利率衍生工具定价.docx

15 利率衍生工具定价在了解了利率衍生工具的基本特征后，本章将讨论如何对前面介绍的几种利率衍生工具及其定价，主要有利率期货、利率互换及利率上、下限协议等。15.1 利率期货合约在衍生工具定价的讨论中，经常使用的一种思考方法被称为无套利分析法，其基本原理是假定市场是充分有效的、市场信息是充分且完全的、市场信息的扩散是瞬间完成的，在这些假定下，任何套利机会，即不需要任何净投资就能获得净利润的机会都不可能长期存在，即任何套利机会都可能在瞬间即被利用，市场价格对资产真实价值的任何偏离，都可以在瞬间回到资产的真实价值上来。衍生工具定价分析中常用的技术之一是所谓的证券组合复制技术，即在理论上，通过不同的金融工具，组合成风险和收益相同的资产组合，并根据市场有效原理，即风险与收益相同的资产组合在市场上应具有相同的价格，任何价格差都会因为市场的套利机制而消失。本章对债券期货的定价讨论，也将沿用这一思路。15.1.1 债券期货的无套利定价现假定某6个月期国债券期货相关条件如下：债券期限为20年、息票利率为8、市场无风险借贷利率为5，且标的债券当前的市场价格为110美元元，则债券期货的价格应为多少呢？根据上面的无套利原理，可以设想，国券期货的价格无论是高于还是低于其真实价值，都可能出现套利机会。要求出债券期货的理论价值，关键是弄清楚对债券期货进行套利的过程。这里涉及的资产包括：债券、债券期货、无风险可借贷资金。其中，期货的要求是，到期时必须按合同进行交割，这一合约的标的债券本身是一种可接受债券，直接购买标的债券是可以满足期货交割要求的；相应的交易方式包括：债券的多头或空头、债券期货的多头或空头；无风险可借贷资金的借入或借出。相关资产的收益情况为：现金用于投资可产生无风险收益、借入资金须付出至少无风险利率的成本、债券有息票收入。债券期货多头的风险与收益情况是：与空方签订期货合约，在合约到期后按期货合约规定的价格买入债券；债券期货空头的风险与收益情况则是：与多方签订期货合约，在合约到期时，按合约规定的价格出售债券给对方。要使这些资产相互衔接，形成风险与收益和债券期货相似的组合，无非有两种交易策略，一种是在签订多头合约的同时卖空标的债券、并以卖空所获得的资金按无风险利率进行投资，在期货合约到期时，收回投资的资金和利息，并用其在市场上按期货合约规定的价格买入债券，从而偿还卖空时借入的债券，卖空债券所得-按期货价格购买债券的支出卖空所得的投资收入就是这一交易策略的所得；另一种策略是签订合约的同时，通过借入资金、并使用借入的资金买进债券，在期货到期时，用先买入的债券按期货价格进行交割，这时，交割时取得的收入-债券的购买成本-借入资金的利息成本就是这一交易策略的全部收入。下面先看第一种情况：假定当前期货的价格为X美元元，投资者按市场价格110美元元卖空债券，获得110美元元，并以无风险利率5进行投资，半年后，能取得的全部资金为112.75美元元，而期货到期时，要使卖空债券的投资者相对于期货投资者无法取得净无风险收益，则期货的价格应为：X1008/2110+1105/2，即X应为108.75美元元。其中，1008/2表示债券所累积的息票利息收入（这里假定了息票利息的支付时间与债券的交割时间是一致的，且归债券的买入方所有），1105/2表示，将卖空债券获得的资金作无风险借出时取得的收益。再看第二种情况，同样假定债券期货的价格为X美元元，假如投资者从市场上借入110美元元，并用于购买债券；同时按X美元元的价格卖空债券期货，将X美元元以无风险利率借出，当期货到期时，投资者要支付给贷款方的金额是：110+1105/2美元元，而从卖空期货合约所取得的全部收入为：X1008/2美元元（假定息票利息归卖空债券期货的空方），同样，要使这两种投资方式之间没有套利机会，二者就应相等，同样，可以计算出债券期货的价格应为108.75美元元。