麦草的平均生长率季节冬季春季夏季秋季日生长率（）0374一般母羊的生育期是5至8年，每年产一头、两头或三头。假定每只母羊仅喂养5年就出售。 一只母羊在每个年龄段生产的平均羊羔数年龄（年）0112233445产羊羔（头）01.82.42.01.8 每头羊日平均所需饲料(单位：kg)羔羊母羊冬季0210春季100240夏季165115秋季01352 合理假设与变量说明合理假设：(1) 养殖所需要的圈舍、配合饲料、水的供给、饲养费用等条件忽略不计；(2) 每一只羊羔的食草量一样，每一只母羊的食草量一样；(3) 不考虑生病等影响羊食草量的因素；(4) 不考虑天气、羊践踏等影响草生长的因素，且牧场的草的生长情况都一样；(5) 假设每天长出来的嫩草都能吃；(6) 假设该牧场不会发生自然灾害和其他的人为破坏，不考虑羊群的死亡情况；(7) 能繁殖的母羊均要与公羊交配，且不考虑在此期间公羊吃的草；(8) 假设牧场的面积为500平方米，所有的地都是低洼地，1平方米大概有47棵草；(9) 假设每一个季节为90天；(10) 假设该牧民以最大环境容量饲养羊群，i到i+1阶段的羊留下的数量为xi+1；(11) 假设母羊在春季产羊羔，秋季将公羊和母羊卖出；(12) 假设每年养羊从春季开始，秋天卖出，母羊饲养五年以上均要卖出，公羊饲养一年卖出，母羊放羊，公羊圈养，母羊和公羊的食草量相同；变量说明：(1)x1:去年保留下来的0-1岁的母羊的数量(2)x2:去年保留下来的1-2岁的母羊的数量(3)x3:去年保留下来的2-3岁的母羊的数量(4)x4:去年保留下来的3-4岁的母羊的数量(5)y:夏季储存下来的用于冬季羊群供应的草的重量(kg)(6)r1:去年秋天保留下来的0-1岁的母羊今年被保留的比例(7)r2:去年秋天保留下来的1-2岁的母羊今年被保留的比例(8)r3:去年秋天保留下来的2-3岁的母羊今年被保留的比例(9)W:牧羊人的经济效益3 模型的建立 由已知条件和模型的假设来看，如果在第i年春天各个阶段的母羊的数量为：x1、x2、x3、x4，那么在秋天的时候母羊所产的羊羔的数量为 目标函数最大经济效益： 约束条件：(1) 春天羊日食草量应小于草的日生产量，即：(2)夏季羊日食草量应小于草的日生产量，即：(3)秋季羊的日生产量应小于草的日生产量，即：(4)夏季应储存的草量为：(5)秋季时应保留的1-2岁的羊的数量(6)秋季时应保留的2-3岁的羊的数量(7)秋季时应保留的3-4岁的羊的数量(8)(9)(10)其中：为整数优化后的约束条件为：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)4 模型求解用lingo求解(程序见附录)可得：Local optimal solution found. Objective value: 16.00000 Extended solver steps: 1 Total solver iterations: 79 Variable Value Reduced Cost X1 9.000000 -1.000000 X2 4.000000 -1.000000 X3 2.000000 -1.000000 X4 1.000000 -1.000000 Y 67.20000 0.000000 R1 0.4444446 0.000000 R2 0.4999989 0.000000 R3 0.5000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 16.00000 1.000000 2 0.5000000 0.000000 3 93.96000 0.000000 4 72.40000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 -0.1571504E-05 0.000000 7 -0.4344218E-05 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.4444446 0.000000 10 0.4999989 0.000000 11 0.5000000 0.000000 12 0.5555554 0.000000 13 0.5000011 0.000000 14 0.5000000 0.0000005 模型检验由以上结果可得：当牧场面积为500平方米时，每年最多养16只母羊，其中0-1岁的母羊的数量为9只，1-2岁的母羊的数量为4只，2-3岁的母羊的数量为2只，3-4岁的母羊的数量为1只，每年秋季的保留比率情况为：去年被保留下来的0-1岁的母羊在今年秋季被保留的比率为 0.4444446 ，去年被保留下来的1-2岁的母羊在今年秋季被保留的比率为0.4999989，去年被保留下来的2-3岁的母羊在今年秋季被保留的比率为 0.5000000，而3-4岁的母羊喂满一年在秋季就全部卖出。每年夏天至少要储存67.2*90=6248kg的鲜草。在这里，我们将模型结果反过来带入模型约束条件(1)(2)(3)来验证模型的合理性和正确性。