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1 第 5 章 扩散过程理论方法 5 1 Markov 扩散过程 实际的工程系统都会在一定程度上呈现出非线性 线性系统 是客观实际的一种近似模型 对某些特定的问题希望得到准确的 分析 或线性模型无法处理的非线性本质时 必须考虑系统的非 线性 对于非线性系统 在 Gauss 随机激励下的响应不再是 Gauss 过程了 有必要研究响应的高阶矩 或者直接寻求响应的概率密 度函数 Markov扩散过程方法可用于得到非线性系统在Gauss白噪声 激励下的条件转移概率密度函数 直观地说 所谓 Markov 过程 是指这样的一个随机过程 X t 对于任何一个随意选取的当前时 刻 0 t来说 X t在未来时刻 0 tt 的条件概率特性只取决于当前时 2 刻的状态 而与过去时刻 0 tt 的状态无关 设随机过程 X t于任意两个时刻 i t与 jij ttt 的条件概率分 布与条件概率密度分别记为 jjii P x tx t与 jjii p x tx t 则有 Prob Prob jjiijjii jjiijjjjjii P x tx tX txX tx p x tx t dxxX txdxX tx 条件概率密度满足非负条件和如下归一化条件 1 jjiij p x tx t dx 条件概率密度与二维联合概率密度之间的关系为 jjiiiijjii jjiijjiiii p x t x tp x t p x tx t p x tx tp x t x tp x t 3 对于三维情形 对于 ijk ttt 有 kkjjiijjiikkjjii p x t x t x tp x t x t p x tx t x t 更精确地定义 Markov 过程 设有随机过程 X ttT 对于 任意的n以及 1 2 i tT in 且有 12n ttt 若 n X t 关于 121 n X tX tX t 的条件概率密度等同于它关于 1 n X t 的条件概率密度 即 111111 nnnnnnnn p xtxtx tp xtxt 则称 X t为 Markov 过程 一步 Markov 过程 条件概率密度 11 iiii p x t xt 也称转移概率密度 设 Markov 过程 X t在初始时刻的概率密度函数为 11 p x t 则各维概率密度函数都可得到 2211112211 p x t x tp x t p x tx t 4 3322112211332211 1122113322 p x t x t x tp x t x t p x tx t x t p x t p x tx t p x tx t 111111 2 n nniiii i p xtx tp x tp x t xt 可见各维概率密度函数由初始概率密度和各个转移概率密度完全 确定 注意到 111111 iiiiiiiiii p x t xtp x t xtp xt 上式 可转变为 1 1111 22 1 11111 22 nn nniiiiii ii nn iiiiiiiii ii p xtx tp x t xtp x t p x t xtp x t xtdx 5 可见n维概率密度可由其所有的二维概率密度完全确定 若 Markov 过程 X t的转移概率密度不依赖于时刻 仅依赖 于时差 ji tt 即有 jjiiji p x tx tp xx 则称 X t为时齐的 当时差 时 若转移概率密度不依赖于 初始状态 即有 0 lim p xxp x 时 则 p x称为稳态概率密度 6 5 2 CKS 方程 Chapman Kolmogorov Smoluchowski 支配 Markov 过程的 CKS 方程的一般形式为 kkjjjjiijkkiiijk p x tx t p x tx t dxp x tx tttt 证明 已知 kkjjiiiijjiikkjj p x t x t x tp x t p x tx t p x tx t 上式两边对 j x积分 得 kkjjiij iijjiikkjjj p x t x t x t dx p x tp x tx t p x tx t dx 此外 有 7 kkjjiijkkii iikkii p x t x t x t dxp x t x t p x t p x tx t 综合上述两式可得 CKS 方程 证毕 CKS 方程可以转化为等价的转移概率密度的偏微分方程 8 5 3 FPK 方程 Fokker Planck Kolmogorov 设一维 Markov 过程 X t的转移概率密度为 