将上面的例题一般化如下，设：市场的无风险投资与融资利率均为：r息票收益率为：Yc债券的面值为：Fv债券的市场价格为：P债券期货的价格为：F时间单位（年）：t则期货的价格F可以表示为： （16-15-1）为了进一步简化公式，假定债券的当期收益率为rc，按当期收益率的公式，rc=FvYc/P，则前面的公式可以改写成：（16-15-2）前面的例中，当期收益率为8/1107.2727，如果代入公式，可以计算出F1101100.5（5-7.2727）108.75美元元。从上面的公式，可以容易的看出，是r和rc的大小，决定了期货价格与现货价格间的差异，即：（16-15-3）当rrc时，期货价格高于现货价格；rrc时，期货价格低于现货价格，当rc时，期货价格与现货价格相同。其中，rc常被称为净融资成本（Net Financing Cost），即融资成本减去金融工具所产生的收益，亦称持有成本（Cost of Carry）。当持有某项投资工具所产生的收益率高于市场无风险融资利率，通过融资购入金融工具能获得利润时，被称为正持有成本，这时，期货价格应比现货价格更低。反之，则被称为负持有成本。 15.1.2 债券期货理论价格相关参数的选择虽然无套利定价分析，为债券期货的定价确定了基本思路，但在现实生活中，没有对相关参数的准确界定，对债券期货的准确定价几乎是不可能的。这主要涉及的包括：债券现金流的预测与处理、短期融资利率的选择、最佳交割债券的确定、交割日的确定等。债券作为债券期货的基础金融工具，所涉及的现金流主要包括初始现金流、期末现金流和期间现金流。所谓的期间现金流，即在期货合约签订之初至合约到期之间所产生的现金流。要准确的衡量这部分现金流的价值，必须首先明确现金注的贴现利率以及这些现金流的再投资收益率。期货合约的期限长短、息票利率的高低、以及对现金流贴现利率和再投资收益率预测的准确性，都会影响到这些现金流价格衡量的准确性。前面在介绍持有成本时，假定了市场上无风险借款和贷款的利率是一样的，均为无风险利率。然而，现实中，向外界借款与将资金贷出时所获得的收益率常常是不一样的，即借款利率常常并不等于贷款利率。因此，前面的公式在做空期货与做多期货时，就可能不一样：作空时的公式将是：（16-15-4）而作多时的公式将是：（16-15-5）其中rL、 rB分别表示贷款利率（将资金贷出时能获得的收益率）和向外借款时需要支付的利率。这样，期货价格就不再是一个确定的价格，而可能是介于两个价格之间的一个范围。正常情况下，为了稳健，一般假定借款利率高于贷款利率，即rLS虚值实值X=S平价平价XS实值虚值期权的时间价值，是指超过期权内在价值部分以外的价值，这部分价值的来源是，在期权到期之前，标的资产的市场价格可能存在有利于选择权持有方的情况发生，例如，对于看涨期权，如果在期权到期之前，标的资产的市场价格上涨了，或者存在上涨的可能性，则到期之前这段时间内的这些可能性，就会影响到期权的价值。当然，期权到期前，标的资产价格既可能上涨，也可能下跌，所以这部分价值将取决于标的资产价格上涨或下跌的概率、及上涨与下跌的幅度。影响期权价值的因素很多，主要包括标的资产的价格、期权的执行价格、期权有效期限、及执行时间的选择方式、利率结构及利率的波动率、期权有效期内的短期无风险借贷利率、标的资产的收益率等。这些因素对期权价格的影响，不完全是相互独立的，还可能存在相互作用。相关因素中，时间、标的资产价格波动率、利率波动率无论对看涨期权还是看跌期权的价格都起着提高期权价值的作用，这是因为时间越长、期权的时间价值越大，亦即在有效期内出现有利于期权选择方的可能性越大。而较高的波动率的含义则意味着期权标的资产价格波动的幅度比波动率小的时候会更大。价格波动既可能是上涨、也可能是下跌，而两者中，总会有一种情况对期权的持权方是有利的，因此，也会增加期权的价值。标的资产的价格高低与执行价格的高低对于看涨期权和看跌期权价值的影响刚好相反，即较高的标的资产价格和较低的执行价格有利于提高看涨期权的价值，而较低的标的资产价格及较高的执行价格则有利于提高看跌期权的价值。