2015年华中科技大学理科实验班选拔试题—数学.pdf

2015年华中科技大学理科实验班选拔试题 数学 2015年9月30日 意琦行 数海拾贝 一 填空题 1 对抛物线 若设其焦点为 准线上一点为 轴 上一点为 若 则点的纵坐标为 2 3 若已知存在 则 4 在边长为的正方形中 含边界 取个点 其中必有个点 它 们构成的三角形面积不超过 5 某人打靶打中 8 环 9 环 10 环的概率分别为 现他开三枪 不少于环的概率为 二 解答题 6 若对任意实数 有 求 7 求所有 使成立 其中 8 若复数满足 求的最小值 9 已知三次方程有三个实根 1 若三个实根为 且 为常数 求 变化时的取值范围 2xy22 FPy N NPF 90 N 1 1 2 1 2 3 1 255 256 lnn lim n i 1 n 1 i i 0 1 i 2 i 1 193 0 150 25 0 228 x yf x y 2x f y 2 f x 2y2 f x a b ax b 1 x2 12 2 x 0 1 z z 1 z 2 z3 2 a bx c 0 x3x2 x1x2x3 x1x2x3a bc x3x1 2 若三个实根为 求 参考答案 一 填空题 1 提示 斜边的中点在抛物线上 坐标为 2 3 4 提示 如图 5 二 解答题 6 提示 令得 再令可得 7 a b ca b c 2NFM 1 2 4 15 ln2 1 8 0 0935 f x x f x x 1 x y f 0 f x x 2 x 0f 0 0 f 0 1 a 1 b 12 2 提示 三角换元 其中 则原式变形为 注意到代数式的值域区间长度不能超过 于是 进而 8 提示 利用共轭复数 并令 则有原式等于 其中 9 1 2 有理解为 无理解为 其中 而 其中涉及三次方程的解法 可以参考 每日一题 29 一般三次方程的解 法 提示 利用三次方程的韦达定理 x cos 0 2 sin b 1 a2 12 2 sin 1 a2 12 a 1b 12 2 8 27 x z z 2 8x 8x3x2x 2 2 2 3b a2 b a2 3 a b c 0 0 0 1 1 1 1 2 0 b b 1 b 2 b b t 2 3t t 1 19 27 3 每日一题 29 一般三次方程的解法 2015年2月16日 意琦行 数海拾贝 今天的问题是从2011年第二届世界数学锦标赛青年组接力赛第二轮的 一道试题开始的 求方程 的所有实数根之和 这个问题并不难解决 令 则上述方程可以化为 即 舍去虚根解得 x 1 1 1 30 x2x3x3 x 1 1 1 30 x2x3x3 2 x 1 28x6x5x4x3x2x3 x 28 x3x2 1 x 1 x2 1 x3 t x t 2 2 1 x 3t 2 t 28 t3t2 t 3 4t 10 0 t2 t 3 因此 即 其所有实数根之和为 这道试题并不是今天的问题 仅仅是提示而已 今天的问题是16世纪 的竞赛题 那时 数学家常常把自己的发现秘而不宣 而是向同伴提 出挑战 让他们解决同样的问题 想必这是一项很砥砺智力 又吸引 人的竞赛 解关于的方程 问题的关键在于如何进行恰当的换元 注意到 也就是说 如果 那么我们做换元 方程就转化 为 即 x 3 1 x 3x 1 0 x2 3 x px q 0 x3 3 t t 1 t 3 t3 1 t3 1 t p 3x t 1 t q 0 t3 1 t3 q 1 0 t3 2x3 可以利用二次方程的求根公式求得 进而求出 然后代回 求根过程就完成了 现在面临的困难是如何处理 需要对换元进行一个小小的改造 由于 因此令 其中为待定系数 那么原方程变为 在这个方程中 令 就会和之前一样变成一个关于的二次 方程 以下略 事实上 任何一个三次方程 都可以利用完全立方公式 通过配方转化为 的形式 因此掌握了这个方法 就等于掌握了一般三次方程的解法 在一般三次方程的解法中 我们用到的换元同样也是解高 次方程的重要换元 需要注意到的是 在每一步的求解过程中 要先 弄清是求方程的实根还是所有根 t3t x t 1 t p 3u t t u t 3 t3 u3 t3 u t x t u t u 3u p t q 0 t3 u3 t3 u t u p 3 t3 a b cx d 0 a 0 x3x2 x 0 x b 3a 3 x3 b a x2 b2 3a2 b3 27a3 px q 0 x3 x t u t 最后留一道练习