（新课标）高三数学一轮复习 第3篇 第6节 正弦定理和余弦定理及其应用课时训练 理.doc

【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习 第3篇 第6节 正弦定理和余弦定理及其应用课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形1、2、7、8、11与面积有关的问题6、10、15判断三角形形状3、13实际应用问题5、9综合应用4、12、14、16基础过关一、选择题1.(2014北京西城模拟)在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c.若a=3,b=2,cos(a+b)=13,则c等于(d)(a)4(b)15 (c)3(d)17解析:cos(a+b)=13=-cos c,cos c=-13,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos c,所以c=17.故选d.2.(2014高考江西卷)在abc中,内角a,b,c所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则2sin2b-sin2asin2a的值为(d)(a)-19 (b)13(c)1(d)72解析:由正弦定理可得2sin2b-sin2asin2a=2(sinbsina)2-1=2(ba)2-1,因为3a=2b,所以ba=32,所以2sin2b-sin2asin2a=2(32)2-1=72.故选d.3.(2014江西省七校第一次联考)在abc中,若sin(a-b)=1+2cos(b+c)sin(a+c),则abc的形状一定是(d)(a)等边三角形(b)不含60的等腰三角形(c)钝角三角形(d)直角三角形解析:sin(a-b)=1+2cos(b+c)sin(a+c)=1-2cos asin b,sin(a-b)=sin acos b-cos asin b=1-2cos asin b,所以sin acos b+cos asin b=1,即sin(a+b)=1,所以a+b=2,故三角形为直角三角形.故选d.4.(2014烟台模拟)在abc中,若lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-lg 1b+c,则a等于(c)(a)2(b)3(c)23(d)56解析:由lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-lg 1b+c,整理得,lg(a+c)(a-c)=lg b(b+c),(a+c)(a-c)=b(b+c),得b2+c2-a2=-bc.cos a=b2+c2-a22bc=-12,又a(0,),a=23.故选c.5. (2014广州调研)如图所示,长为3.5 m的木棒ab斜靠在石堤旁,木棒的一端a在离堤足c处1.4 m的地面上,另一端b在离堤足c处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为,则坡度值tan 等于(a) (a)2315(b)516(c)23116(d)115解析:由题意,可得在abc中,ab=3.5 m,ac=1.4 m,bc=2.8 m,且+acb=.由余弦定理,可得ab2=ac2+bc2-2acbccosacb,即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(-),解得cos =516,所以sin =23116,所以tan =sincos=2315.故选a.6.在abc中,三个内角a、b、c所对的边分别为a、b、c,若内角a、b、c依次成等差数列,且不等式-x2+6x-80的解集为x|ax0的解集为x|2x4,a=2,c=4,又角a、b、c依次成等差数列,b=3,于是sabc=1224sin 3=23.故选b.二、填空题7.(2014惠州模拟)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan b=3ac,则角b的值为.解析:由余弦定理,得a2+c2-b22ac=cos b,结合已知等式得cos btan b=32,sin b=32,b=3或23.答案:3或238.(2014菏泽一模)在abc中,内角a、b、c的对边分别为a、b、c,已知a2-c2=2b,且sin acos c=3cos asin c,则b=.解析:根据正弦定理和余弦定理由sin acos c=3cos asin c得:a2ra2+b2-c22ab=3b2+c2-a22bcc2ra2+b2-c2=3(b2+c2-a2),a2-c2=b22.解方程组a2-c2=2b,a2-c2=b22,b=4.