北京四中2007届高三第一次统测数学参考答案.doc

北京四中2007届高三第一次统测数学参考答案一、选择题(每小题4分，共56分)1. (理)C 【解析】本题考查了映射的概念及集合的交集运算，属基础知识考查。由已知可得集合且是集合-，-1，1，的非空子集，则AB=或1，应选C.(文)A 【解析】本题考查了集合的交集运算及一元二次不等式，绝对值不等式的解法.由A=x|x2-5x+60=2，3，B=x|2x-1|3=x|x2或x-1得AB=x|2x3，故应选A.2. (理)B 【解析】本题考查了函数的定义域及不等式组的求解.由已知可得x1，故应选B.(文)C 【解析】本题考查了样本及其抽样统计、频率、频数等基本概念，公式的运算和求解.由已知样本在(20，50上的频率为=60，故应选C.3. (理)A 【解析】本题考查了指数函数与二次函数的复合函数的反函数的求解.由-1x0，得x2-1(-1，0，y=(，1.又x2=log3y+1(-1x0)，x=-，即函数y= (-1x0)的反函数是y=-(x1)，应选A.(文)D 【解析】本题考查了函数的定义域及对数不等式、不等式组的解法.由已知可得x4，故应选D.4. (理)B 【解析】本题考查了对数函数与二次函数的复合函数的单调性及字母参数的取值范围的求解问题.由0sin11，可知y=logsin1u在(0，+)上为减函数，f(x)=logsin1(x2-6x+5)在(a，+)上是减函数，函数u=x2-6x+5在(a，+)上必为增函数，而u=x2-6x+5在(5，+)上是增函数，a5，故应选B.(文)A 【解析】本题考查了抽象函数的值域及函数图像的平移，考查了考生对函数的本质属性的掌握程度.函数y=f(x+1)的图像是由函数y=f(x)的图像向左平移1个单位得到的，其值域不改变，其定义域仍为a，b)，故应选A.5. (理)B 【解析】本题考查了空间平行与垂直的关系的逻辑论证，考查了考生空间想象能力及解决问题的能力.可以利用实物模型虚拟直线与平面，替代摸不到的平面与直线，可简化思维，如B选项，m可得m，又n，则必有mn，应选B，其余选项均可排除.(文)A 【解析】本题考查了指数函数与二次函数的复合函数的反函数的求解.由-1x0，得x2-1(-1，0，y=(，1.又x2=log3y+1(-1x0)，x=-，即函数y= (-1x0)的反函数是y=-(0，即得x4或x0)的右准线方程为x=解之得a2=3或a2=-(舍去).e=.故应选A.(文) D 【解析】本题考查了抛物线及椭圆的标准方程，圆锥曲线的基本量的关系式及字母参数值的求解.椭圆=1的右焦点坐标为(2，0)，抛物线y2=2px的焦点坐标为(，0)，=2，即p=4，故应选D.11. (理)C 【解析】本题考查了二项式定理及二项式展开式的通项公式，无理项及有理项的项数求解问题.二项式()24展开式的通项公式为,其中r=0，1，2，24.当r=0，6，12，18，24时其x的幂的指数是整数，即共有5项，故应选C.(文)D 【解析】本题考查了双曲线的标准方程及参变量的基本特征值，字母参数值的求解问题.曲线-y2=1(a0)的右准线方程为x=，解之得a2=3或a2=-(舍去).e=.故应选D.12. (理)D 【解析】本题考查了排列组合的应用，考查了考生灵活应用所学的知识分析与处理问题的能力。将显示的三个孔插入其余的4个不显示的孔中间及左右的5个空中有=10种插法，每个小孔均有显示0或1两种显示方法，则不同的显示信号数为10222=80种，故应选D.(文)C 【解析】本题考查了二项式定理及二项式展开式的通项公式.(1-x)6+(1+x)5的展开式中，含x3的项为=-10x3，故应选C.13. (理)C 【解析】本题考查了无穷等比数列的前n项和公式，极限的运算法则及其不等式的解法问题.由，解得q=1-4a1，|q|1且q0，可得，|1-4a1|0的解集是R，知命题是真命题.而由结论知两个命题中有且只有一个是真命题可得命题为假命题，即得m0或m1.(文)y=log2(x+6)+4 【解析】本题考查了向量的平移及函数图像的平移的关系，平移公式的应用.逆向思维，将函数y=log2(x+3)+2的图像先向左平移3个单位再向上平移2个单位可得原来的函数的解析式为y=log2(x+3+3)+2+2=log2(x+6)+4.18. (理)左， 【解析】本题考查了函数图像的平移及自抽象函数的解析式的变量特征.在左右平移的过程中变量的量仅为x，与前面的系数是无关的.y=3f(2x+)=3f2(x+)，只须将函数y=3f(2x)的图像向左平移个单位即可得到函数y=3f(2x+)的图像.(文)1，+) 【解析】本题考查了对数函数与指数函数，一元二次函数复合的函数的值域的求解.4x-2x+1+3=(2x-1)2+22，f(x)=log2(4x-2x+1+3)log22=1，即其值域为1，+).19. 60 【解析】本题以正方形的折叠为背景，考查了异面直线所成角问题.如上图所示，分别取AC、AB、BD边的中点O、E、F，连接DO、BO、EO、FO、EF，则有EFAD，OEBCFEO就是直线AB与CD所成的角.设正方形边长为2a，则DO=BO=，且DOAC，BOAC即DOB为二面角D-AC-B所成的角，由于DB=2a可得DOBO，OF=DB=a=EF=EO，即得FEO=60，即得直线AB与CD所成的角的大小为60.20. (理) 【解析】本题考查了直线与椭圆的位置关系及中点弦问题的求解策略，考查了考生对“设而不求法”的掌握.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ax12+by12=1 ，ax22+by22=1 ，-式可得a(x1-x2)(x1+x2)+b(y1-y2)(y1+y2)=0，从而得.(文)x+4y-5=0 【解析】本题考查了直线与椭圆的位置关系及中点弦问题的求解策略，考查了考生对“设而不求法”的掌握.设过点A的直线与椭圆相交于两点，C(x1，y1)，F(x2，y2)，则有=1 ，=1 ，-式可得，=0，即得kEF=，过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y-1=，即得x+4y-5=0.21. 