2018届广东省高三四校联考理科数学试卷含答案.pdf

广东省 2018 届高三年级四校联考理科数学试题 1 6 绝密 启用前 试卷类型 A 广东省 2018 届高三年级四校联考 理科数学 本试卷共 6 页 22 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室号 座位 号填写在答题卡上 用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂 黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再填涂其他答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用 铅笔和涂改液 不按以上要求作答的答案无效 4 作答选做题时 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点 再作答 漏涂 错 涂 多涂的 答案无效 5 考生必须保持答题卡的整洁 第第 卷卷 选择题共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 满分 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项符合要求 1 集合 2 560 Ax xx 210 Bxx 则AB A 2 3 B 1 3 2 C 1 3 2 D 1 2 3 2 2 i为虚数单位 则复数 2i i z 在复平面上对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 若实数 x y满足条件 6 32 1 xy xy x 则23xy 的最大值为 A 21 B 17 C 14 D 5 4 已知两个单位向量a b的夹角为120 k R 则 k ab 的最小值为 A 3 4 B 3 2 C 1 D 3 2 广东省 2018 届高三年级四校联考理科数学试题 2 6 5 秦九韶是我国南宋时期的数学家 在他所著的 数书九章 中提出的多项式求值的 秦九韶算法 至今仍是比较先进的算法 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法 求某多项式值的一个实例 若输入n x的 值分别为4 2 则输出v的值为 A 32 B 64 C 65 D 130 6 某几何体的三视图如图所示 则此几何体的体积为 A 2 3 B 1 C 4 3 D 8 3 7 已知函数 32 14 33 f xxxx 若函数 yf xab 为奇函数 则ab 的值为 A 5 B 2 C 0 D 2 8 已知函数 sin f xx 0 图象的一个对称中心为 0 2 且 1 42 f 则 的最小值为 A 2 3 B 1 C 4 3 D 2 9 已知关于x的方程 sin sin 2 xxm 在区间 0 2 上有两个实根 1 x 2 x 且 12 xx 则实数m的取值范围为 开始 输入 n x 1v 否 输出v 结束 0 n 是 vvxn 1nn 正视图 侧视图 俯视图 2 2 2 广东省 2018 届高三年级四校联考理科数学试题 3 6 A 5 1 B 5 1 C 1 5 D 0 1 10 已知抛物线E 2 2ypx 0p 的焦点为F O为坐标原点 点 9 2 p M 1 2 p N 连结OM ON分别交抛物线E于点A B 且A B F三点共线 则 p的值为 A 1 B 2 C 3 D 4 11 e为自然对数的底数 已知函数 1 1 8 ln1 1 x x f x xx 则函数 yf xax 有 唯一零点的充要条件是 A 1a 或 2 1 e a 或 9 8 a B 1a 或 2 11 8e a C 1a 或 2 19 e8 a D 1a 或 9 8 a 12 在三棱锥PABC 中 2PAPBACBC 2 3AB 1PC 则三棱锥 PABC 的外接球的表面积为 A 4 3 B 4 C 12 D 52 3 第 II 卷 非选择题共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 如图是一组数据 x y的散点图 经最小二乘法计算 y与x之间的线性回归方程为 1ybx 则 b 14 4 1 1 1 xx x 展开式中 3 x的系数为 15 过双曲线 22 22 1 xy ab 0a 0b 右顶点且斜率为2的直线 与该双曲线的右支 交于两点 则此双曲线离心率的取值范围为 16 如图在平面四边形ABCD中 45A 60B 150D 24ABBC 则四边形ABCD的面积为 y x 4 4 3 2 1 9 O43 1 0 9 A D B C 广东省 2018 届高三年级四校联考理科数学试题 4 6 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 60 分 17 