出现这种情况的原因，标的资产价格与执行价格间较大的、有利的价格差时，期权的内在价值也较大。标的资产的息票收益或其它收益，将会降低看涨期权、升高看跌期权的价值。这是因为标的资产的息票收入或其它收益是归标的资产的持有者，不是归期权的持权人。只有当期权的持权人在行使了期权权利，并拥有标的资产以后，才可能获得标的资产的收益。而越高的息票收入，意味着期权持权人在行使期权权利、拥有标的资产时将在标的资产原价值的基础上，作更多的扣除（扣出归原标的资产持有人），标的资产相对期权持权人贬值的部分也越大，因此，标的资产的收益率越高，越会降低看涨期权或升高看跌期权的价值。短期无风险利率的高低对期权价值的影响则较为复杂。对于无收益标的资产，较高的短期无风险借贷利率，不仅会增加期权投资者的资金成本，更会增加直接投资于标的资产的投资者的资金成本，由于期权的杠杆效应，期权投资者成本增加的部分会小于直接投资于标的资产的投资者的成本，从而会增加看涨期权的价值，并降低看跌期权的价值。但对于有收益的标的资产，如果资产的收益率大于短期无风险借贷利率，短期利率的影响将被标的资产的收益率掩盖，不一定能表现出来，特别是与无收益标的资产相比时，更不容易表现出来。总结这些相关因素，可以得到下表：表16-6 不同因素对期权价值的影响图表 156 不同因素对期权价值的影响看涨期权看跌期权标的资产价格+-标的资产价格的波动率+执行价格-+期权有效期+期权执行次数+利率结构及波动性+短期无风险借贷利率+-标的资产收益率-+15.3.2 二叉树模型以固定收益证券为基础资产或标的资产的期权定价，常用的模型主要是布莱克-肖尔斯模型（Black-Scholes Model）和二叉树模型。与前面介绍的二叉树模型一样，在分析债券期权的价值时，必须先确定利率二叉树结构及债券价值的二叉树结构。由于债券的收益曲线的不规则性及其对债券价值的重要影响，对债券价值的计算更多地是使用无套利的二叉树模型，也就是是布莱克-德曼-托伊模型（Black-Derman-Toy Model）。假定当期国债的拍卖利率为：当期国债利率为3，且根据1、2、3年期国债拍卖利率计算得的各年远期利率分别为： 3.5、4、4.5，则利率二叉树结构如下图：利率树是根据对利率波动性的假定为15，按公式较高利率为较低利率之间的关系为：RH=e2RL计算的。同样，根据债券在不同时期的现金流量及相应时间阶段的利率水平，可以计算出各期债券的价值。这里所使用的债券有关参数是：期限为3年，息票利率为7，每年末付息，则各期债券的价值如下图：回到第9章中的例题，假如三年二年期看涨期权的执行价格为100101.5美元元，则可从第二年末，即期权到期时开始计算，可以算出只有当债券价值高于执行价101元时，期权才会被执行，且可以得到被执行时四种不同价值情况下的收益值。再按假定的利率上升和下降的概率一样，可以反推出第二期时期权的价值，并以当期的利率贴现，可以得到当期时债券期权的价值，依次反推回去，可以得到期权当前的值，当利率流动率在20%时为0.0102元；利率波动率在40%时，为0.8861元。同样，假定看跌期权的执行价格也为101元时，可以得到二年期欧式看跌期权的价值，当利率的波动率在20%时为1.3947元，利率波动率在40%时为2.3371元，相关的情况则欧式看涨期权的价值如下图所示： 图表 157利率波动率为20%时，债券欧式看涨（看跌）期权的价格 计算方法是先从第三年末，即期权到期时开始计算，可以算出只有当债券价值高于执行价100.50美元时，期权才会被执行，且可以得到被执行时四种不同价值情况下的收益值。再按假定的利率上升和下降的概率一样，可以反推出第二期时期权的价值，并以当期的利率贴现，可以得到当期时债券期权的价值，依次反推回去，可以得到期权当前的值应为0.33776美元。同样，假定看跌期权的执行价格也为100.50美元时，可以得到三年期欧式看跌期权的价值为：对于美式期权，由于可能被提前执行，在对其定价的过程中，也必须将提前执行的可能性考虑进去。