答案:49. (2014大连联考)如图,为测得河对岸塔ab的高,先在河岸上选一点c,使c在塔底b的正东方向上,测得点a的仰角为60,再由点c沿北偏东15方向走10米到位置d,测得bdc=45,则塔ab的高是.解析:在bcd中,cd=10,bdc=45,bcd=15+90=105,dbc=30,bcsin45=cdsin30,bc=cdsin45sin30=102.在rtabc中tan 60=abbc,ab=bctan 60=106.答案:10610.(2014高考新课标全国卷)已知a,b,c分别为abc三个内角a,b,c的对边,a=2,且(2+b)(sin a-sin b)=(c-b)sin c,则abc面积的最大值为.解析:把正弦定理a=2rsin a,b=2rsin b,c=2rsin c代入已知得(2+b)(a-b)=(c-b)c,(2+b)(2-b)=(c-b)c.4-b2=c2-bc,b2+c2-bc=4.cos a=b2+c2-a22bc=4+bc-42bc=12.a=60.又b2+c2=4+bc2bc,bc4.sabc=12bcsin a=1232bc=34bc344=3.当且仅当b=c=2时取等号,故abc面积的最大值为3.答案:3三、解答题11.(2014高考北京卷)如图,在abc中,b=3,ab=8,点d在bc边上,且cd=2,cosadc=17.(1)求sinbad;(2)求bd,ac的长.解:(1)在adc中,因为cosadc=17,所以sinadc=437.所以sinbad=sin(adc-b)=sinadccosb-cosadcsinb=43712-1732=3314.(2)在abd中,由正弦定理得bd=absinbadsinadb=83314437=3.在abc中,由余弦定理得ac2=ab2+bc2-2abbccos b=82+52-28512=49.所以ac=7.12. (2014高考湖南卷)如图,在平面四边形abcd中,ad=1,cd=2,ac=7.(1)求cos cad的值;(2)若cos bad=-714,sin cba=216,求bc的长.解:(1)在adc中,由余弦定理,得cos cad=ac2+ad2-cd22acad.故由题设知,cos cad=7+1-427=277.(2)设bac=,则=bad-cad.因为cos cad=277,cos bad=-714,所以sin cad=1-cos2cad=1-(277)2=217,sin bad=1-cos2bad=1-(-714)2=32114.于是sin =sin(bad-cad)=sin badcos cad-cos badsin cad=32114277-(-714)217=32.在abc中,由正弦定理,bcsin=acsincba.故bc=acsinsincba=732216=3.能力提升13.(2014咸阳三模)设abc的三个内角a,b,c成等差数列,且(ba+bc)ac=0,则abc的形状是(c)(a)直角三角形(b)钝角三角形(c)等边三角形(d)等腰非等边三角形解析:由题得2b=a+c,3b=得b=3,设ac中点d,则(ba+bc)ac=2bdac=0即bdac得a=c.所以abc为等腰三角形,又因为b=6,所以abc为等边三角形.故选c.14.(2014高考江苏卷)若abc的内角满足sin a+2sin b=2sin c,则cos c的最小值是.解析:由正弦定理可得a+2b=2c,又cos c=a2+b2-c22ab=a2+b2-14(a+2b)22ab=3a2+2b2-22ab8ab26ab-22ab8ab=6-24,当且仅当3a=2b时取等号,所以cos c的最小值是6-24.答案:6-2415.(2014德州模拟)已知a,b,c分别为abc的三个内角a,b,c的对边,m=(sin a,1),n=(cos a,3),且mn.(1)求角a的大小;(2)若a=2,b=22,求abc的面积.解:(1)因为mn,所以3sin a-cos a=0,tan a=33.因为a(0,),所以a=6.(2)由正弦定理可得sin b=bsinaa=22,因为ab,所以ab,b=4或34.当b=4时,sin c=sin(a+b)=sin acos b+cos asin b=2(1+3)4.所以sabc=12absin c=1+3;当b=34时,sin c=sin(a+b)=sin acos b+cos asin b=2(3-1)4,所以sabc=12absin c=3-1.故abc的面积为1+3或3-1.探究创新16.(2014咸阳二模)已知abc的三个内角a,b,c的对边分别为a,b,c,且abc的面积为s=32accos b.(1)若c=2a,求角a,b,c的大小;(2)若a=2,且4a3,求边c的取值范围.解:由三角形面积公式及已知得s=12acsin b=32accos b,化简得sin b=3cos b,即tan b=3,又0b,故