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文档简介

徐州海文 “中值定理”部分内容的题目及解答 题型1 的证明 方法： （1）函数在区间上满足连续函数的零值定理； （2）函数在区间上满足罗尔定理； （3）函数在区间或上为极值。 例1 （1）设在上连续，在内可导，且满足： 试证： 存在一点，使，。 解答： （2）设在上二阶可导，且： ，证明：1，存在；2，存在。解答：（1） （2） （3）在内可导，且：为有限常数），证明：存在一点，使，。（考虑时的情况。）解答 1， 满足2， 时，令： 则： 设：，则在内和“1”有相同的条件 所以： （4）在上连续，在内可导，设连接两点的直线段与曲线交与点，证明：存在一点，使，。解：设：对于对于对于题型 2 或相关表达式的证明 方法（1）：设辅助函数（1）即为所证结论 （2）满足罗尔定理条件。 方法（2）：常数值法 （一般）表达式为对称型或轮换对称型，可设端点为，构造辅助函数 例2（1）设在上连续，在内可导，且满足： 试证：存在一点，使，.解：设： 则：对于 (2) 在上可微，且，证明：存在一点 使得： 解： 所以：辅助函数为： 也可以写成： （3）在上连续，证明：至少存在一点 使得： 。解： 所以，辅助函数设为： 例3 （1）在上连续，在内可导，证明：存在一点，使，。解：柯西定理的基本形式（2）在上可微，且，证明：存在一点，使，。 解答：设： 方便起，将换成，则： 即为辅助函数 （3）在上可微，且，证明：存在一点，使，。解：设： 方便起，将换成，则： 即为辅助函数 题型3 ，满足某种关系式的证明 方法：将分开，一般用两次中值定理。 例4 （1），证明：1，使得： 2，。 解： 对于对于 （2），证明：，满足： 解： （3）设函数在上连续，在内可导，且，证明： 使，。解：（4） ，证明：，对任意正数，均有：。解：对任意正数对于对于题型4 杂题例5（1）设在上具有二阶连续导数，且，证明：1，存在唯一的，使； 2，。 解： 上式两边求极限： （2）在上3阶可导，证明：存在一点，使，。
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