与欧式期权不同的是，在判断某个结点的期权价值时，需要先比较在该点提前执行期权所获得的价值与到期后执行期权所获得的价值，如果当期执行的价值大于到期后执行的价值，则应提前执行；否则，就需要提前执行。对于美式看涨期权，当利率波动率分别为20%和40%时，其价格分别为1.3673元和1.4887元，如下图所示： 其具体情况如下： 图表 158 债券美式看涨期权的价格可以看到，美式看涨期权在本例中的条件下，在第1年及第2年都存在个半年末时行权，是比较好的选择，提前执行的可能，即当债券价格上涨幅度较大、且未来价格呈下降趋势时，提前执行更有利于期权的执权人。另外，在本例中，美式看涨期权的价值明显高于欧式看涨期权，其原因就在于美式看涨期权有提前执行的权利，且利率的期限结构呈上升趋势，从远期看，债券的价格趋跌，所以提前执行更为有利。对于美式看跌期权，当利率波动率分别为20%和40%时，期权的价格分别为0.7252元和1.8569元，如下图所示：其情况如下： 图表 159 债券美式看跌期权的价格可以看到，美式期权的价值总是高于同等条件欧式期权的价值，这主要是美式期权拥有更多的执行期权的机会（有提前执行的可能），从而拥有更多的时间价值。从上图可以看到，与前面分析的欧式看涨、看跌，以及美式看涨一样，随着波动率的升高，美式看跌期权的价格会更高，这是因为，在较高的波动率之下，潜藏着更多的期权行权机会、期权的内在价值会趋高。15.3.3 布莱克-肖尔斯模型布莱克-肖尔期模型是期权定价中最常用的解析模型。经典的布莱克-肖尔斯模型包含了至少以下几方面的假定，一是假定市场是充分有效的，不存在套利机会；二是假定标的资产价格波动率在期权整个有效期内是不变的；三是假定了短期无风险利率r在期权有效期内也是不变的；四是假定了标的资产价格的分布是正态分布的。这些假定对于固定收益证券，有些是适用的，有些则需要进行调整。例如，标的资产无收益，对于零息票债券是适合的，而对于附息票的债券，则不适合。另外，无风险利率不变，在期限较短时，例如3个月，可能是可以接受的假定，而期限较长时，如两年，这一假定就不一定符合实际。另外，标的资产价格的波动率保持不变，也不一定成立。这里不拟对这些变量的各种情况加以讨论，只是在布莱克-肖尔斯模型原假定的基础上，对固定收益证券期权定价进行简单的讨论。对无收益资产欧式期权，其看涨期权定价的布莱克-肖尔斯模型如下： （15-8）假如某无息票债券看涨期权的有关参数如下：X90、t2、S85、20、r=5%，根据布莱克-肖尔斯模型，可以算出：d1=0.2929、d2=0.5040，根据正态分布函数，并代入公式，可以计算出此时看涨期权的理论价格应为11.25美元元。根据看涨期权和看跌期权的平价关系，即： （15-9）其中的p是同等条件的看跌期权的价格，可以很容易计算出同等条件的看跌期权的价格是7.68美元元。布莱克-肖尔斯模型虽然可以用于欧式期权的价格分析，却很难适用于美式期权的价格分析，因为美式期权有可能被提前执行，期权具体的执行时间是不完全确定的。对美式期权定价，常用前面介绍的二叉树模型。布莱克-肖尔斯模型不仅可以作为一种定价的方法，而且可以作为期权价价格对不同因素敏感性或弹性的分析工具。最常用的是期权价值变化相对于标的资产价格变化的Delta比率、以及Delta变化相对于标的资产价格变化的Gamma比率、期权价值变化相对于标的资产价格波动率变化的Vega比率、期权价值变化相对于时间变化的Theta比率、期权价值相对于利率变化的Rho比率等。这些比率的计算，实际上都是以布莱克-肖尔斯模型为基础，相对于某个变量求偏微分的结果。这些比率最重要的用途是，可以通过调整资产组合中不同标的资产对某些变量的弹性系数和头寸，从而控制组合的风险，例如进行套期保值等。15.3.4 利率上限和利率下限协议的价格对利率上、下限协议的定价，最常用的方法仍然是二叉树模型。