00 p y t x t 假设 它关于t的一阶偏导数存在 即以下极限存在 000000 0 1 lim t p y t x tp y tt x tp y t x t tt 另设y的任意函数 R y 要求当y 时 R y充分快地趋于零 即要求 lim 0 0 1 n n y d R yn dy 考察如下积分 00 IR yp y t x t dy t 9 0000 0 12 0 1 lim 1 lim t t R y p y tt x t dyR y p y t x t dy t II t 注意到 0 tttt 有 0 1 lim 0 tyx p y tt x t dy t 则 X t的样本函数以概率 1 作为时间t的连续函数 上式意味 着 当t 趋于零时 终了位置y与初始位置x之间有有限小偏差的 概率比t 更快地趋于零 一个以概率 1 具有连续样本函数的 Markov 过程 若其一阶 与二阶导数矩存在 且三阶及其以上的导数矩均为零 则该过程 称为扩散的 Markov 过程 简称扩散过程 相应的概率进化方程 简化为 2 000000 2 1 2 p x t xta x t p x t xtb x t p x t xt txx 15 上述 FPK 方程又称前向方程 以下推导与之对应的后向 FPK 方程 将转移概率密度 0 p x t y tt 在 0 yx 处进行 Taylor 展 开 得 000 23 23 000 23 0 00 11 2 3 p x t y ttp x t xtt ppp yxyxyx xxx 上式中 00 pp x t xtt 上式两边同乘以 000 p y tt xt 并对y从 到 积分 得 0000 p x t y tt p y tt xt dy 16 000000 0 23 23 00000 23 00 11 2 3 p p x t xttp y tt xt dyyx x pp yxyxp y tt xt dy xx 根据 CKS 方程 上式转化为 00000 0 23 23 00000 23 00 11 2 3 p p x t xtp x t xttyx x pp yxyxp y tt xt dy xx 上式两边同除以t 并取0t 时的极限 得 23 00 23 00 00 11 2 3 p x t xtppp abc txxx 式中 17 000000 0 1 lim t aa xtyxp y tt xt dy t 2 000000 0 1 lim t bb xtyxp y tt xt dy t 3 000000 0 1 lim t cc xtyxp y tt xt dy t 上式写成如下更简单的形式 2 00 00 3 0 0 lim lim lim tt t E yxE yx ab tt E yx c t 18 通常 关于 Markov 过程的理论认为 三次项 3 0 E yx 以 及更高次项比时间区间t 更快的趋近于零 因此 3 0 0 lim0 t E yx c t 若上述结果不明显时 则应看作一个假设 这个假设的实质是要 求大偏差 0 yx 出现的概率应该随t 的减少而相当快地减小 以致使得这个差值从三阶矩开始的各阶矩比t 更快地趋于零 在 实际问题上 0c 总是首先被假定 这是由于由此带来的误差不 大 而计算却要方便得多 据此 我们得到了与 FPK 前向方程对应的后向 FPK 方程 2 000000 0000 2 00 0 1 2 p x t xtp x t xtp x t xt a xtb xt txx 19 对于n维矢量 Markov 扩散过程情形 若记 00 pptt xx 0 1 lim iii t atE X ttX tt t xXx 0 1 lim 1 ijii t jj btE X ttX t t X ttX tti jn x Xx 则有 2 111 1 2 nnn ij i iij iij b pa pp txxx 上式为多变量情形的 FPK 方程 由一阶导数矩 i atx组成的1n 矢量 ta x称为漂移矢量 由 ij btx组成的nn 矩阵 tb x称为扩 散矩阵 它是非负定对称阵 20 上述n维 FPK 方程又称前向方程 与之对应的n维后向 FPK 方程为 2 0000 00 0000 111 1 2 nnn i ij iij iij pttatpp bt txxx xxx x 可见 当 FPK 方程中的扩散矩阵0 b时 化为经典力学中 的 Liouville 方程 21 5 4 Wiener 过程 当 FPK 方程中的漂移矢量0 A时 称为纯扩散过程 方程 为 2 2 0 0 