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知等差数列 n a的前n项和为 n S 1 a 0 1 21 nn aS Nn I 求 的值 II 求数列 1 1 nn a a 的前n项和 n T 18 本小题满分 本小题满分 12 分 分 依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图 甲 所示 依据当地的地质构造 得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图 乙 所示 试估计该河流在8月份水位的中位数 I 以此频率作为概率 试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率 该河流域某企业 在8月份 若没受1 2级灾害影响 利润为500万元 若受1级灾害影响 则亏损100万元 若受2级灾害影响则亏损1000万元 现此企业有如下三种应对方案 乙乙 甲甲 2级级 1级级 频率频率 小于小于4040 50大于大于50水位水位 米米 0 20 0 40 0 05 0 10 0 60 频率频率 组距组距 水位水位 米米 0 06 0 05 0 04 0 02 0 01 55504540353025 广东省 2018 届高三年级四校联考理科数学试题 5 6 方案 防控等级 费用 单位 万元 方案一 无措施 0 方案二 防控 1 级灾害 40 方案三 防控 2 级灾害 100 试问 如仅从利润考虑 该企业应选择这三种方案中的哪种方案 说明理由 19 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知四棱锥PABCD 底面ABCD为菱形 PDPB H为PC上的点 过AH的 平面分别交PB PD于点M N 且 BD平面AMHN I 证明 MNPC II 当H为PC的中点 3PAPCAB PA与平面ABCD所成的角为60 求二面角PAMN 的余弦值 20 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知椭圆E 22 22 1 xy ab 0 ab 的离心率为 1 2 圆O 222 xyr 0 r 与x 轴交于点M N P为椭圆E上的动点 2PMPNa PMN 面积最大值为 3 I 求圆O与椭圆E的方程 II 圆O的切线l交椭圆E于点A B 求 AB的取值范围 C A D B P H M N 广东省 2018 届高三年级四校联考理科数学试题 6 6 21 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知函数 1 e1 6 x a f xx 其中2 718e 为自然对数的底数 常数0a I 求函数 f x在区间 0 上的零点个数 II 函数 F x的导数 e x F xa f x 是否存在无数个 1 4 a 使得lna为 函数 F x的极大值点 说明理由 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第 一题计分 22 本小题满分本小题满分 10 分 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中 已知曲线 1 1Cxy 与曲线 2 22cos 2sin x C y 为 参数 0 2 以坐标原点O为极点 x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 I 写出曲线 12 C C的极坐标方程 II 在极坐标系中 已知点A是射线 0l 与 1 C的公共点 点B是l与 2 C 的公共点 当 在区间 0 2 上变化时 求 OB OA 的最大值 23 本小题满分本小题满分 10 分 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 2 1f xxxa 其中a R I 当2a 时 求不等式 6f x 的解集 II 若存在 0 Rx 使得 0 f xa 求实数 a 的取值范围 广东省 2018 届高三年级四校联考理科数学答案 1 9 广东省 2018 届高三年级四校联考理科数学 参考答案 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 满分 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项符合要求 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C B B C C B A D C A D 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 0 8 14 1 15 1 5 16 63 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每 