与前面对看涨期权或看跌期权不同的是，三年两年期的利率上、下限协议的价值，在这里假定是按年半年、在每半年末支付的，因此，要确定三年两年期利率上、下限协议的价值，必须将在第一、二、三1、2、3和4个半年末的支付分别加以计算分别计算出协议的可能支付额的现值，然后将三4次支付的现值加在一起，才能就能确定利率上、下限协议的价值。仍然沿用前面例中的利率树，并：现假定利率上限协议中的上限利率为债券相当收益率4.55 且名义本金为101,000,000美元元，则第一年末第4个半年末的支付情况及其现值的计算分别应为Max(节点利率-4.52.5),0101,000,000=2450.5812590美元元，再按该节点的利率将其贴现到上一个节点，方法与前面所介绍的相同，一直贴现到当前时点，当利率的波动率分别为20%和40%时，其现值为：2668和2745元，具体过程，如下图所示：，并按上升与下降的概率各为50的比例，在这里，即（2450.58+0）/2(1+3)1189.60美元： 图表 1510 利率上限协议的估值同样，可以计算出第二年末第3个半年末利率上限协议的支付额及其现值在利率波动率分是20%和40%的情况如下为1177和1701元。从上图中可以看到，第1、2个半年中，没有出现利率高于半年2.5%实际利率的情况，因此其现金支付额为0。将第3、4半年现金支付额的现值相加，则可以得到，在利率波动率分别为20%和40%的情况下，是3845元和4446元。：第三年末利率上限协议的支付额及其现值如下：最后可以求出三年期利率上限协议的价值为上述三年支付额的现值之和，即1189.6+ 92605.9+229887.5323683美元。对于利率下限协议，其基本原理与利率上限协议相同，只是年末的支付额，只有当利率低于利率下限时，才按利率差和名义本金额进行支付，假定下限利率也为4.53，其中第4个半年可能支付的现金及其现值的计算，如下图所示： 则利率下限协议的价值计算如下： 图表 1511 利率下限协议的估值显然，虽然这里4.5既是上限利率、也是下限利率，但上、下限协议的价值却有非常大的差异，这是因为利率的期限结构呈上升趋势，利率低于下限利率的概率和幅度远少于利率上限协议的缘故可以看到，利率波动率分别为20%和40%的情况下，利率下限协议第4个半年现金流的现值分别为64元和1817元，同样可以分别计算出第3、2、1个半年里，现金流的现值分别为180、1750元，1190、3184元和153和1479元，将这些现值分别相加，可以得，在利率波动率分别为20%和40%的时候，3%利率下限协议的价值分别为：1586元和8229元。从这里可以清晰地看到，利率的波动性，对利率协议价格的影响是非常显著的。在分析利率协议价值的时候，合理地估计和假设利率波动率，自然也就非常关键。本章要点l 利率期货合约l 无套利定价l 净融资成本l 持有成本l LIBORl 互换利率l 互换利差l 内在价值l 时间价值l 实值期权l 虚值期权l 平价期权l 布莱克-德曼-托伊模型l 布莱克-肖尔斯模型练习题1. 设某国债期货合约的标的债券息票利率为6，面值为100美元元，下一付息日显6个月后，且债券当前的市场价格为95美元元，如果市场上的借款利率为5.6 APR，则：(1) 该期货的理论价格应为多少？(2) 假如该期货合约当前的价格为98美元元，请问是否存在套利机会，如果有，应该如何套利？(3) 如果市场上的借款利率和借款利率不相同，且分别为6.0和5.2，而期货合约的价格为96.2美元元，请问是否存在套利机会，如果有，应该如何套利？2. 有以下互换合约：设从2006年1月1日起，按实际天数/360天为时间计算方式、每半结算一次利息，基准利率为6个月期LIBOR，名义本金总额为500万美元元，互换有效期为5年。(1) 假如2006年1月1日的6个月LIBOR为5，则固定利率的支付方应在2006年1月1日收到多少利息？(2) 假如以后两年内，从2006年1月1日起，每半年欧洲美国大额可转让存单的价格如下表：试计算每半年的远期利率以及每半年末浮动利率的支付方应支付