0 0 2 p w tp w tB tw 方程的解导致 Wiener 过程 记为 W t 第 1 章已经得到纯扩散过 程的 FPK 方程的解 2 1 0 0 exp 22 w p w t BtBt 可见 W t是一个具有 Gauss 分布非平稳的 Markov 过程 其均 值与方差分别为 2 0 EW tEWtBt 22 Wiener 过程的方差正比于时间t 即样本随时间的增长越来越分 散 Wiener 过程也称 Brown 运动 它可作为描述悬浮于液体中的 微粒 花粉 在液体分子的随机撞击下呈现的不规则运动的数学模 型 此外 对应于初始条件为 000 p w t wtww 的情形 Wiener 过程的转移概率密度为 2 0 00 0 0 1 exp 2 2 ww p w t w t B tt B tt 设 有 随 机 过 程 0X tt 用 12 X t t表 示 随 机 变 量 2121 0X tX ttt 并称它为 X t在 12 t t上的增量 若对 于任意的n以及 12 0 n ttt 增量 12 X t t 23 X t t 23 1 nn X tt 是相互独立的 则称 0X tt 是一个独立增量过程 对 于 独 立 增 量 过 程 X t 如 果 增 量 X s t与 增 量 X sh th 具有相同的概率结构 则称 X t是平稳独立增量过 程 对于独立增量过程 X t 如果 0 X非零 那么可定义新的过 程 0 Y tX tX 不难看出 Y t也是一个独立增量过程 且与 X t有相同的增量 并满足Prob 0 0 Y 所以 不失一般 性 可假设独立增量过程以概率 1 具有零初始条件 Wiener 过程 W t的1n 维联合概率密度可表示为 000011 1 n nniiii i p wtwtp wtp w t wt 24 2 1 2 1 001 1 1 2 exp 2 n ii ii ii i ww p wtB tt B tt 记 1 1 iii tttin 再定义增量变量为 1 iii WW tW t 可作如下概率密度变换 0 100 10 det n nn n ww pww wp ww ww w 上式中的 25 1 0 10 1100 0110 0010 det1 0001 n n ww ww w 由此得 2 1 2 1000 1 2 exp 2 n i ni i i w pww wp wtBt Bt 由此可见各个 i W 是相互独立的零均值 Gauss 过程 概率密度可 表示为 26 2 1 2 2 exp 2 i ii i w pwBt Bt 上式仅依赖于 i t 因此 各个增量 i W 还是平稳的 记任意t 间 隔内 Wiener 过程的增量为W 则W 的方差为 2 EWBt W 的概率密度为 2 1 2 2 exp 2 W pWBt Bt 对应扩散系数1B 的 Wiener 过程 称为单位 Wiener 过程或标准 Wiener 过程 对于单位 Wiener 过程 则有 2 E dWdt 设st t 0 0 1 2 s 0 0 1 2 28 t s meshgrid t s B 1 C B min t s subplot 3 1 1 surf t s C xlabel t ylabel s 另一方面 协方差函数 w Ct s的一阶偏导数为 w Ct su ts B s 其中 u 是单位阶跃函数 Cs B heaviside t s subplot 3 1 2 surf t s Cs w Ct s的二阶偏导数为 2 w Ct sts B t s 29 Cst B dirac t s subplot 3 1 3 surf t s Cst 0 0 5 1 1 5 2 0 0 5 1 1 5 2 0 1 2 0 0 5 1 1 5 2 0 0 5 1 1 5 2 0 0 5 1 0 0 5 1 1 5 2 0 0 5 1 1 5 2 1 0 1 30 当st 时 有 2 w Ct s t s Cst B dirac 0 Cst Inf 因此 Wiener 过程不是均方可导的 所以以下 Wiener 过程的导 数过程的协方差函数只能看作一种形式 2 ww Ct sEW t W sCt sB ts t s 而满足这种关系的过程称为形式导数 从理想 Gauss 白噪声 N t的协方差函数 0 2 n Ct sSts 31 来看 它不是二阶矩过程 二阶矩 2 E Nt无界 且不存在均方意 义下的导数 2 n Ct s 无界 如果令 0 2BS 那么 随机过程 W t 与 N t同为均值为零的 Gauss 分布 协方差 函数 w C 与n