计算得一年之内该牧场总的牧草重量为500*0.014*47*90=29610kg春季的食草总量为70*90=6300kg夏季的食草总量为70.54*90=6348.6kg秋季的食草总量为21.6*90=1944kg;冬季的食草总量为67.2*90=6048kg;剩余草量为：29610-6300-6348.6-1944-6048=8969.4kg绘制成表格如下：季节春天夏天秋天冬天食草量（千克）63006348.619446048从该结果可以看出，在这一年内，牧场的草并没有得到最优化的利用，还有很大一部分草没有利用，这造成了资源的浪费，此时，我们提出，利用这部分草来圈养一部分公羊，可以圈养的公羊的数目为：8969.4/90/(4.2+2.4+1.15+1.35)=10.95,取整数为10。假设牧场的面积为1000平方米时，计算得到每年最多能饲养的母羊的数量为33只，0-1岁的母羊的数量为24只，1-2岁的母羊的数量为3只，2-3岁的母羊的数量为3只，3-4岁的母羊的数量为3只。而当牧场面积越来越大时，0-1岁的所占的比例越来越大。6 模型应用该模型是属于动态规划模型，它还可以应用在生产计划问题，公司要对某产品制定周的生产计划，产品每周的需求量，生产和储存费用，生产能力的限制等是在满足需求的条件下，确定每周的生产量；资源分配问题，总量为m的资源A，总量为n的资源B，同时分配给多个用户，已知多个用户利用资源A和资源B产生的效益不同，问如何分配是多个用户获得效益最大；等等。7 模型优、缺点分析 该模型提出了合理的假设，依据题目已知要求得到约束条件，得出最优解，牧场面积为500平方米事得出的饲养羊的数量与现实比较符合。该模型的构造比较简单，创新之处有两点，一是利用所的结论的数据，反过来带入原来的式子进行验证，二是从生态保护和资源节约的角度出发，最大化了牧草的利用率，增大了经济效益。该模型为牧羊人进行最优决策提供了合理的依据。 然而，该模型也存在着一定的不足之处和缺陷。如没有考虑出生的羊羔的性别比例，为了计算方便，将仙草向干草转化率设为0.5，将每一季节设为90天等，这些假设最然比较合理，但是与现实也是有一定的出入，对结果也存在着一定的影响。8 模型的改进 在上述提出的模型中没有考虑出生羊羔的性别等问题，在这里假设出生羊羔的性别比例为1:1，牧羊人的最大化利益是每年卖出的羊的数量最多，假设牧场运营已步入正轨，那么每年卖出的羊的数量就等于每年繁殖的羊的数量，即目标函数为。 假设每年春天母羊繁殖，在春末将公羊和和部分母羊卖出，每一阶段的羊的保留率为那么约束条件如下： 春天羊的日总食草量小于草的日生产量 夏天羊的日总食草量小于草的日生产量 秋天羊的日总食草量小于草的日生产量冬季羊的日食草总量保留给下一年的0-1岁的羊的数量等于今年的0-1岁的羊的数量：保留给下一年的1-2岁的羊的数量等于今年的1-2岁的羊的数量：保留给下一年的2-3岁的羊的数量等于今年的2-3岁的羊的数量：保留给下一年的3-4岁的羊的数量等于今年的3-4岁的羊的数量：其中为在0到1之间的常数 附录附：lingo9.0程序model:maxz=x1+x2+x3+x4;4.2*x1+4.8*x2+4.4*x3+4.2*x4=70.5;4.12*x1+5.11*x2+4.45*x3+4.12*x4=164.5;1.35*x1+1.35*x2+1.35*x3+1.35*x4=94;y=(x1+x2+x3+x4)*4.2;x2=x1*r1;x3=x2*r2;x4=x3*r3;0=r1;0=r2;0=r3;r1=1;r2=1;r3=1;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);End社会背景一 多年生黑麦草原产西南欧、北非和西南亚的温带。目前世界各国均有栽培。在我国主要分布于华东、华中和西南等地，以长江流域的高山地区生长最好。是一种良好的牧草具有广泛的饲用价值，可用于大力发展畜牧业。生产上，具体的播种量应根据播种期、土壤条件、种子质量、成苗率、栽种目的等而定。一般秋播留种田块、每亩要有3540万左右的基本苗，约需播1公斤左右，作饲草用，并需要提高前期产量时，可多播一些，每亩2.53公斤。 多年生黑麦草质优良，叶量丰富，茎叶柔嫩，适口性好，是马、牛、羊、兔草的优质牧草；也是养鱼的好饲料。产量高，一般每亩产鲜草30005000千克。天水种植，春播当年就可亩产鲜草1500千克。可青饲、青贮或调制干草，也适于放牧利用。与白三叶、红三叶、百脉根等混播，能建成高产优质的刈牧兼用草地。营养价值高，开花前刈制干草，每100千克含可消化蛋白质4.9千克。多年生黑麦草是一草多用的优良牧草。由于其根系发达，生长迅速，耕地种植可增加种植地的土壤有机质，改善种植地土壤的物理结构；坡地种植，可护坡固土，防止土壤侵蚀，减少水土流失。社会背景二合理的起步基础羊群 ：要根据农户饲养人员的管理水平和技术素质确定合理的起步数量，实践证明山区多数农户兴办养羊场，起步基础羊群以不超过30 只为宜，最好在15只左右。有条件、有能力饲养较大群体的农户，可以从此群体生产的羊中选留种羊，扩大种羊数量，这样，羊群的适应性、合群性、抵抗力等就可以较好的解决了。同时，在饲养过程中，注意不要随意从外地或其他羊群购羊补充。 羊舍设计的主要参数羊舍及运动场面积 ：应根据养羊的品种、数量和饲养方式而定。面积过大，浪费土地和建筑材料，单位面积养羊的成本会升高；面积过小，不利于饲养管理和羊的健康。各类羊每只所需羊舍面积如下：成年种公羊为4060平米；产羔母羊为1520平方米；断奶羔羊为0204平方米；其他羊为0710平方米。产羔舍按基础母羊占地面积的2025计