个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 60 分 17 本小题满分 12 分 解析 解析 I 因为 11nnn aSS 代入 1 21 nn aS 可得 1 21 nnn SSS 2 分 整理可得 2 1 1 nn SS 因为0 n S 所以 1 1 nn SS 3 分 所以数列 n S是首项为 公差为1的等差数列 4 分 所以 1 1 n Snn 2 1 n Sn 5 分 当2n 1 223 nnn aSSn 6 分 当1n 1 a 7 分 因为 1 2 nn aa 所以 若数列 n a为等差数列 则有 21 212aa 解得1 8 分 II 由 I 可得21 n an 所以 1 11111 21 23 22123 nn a annnn 10 分 广东省 2018 届高三年级四校联考理科数学答案 2 9 所以 12231 111 n nn T a aa aa a 即 111111111 235572123646 n T nnn 12 分 18 本小题满分 12 分 解析 解析 I 依据甲图 记该河流 8 月份 水位小于40米 为事件 1 A 水位在40米至50 米之间 为事件 2 A 水位大于50米 为事件 3 A 它们发生的概率分别为 1 0 020 050 06 50 65P A 2 0 040 02 50 30P A 3 0 01 50 05P A 3 分 记该地 8 月份 水位小于40米且发生1级灾害 为事件 1 B 水位在40米至50米之间且 发生1级灾害 为事件 2 B 水位大于50米且发生1级灾害 为事件 3 B 所以 1 0 1P B 2 0 2P B 3 B 0 6P 4 分 记 该河流在 8 月份发生 1 级灾害 为事件B 112233 P BP A BP A BP A B 112233 P AP BP AP BP AP B 0 65 0 100 30 0 200 05 0 600 155 估计该河流在 8 月份发生 1 级灾害的概率为0 155 6 分 以企业利润为随机变量 选择方案一 则利润 1 X 万元 的取值为 500 100 1000 由 I 知 1 500 0 81P X 1 100 0 155P X 1 1000 0 035P X 1 X的分布列为 1 X 500 100 1000 P 0 81 0 155 0 035 广东省 2018 届高三年级四校联考理科数学答案 3 9 则该企业在 8 月份的利润期望 1 500 0 81 100 0 155 1000 0 035E X 354 5 万元 8 分 选择方案二 则 2 X 万元 的取值为 460 1040 由 I 知 2 460 0 965P X 2 1040 0 035P X 2 X的分布列为 2 X 460 1040 P 0 965 0 035 则该企业在 8 月份的平均利润期望 2 460 0 965 1040 0 035407 5E X 万元 10 分 选择方案三 则该企业在 8 月份的利润为 3 500 100400E X 万元 11 分 由于 231 E XE XE X 因此企业应选方案二 12 分 19 本小题满分 12 分 I 证明 连结AC交BD于点O 连结PO 因为ABCD为菱形 所以BDAC 且O为AC BD的中点 因为PDPB 所以POBD 因为ACPOO 且AC PO 平面PAC 所以BD 平面PAC 因为PC 平面PAC 所以BDPC 因为 BD平面AMHN 且平面AMHN 平面PBDMN 所以 BDMN 所以MNPC 5 分 C A D B P H M N O 广东省 2018 届高三年级四校联考理科数学答案 4 9 II 由 I 知BDAC 且POBD 因为PAPC 且O为AC的中点 所以POAC 所以PO 平面ABCD 所以PA与平面ABCD所成的角为PAO 所以60PAO 所以 1 2 AOPA 3 2 POPA 因为 3PAAB 所以 3 6 BOPA 8 分 以OA OB OP 分别为x y z轴 建立如图所示空间直角坐标系 记2PA 所以 0 0 0 O 1 0 0 A 3 0 0 3 B 1 0 0 C 3 0 0 3 D 0 0 3 P 13 0 22 H 所以 2 3 0 0 3 DB 33 0 22 AH 3 1 0 3 AB 1 0 3 AP 记平面AMHN的法向量为 1111 nx y z 所以 1 1 0 0 nDB nAH 即 1 11 2 3 0 3 33 0 22 y xz 令 1 1x 解得 1 0y 1 3z 所以 1 1 0 3 n 记平面PAB的法向量为 2222 nxyz 所以 2 2 0 0 nAB nAP 即 22 22 3 0 3 30 xy xz 令 2 1x 解得 2 3y 2 3 3 z 所以 2 3 1 3 3 n 11 分 记二面角PAMN 的大小为 所以 12 12 12 39 cos cos 13 n