C也相同 它们具有相同的有限维分布函数族 可以把 Gauss 白噪声 N t看作是 Wiener 过程的形式导数 从而形式上有 dW tN t dt Wiener 过程的参数B就称为相应的 Gauss 白噪声的强度 关于单 位强度 Gauss 白噪声 N t的均方积分就可以在形式上等价为关于 标准 Wiener 过程的随机积分 G t N t dtG t dW t 32 5 5 It 随机积分 以下定义两类特殊的随机积分 It 随机积分和 Stratonovich 随机积分 先考察以下随机积分 0 t t W t dW t 尝试以和式求极限的形式来得到上式的积分 将区间 0 t t任意划 分为n个时刻 01n tttt 并记 11 1 n niiiiii i SW tW tW tttt 当 n 1 1 max 0 nii in tt 33 时 可以如下极限来得到积分 0 0 l i m n t n t W t dW tS 其中 1 1 n niii i SW tW tW t 若取 1 1 iii ttt 且01 可得 11 1 1 n niiii i SW tW tW tW t 11 1 11 22 n iiii i W tW tW tW t 1 ii W tW t 34 222 11 11 11 22 nn iiii ii WtWtW tW t 其中 证明略 2 10 0 1 l i m n n ii i W tW ttt 最后 可得 22 00 0 11 l i m 22 n n SWtWttt 可见 n S的均方极限随 i t 的不同选取而收敛于不同的极限值 但只 有两种特殊的选择才具有重要的理论与实用意义 选取 1ii tt 称 为 It 随机积分 选取 1 2 iii ttt 称为 Stratonovich 随机积分 Stratonovich 随机积分的优点是它形式上遵循普通均方积分 35 和确定性积分的规则 当把理想白噪声看作是相关时间为有限小 的真实噪声的极限情形时 真实噪声适用于 Stratonovich 随机积 分 It 随机积分规则不同于普通的均方微积分 但由于充分利用 了 Wiener 过程的独立增量性质 因而在数学上有一系列良好的性 质 积分号前加花体I表示 It 随机积分 定义为 I 0 11 0 l i m n t iii t G s dW sG tW tW t 若随机函数 G t对于所有 s ts 36 注意到 It 积分的前提是取 1ii tt 使得 1 i G t 与 Wiener 过程增量 1 ii W tW t 是统计独立的 而 Stratonovich 积分取 1 2 iii ttt 使得 i G t 与 Wiener 过程增量 1 ii W tW t 并 非统计独立 It 积分的一些性质 证明略 1 若 G s为非可料函数 且在 0 t t上均方连续 则 It 积分存在 且唯一 2 It 积分具有零均值 即 0 0 t t EG s dW s I 3 It 积分的方差为 37 00 22 tt tt EG s dW sE Gs ds I 4 设 G t与 H t为两个不同的非可料随机函数 则有 000 ttt ttt EG s dW sH s dW sE G s H s ds II 5 当局限于非可料函数 且dW仅在积分中出现时 则有 22 0 0 N dWdtdWN 由此可见 在处理 It 积分时 可以认定dW是 1 2 阶无穷小 dt是 1 阶无穷小 并在微分计算中略去高于 1 阶的无穷小 38 5 6 It 随机微分方程 考察如下一维 It 随机微分方程 dX tX t dtX t dW t 式中 W t是单位 Wiener 过程 且dW 的积分应取为 It 积分 因 而 对上式积分 可得 00 0 tt tt X tX tX t dtX t dW t I It 随机微分方程存在唯一非可料函数解 X t的充分条件为 Lipschitz 条件和增长限制条件 证明略 可以证明 It 随机微分方程的解是 Markov 过程 其原因也可 在直观上做如下解释 给定时刻序列 0 utst 的状态与过去 0 tt 对于多变量 It 随机微分方程 dtt dtt dt XXXW 式中 1 T n dtdX tdXt X 是n维矢量随机过程的微分 1 T s dtdW tdW t W 是s维矢量标准 Wiener 过程的微分 t X 和 X t 分别是如下n维矢量随机过程和ns 阶矩阵随机 过程 12 T n tttt XXXX 43 11121 21222 12 s s nnns ttt ttt t ttt XXX