400 0.25 【解析】本题考查了排列组合在投球入盒问题中的应用，相互独立事件同时发生的概率的事件的分析与概率的求解.从A箱中取出3个球有=20种取法，再从B箱中取出3个球有=20种取法，故共有2020=400种不同的取法.红球由A箱中取出的概率为，再从B箱中取回红球的概率为.则红球由A箱移入到B箱，再返回到A箱的概率等于P(AB)=P(A)p(B)=0.25.22. 【解析】本题以开放题形式出现，全面地考查了抽象函数的周期性、奇偶性、单调性、函数图像的对称性等性质的探究，由f(x+1)=-f(x)，可得f(x+2)=-f(x+1)=-f(x)=f(x)，f(x)是周期函数，且2是其一个周期，f(2)=f(0).即得正确；f(x)为偶函数，f(-x)=f(x)=f(x+2)，f(x)的图像关于直线x=1对称，即得正确；f(x)为偶函数，且在-1，0上是增函数，f(x)在0，1上是减函数，即得错误.故应填。三、解答题23. (理)(1)解：函数f(x)的值域为(-1，+)，由y=2x-1得x=log2(y+1)，所以f-1(x)=log2(x+1)(x-1) (2分)任取-1x1x2，f-1(x1)-f-1(x2)=log2(x1+1)-log2(x2+1)-log2=由-1x1x2得0x1+1x2+1，因此01得log20所以f-1(x1)-1) (4分)(2)证明：任取-1x1x2，f-1(x1)-f-1(x2)=log2(x1+1)-log2(x2+1)=log2由-1x1x2得0x1+1x2+1，因此01得log20所以f-1(x1)f-1(x2)故f-1(x)在(-1，+)上为单凋增函数.(9分)(3)f-1(x)g(x)即log2(x+1)log4(3x+1)(11分)解之得0x1，所以x的取值范围是0，2(13分)24. (理)(1)用直接法或定义法求得点P轨迹方程为y2=2x，表示以原点为顶点，对称轴为x轴，开口向右的一条抛物线.(6分)(2)当直线l的斜率不存在时，由题设可知直线l的方程是x=，联立x=与y2=2x可求得A()，B()，不符合=0 (7分)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b(k0，b0)，联立y=kx+b与y2=2x，化简得ky2-2y+2b=0 (9分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2=0x1x2+y1y2=0+y1y2=0y1y2+4=0+4=0b+2k=0 (11分)又O到直线l距离为得 (12分)联立解得k=1，b=-2或k=-1，b=2，所以直线l的方程为y=x-2或y=-x+2(13分)(文)(1)用直接法或定义法求得点P轨迹方程为x2=2y (4分)(2)联立y=x+1与x2=2y化简得x2-2x-2=0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=2，x1x2=-2|AB|= (9分)(3)曲线C即函数y=的图像，y=x，y=1，又Q(1，)故所求切线方程为y-=1(x-1)即x-y-=0 (13分)25. (理)解：(1)记路段MN发生堵车事件为MN.因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线ACDB中遇到堵车的概率P1为1-P()=1-P()P()P()=1-1-P(AC)1-P(CD)1-P(DB)=1-；(3分)同理：路线ACFB中遇到堵车的概率P2为1-P()=(小于)(4分)路线AEFB中遇到堵车的概率P3为1-P()=(大于) (5分)显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择.因此选择路线ACFB，可使得途中发生堵车事件的概率最小.(6分)(2)路线ACFB中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3.(7分)P(=0)=P()=. (8分)P(=1)=P(AC)+P(CF)+P()=(10分)P(=2)=P(ACCF)+P(ACFB)+P(CFFB)(12分)P(=3)=P(ACCFFB)=，E=0+1答：路线ACFB中遇到堵车次数的数学期望为. (14分)(文)解：(1)记“抛掷1枚硬币1次出现正面向上”为事件A，P(A)=，抛掷15枚硬币1次相当于作15次独立重复试验，根据n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式，记至多有一枚正面向上的概率为P1，则P1=P15(0)+P15(1)=(7分)(2)记正面向上为奇数枚的概率为P2，则有P2=P15(1)+P15(3)+P15(15)又“出现正面向上为奇数枚”的事件与“出现正面向上为偶数枚”的事件是对立事件，记“出现正面向上为偶数枚”的事件的概率为P3P3=1-相等(14分)26. (理)解：(1)若BC边上存在点Q，使PQQD，因PA面ABCD知AQQD.(2分)矩形ABCD中，当a2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q使AQQD，(3分)故仅当a2时才存在点Q使PQQD；(4分)(2)当a=2时，以AD为直径的圆与BC相切于Q，此时Q是唯一的点使AQD为直角，且Q为BC的中点.作AHPQ于H，可证ADH为AD与平面PDQ所成的角，且在RtPAQ中可求得sinADH= (9分)(3)作AGPD于G，可证AGH为二面角Q-PD-A的平面角，且在RtPAD中可求得sinAGH= (14分)(文)(1)证明：AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，AMC1M，且AM=C1M，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1底面ABC.C1M在底面内的射影为CM，AMCM.底面ABC为边长为a的