n n n nn C A D B P H M N O x y z 广东省 2018 届高三年级四校联考理科数学答案 5 9 所以二面角PAMN 的余弦值为 39 13 12 分 20 本小题满分 12 分 解析 解析 I 由题意 22 1 2 ab a 解得 3 2 ba 1 分 因为 2PMPNa 所以 点M N为椭圆的焦点 所以 2222 1 4 raba 2 分 设 00 P xy 所以 0 byb 因为 00 1 2 PMN Srya y 当 0 yb 时 max 1 3 2 PMN Sab 3 分 代入 解得2a 所以 3b 1r 4 分 所以 圆O的方程为 22 1xy 椭圆E的方程为 22 1 43 xy 5 分 II 1 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为ykxm 11 A x kxm 22 B x kxm 因为 直线l与圆O相切 所以有 2 1 1 m k 即 22 1mk 6 分 联立 22 1 43 xy ykxm 消y可得 222 43 84120kxkmxm 因为 1 x 2 x为此方程的根 222 48 43 48 32 0kmk 所以 12 2 8 43 km xx k 2 12 2 412 43 m x x k 因为 222 12121 2 1 1 4ABkxxkxxx x 广东省 2018 届高三年级四校联考理科数学答案 6 9 代入 式可得 22 2 2 43 4 31 43 km ABk k 8 分 代入 式可得 22 22 2 2 3131 3 4 3 1 32 4444 3 3 43 4 kk kk AB k k 所以 222 1111 33 33 162 44 AB kk 令 2 1 3 4 t k 所以 2 14 0 3 3 4 t k 所以 2 11 33 162 ABtt 4 0 3 t 因为 2 1 3 4 4 16 ABt 所以 4 6 3 3 AB 11 分 2 当直线l的斜率不存在时 直线l的方程为1x 解得 3 1 2 A 3 1 2 B 或 3 1 2 A 3 1 2 B 所以 3AB 综上 AB的取值范围为 4 6 3 3 12 分 21 本小题满分 12 分 解析解析 I e 6 x a fxx 1 分 当0 6 a x 时 0fx f x单调递减 当 6 a x 时 0fx f x单调递增 2 分 因为 0 0 66 aa ff 1 10 6 a f 所以存在 0 1 66 aa x 使 0 0f x 且当 0 0 xx 时 0f x 当 0 xx 时 0f x 故函数 f x的有1个零点 即 0 x 4 分 II 法一 法一 当1a 时 ln0a 因为当 0 ln xa e0 x a 当 ln xa e 0 x a 由 I 知 当 0 0 xx 0f x 当 0 xx 0f x 广东省 2018 届高三年级四校联考理科数学答案 7 9 下证 当 1 e a 时 0 lnax 即证 ln 0 fa 2 ln ln1 1ln1 66 aa faaaaaa 记 2 ln1 6 x g xxxx 1 e x 6 分 ln 3 x g xx 3 0 3 x gx x 所以 g x 在 1 e 单调递增 由 1 1 0 3 g e e 10 3 g 7 分 所以存在唯一零点 0 1 e t 使得 0 0g t 且 0 1 xt 时 0g x g x单调递减 0 e xt 时 0g x g x单调递增 8 分 当 1 e x 时 max 1 e g xgg 9 分 由 1 1 0 6 g 2 6e e 0 6 g 得当 1 e x 时 0 g x 故 0 ln 0 0ln faax 11 分 当0lnxa 时 e0 x a 0f x e 0 x F xa f x F x单调递增 当 0 lnaxx 时 e 0 x a 0f x e 0 x F xa f x F x单调递减 所以存在 1 e 1 4 a 时 lna为 F x的极大值点 12 分 II 法二 法二 因为当 ln xa e0 x a 因为当 ln xa e 0 x a 由 I 知 当 0 xx 0f x 因为当 0 xx 0f x 0 x的意义同 I 存在无数个 1 4 a 使得lna为函数 F x的极大值点 即存在无数个 1 4 a 使得 0 lnax 成立 6 分 由 I 问题 等价于 存在无数个 1 4 a 使得 ln 0fa 成立 因为 2 ln ln1 1ln1 66 aa faaaaaa 记 2 ln1 6 x g xxxx 1 4 x 7 分 广东省 2018 届高三年级四校联考理科数学答案 8 9 ln 3 x g xx 1 4 x 因为 3 0 3 x gx x 所以 g x 在 3 2 2 单调递增 由 331 ln0 222 g 2 2 ln20 3 g 所以存在唯一零点 0 3 2 2 t 使得 0 0g t 且 0 3 2 xt 时 0g x g x单调 递减 且