XXX X XXX 设 GtX是标量实函数 仅仅保留不高于 1 阶dt的无穷小时 有 1 2 TT G dGtdtddd t XXX XGXX GX 其中 12 T n GGG XXX X G 44 222 2 121 1 222 2 212 2 222 2 12 n n nn n GGG XXXXX GGG XXXXX GGG XXXXX XX G 代入dX的 It 随机微分方程 略去高于dt的无穷小 最后可得如 下多变量的 It 微分公式 1 tr 2 TTT G dGtdtd t XXXX XGGGW 其中tr 是迹函数 矩阵对角线元素之和 45 5 7 It 随机微分方程与 FPK 方程的联系 设 X t满足如下 It 随机微分方程 dX tX t dtX t dW t 其条件概率密度函数为 00 p x t xt 又设确定性函数 R x是任意 的连续函数 具有连续的二阶偏导数 且在x 处 有 0 R R xx x 当 现考察 E R X的时间导数 由 It 微分公式 可得 2 2 2 1 2 dRR E R XEX tX t dtXX 注意到上式中已经利用了性质 0E dW 此外 依定义还有 00 E R XR x p x t xt dx 46 综合上述两式 可得 00 2 2 00 2 1 2 d R x p x t xt dx dt RR x tx tp x t xt dx xx 对上式右边的积分式进行逐项分部积分 注意到推导过程中有 22 0 0 0 R RppRp xx 可得到 2 2 2 1 2 p R xdxpp R x dx txx 由于 R x是任意的 故可得如下与一维 It 方程对应的一维 FPK 方程 47 0000 2 2 00 2 1 2 p x t xtx t p x t xt tx x t p x t xt x 可见 It 随机微分方程的解是扩散过程 其转移概率密度满足 FPK 方程 它的漂移系数与扩散系数分别为 x t 和 2 x t 如果推广到多维情形 考虑如下n维 It 随机微分方程 dtt dtt dt XXXW 其中 tW是s维矢量 Wiener 过程 与 It 方程相对应的 FPK 方程 为 推导略 0000 i i pttt ptt tx xxxxx 48 2 00 1 1 2 2 T ij ij ij ttptti jn xx xxxx 以 上 FPK 方 程 的 漂 移 矢 量 和 扩 散 矩 阵 分 别 为 t x 和 T ttxx 同一个 FPK 方程只能解得同一个转移概率密度 而同一个 FPK 方程可以对应不同的 It 方程 令 T QQI 用Q 代替 则不同的 It 方程对应着相同的 FPK 方程 因此 FPK 方程给出 的只是宏观的平均结果 49 5 8 Stratonovich 随机微分方程 积分号前加花体S表示 Stratonovich 随机积分 定义为 0 1 1 0 l i m 2 n t ii ii t tt G s dW sGW tW t S 记 1 iii WW tW t 1iii ttt 考虑以下 Stratonovich 积分与 It 积分的差 00 1111 0 l i m 22 n tt tt ii iiiii G X s s dW sG X s s dW s tt G X ttG X ttW SI 对上式中的 1 2 ii X tt 在 1i t 处做 Taylor 展开 并略去高于 i t 的无穷小 得 50 111 222 ii iii tdXtdX X tX tX t dt 再对 11 2 2 iiii G X tttt 在 11 ii X tt 处做 Taylor 展 开 并略去高于 i t 的无穷小 得 1111 2222 iii iiii ttdXt G X ttG X tt 2 2 11 2 111 228 iii GGG G X ttdXtdX XtX 当上式代入前述两积分的差 并略去 ii tW 和 2 i dXW 高阶无 穷小 dX最低阶是dt的 1 2 阶 得 00 11 0 1 l i m 2 n tt tt ii i G X s s dW sG X s s dW s G X tt dXW X SI 51 将dX的随机微分方程代入上式 得 Stratonovich 积分与 It 积分 之间有如下关系 00 0 1 2 tt tt t t G X s s dW sG X s s dW s G X s s X s s ds X SI 当 G X t取为 It 方程中的 X t 时 有 000 1 2 ttt ttt X s X s dW sX s dW sX s ds X SI 通过引入函数 1 2 X t X tX tX tX tX t X 可以将以下 It 方程的积分形式 52 00 0 tt tt X tX tX t dtX t dW t I 转变成 00 0 tt tt X tX tX t dtX t dW t S 将上式写成微分形式 有 dX tX t dtX tdW t 上式称为 Stratonovich 随机微分方程 dW t前加符号 表示该项 做积分时应取S积分 上述结果可推广到多维情形 设关于n维矢量随机过程 tX 的 Stratonovich 方程为 dtt dttdt XXXW 其中系数矢量和系数矩阵为 53 12 T n tttt XXXX 11121 21222 12 s s jk nnns ttt ttt tt ttt XXX XXX XX XXX 这时 记 1 1 1 1 2 ik ijk j jk T niii t tti jnks X tttttt X XX XXXXXX 那么 可得与 Stratonovich 随机微分方程对应的 It 随机微分方程 dtt dtt dt XXXW 54 这样 对于同一个扩散过程 tX Stratonovich 方程与 It 方 程有着一一对应的关系 它们之间可以通过系数互相转换 其中 i t X常称为 Wong Zakai 修正项 当系数 不依赖于X时 0 i 这时 Stratonovich 方程与 It 方程无差别 换言之 Wong Zakai 修正项只在参数激励情形下才可能起作用 55 5 9 物理随机微分方程 当取 Gauss 白噪声作为激励的近似模型时 随机振动分析中 基于物理定律列出的物理随机微分方程应该理解为 Stratonovich 随机微分方程 在经过补充 Wong Zakai 修正项后 才能转换成相 应的 It 随机微分方程 考虑离散确定性系统 系统参数是确定的 受单位 Gauss 白噪 声激励情形 其动力学方程一般表示为 d tttt dt XXX 其中响应 tX是n维矢量 t 是s维随机激励矢量 如果随机激 励的相关时间与系统的张驰时间相比足够小时 这一随机激励就 可近似地取白噪声模型 在频域上可表述为 一个大致均匀的宽 56 带随机激励 如果它的频带覆盖了系统的全部固有频率时 就可 以近似为白噪声模型 实践中经常遇到的非白噪声往往具有某种滤过性质 有理谱 密度 相当于是白噪声输入线性滤波器后的输出噪声 在这种情 形下 通过把这个线性滤波系统增加到待研究系统中 构成的扩 阶系统就只受白噪声激励了 因此 不失一般性 这里将上述系统的激励假设为 Gauss 白 噪声 且各分量可以是相关的 即有 2 T EtEuttu D 0 其中2D是ss 维的激励强度矩阵 57 11111 21222 12 222 222 2 222 s s ssss DDD DDD DDD D 2D一般是非对角阵 现假设 t 可通过 tN的线性变换得出 即 tt LN 其中 tN是s维零均值单位强度的 Gauss 白噪声矢量 即 T EtEuttu NNNI0 L为ss 维对称阵 即 T LL 在推导一般的矢量白噪声激励情 形下的 Wong Zakai 修正项时 需要用到L为对称阵的假设 根据 tt LN 可得 2 T DLL 58 记 tt XXL 则其原动力学方程可写成 d tttt dt XXXN 将白噪声 tN看作是单位 Wiener 矢量过程 tW的形式导数 则 原方程可改写为 Stratonovich 随机微分方程 dtt dttdt XXXW 为得到相应的 It 随机微分方程 必须得到 Wong Zakai 修正项 1 2 1 1 ikik ijkkljl jj jkjkl D XX i jnk ls 59 以及修正后的漂移系数矢量 1 T niii 与 Stratonovich 随机微分方程对应的 It 随机微分方程为 dtt dtt dt XXXW 与 It 方程相对应的 FPK 方程为 0000 i i i pttat ptt tx xxxxx 2 00 1 1 2 2 ij ij ij bt ptti jn xx xxx FPK 方程的漂移系数和扩散系数分别为 2 TT iiijijij atbtttt xxxxDx 60 研究表明 只有对一些极为特殊的一阶非线性系统 才能找到与 之对应的 FPK 方程的精确解 当时差 0 tt 时 若转移概率密度不依赖于初始状态 即有 00 00 00 lim lim0 tttt ptt pttp t xx xxx px称为稳态概率密度 同时漂移系数和扩散系数也趋于稳态