（新课标）高考数学大一轮复习精品讲义 第九章 概率（含解析）.DOC

第九章概率第一节随机事件的概率基础盘查一随机事件及概率(一)循纲忆知1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性2了解概率的意义及频率与概率的区别(二)小题查验1判断正误(1)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必然事件()(2)“方程x22x80有两个实根”是不可能事件()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()(4)不可能事件就是一定不能发生的事件()答案：(1)(2)(3)(4)2(人教b版教材习题改编)某射手在同一条件下进行射击，结果如下：射击次数102050100200500击中靶心次数8194492178455这个射手射击一次，击中靶心的概率约是_答案：0.903(2015温州十校联考)记一个两位数的个位数字与十位数字的和为a.若a是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为_解析：根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为.答案：基础盘查二事件关系与运算(一)循纲忆知了解两个互斥事件的概率加法公式：当事件a与b互斥时，p(ab)p(a)p(b)(二)小题查验1判断正误(1)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件(2)一个人打靶时连续射击出两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是“至多有一次中靶”()(3)事件a，b为互斥事件，则p(a)p(b)1()(4)事件a，b同时发生的概率一定比a，b中恰有一个发生的概率小()答案：(1)(2)(3)(4)2(人教a版教材例题改编)如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是，取到方块的概率是，则取到黑色牌的概率是_答案：.3(2015赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是_答案：(基础送分型考点自主练透)必备知识1互斥事件若ab为不可能事件(记作：ab)，则称事件a与事件b互斥，其含义是：事件a与事件b在任何一次试验中不会同时发生2对立事件若ab为不可能事件，而ab为必然事件，则事件a与事件b互为对立事件，其含义是：事件a与事件b在任何一次试验中有且仅有一个发生提醒“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件题组练透1从1,2,3，7这7个数中任取两个数，其中：(1)恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；(2)至少有一个是奇数和两个都是奇数；(3)至少有一个是奇数和两个都是偶数；(4)至少有一个是奇数和至少有一个是偶数上述事件中，是对立事件的是()a(1)b(2)(4)c(3) d(1)(3)解析：选c(3)中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从17中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件易知其余都不是对立事件2设条件甲：“事件a与事件b是对立事件”，结论乙：“概率满足p(a)p(b)1”，则甲是乙的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选a若事件a与事件b是对立事件，则ab为必然事件，再由概率的加法公式得p(a)p(b)1.设掷一枚硬币3次，事件a：“至少出现一次正面”，事件b：“3次出现正面”，则p(a)，p(b)，满足p(a)p(b)1，但a，b不是对立事件3在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是()a至多有一张移动卡 b恰有一张移动卡c都不是移动卡 d至少有一张移动卡解析：选a至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选a.类题通法利用集合方法判断互斥事件与对立事件1由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥2事件a的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件a所含的结果组成的集合的补集(重点保分型考点师生共研)必备知识概率与频率(1)在相同的条件s下重复n次试验，观察某一事件a是否出现，称n次试验中事件a出现的次数na为事件a出现的频数，称事件a出现的比例fn(a)为事件a出现的频率(2)对于给定的随机事件a，由于事件a发生的频率fn(a)随着试验次数的增加稳定于概率p(a)，因此可以用频率fn(a)来估计概率p(a)典题例析(2014陕西高考)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： 赔付金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率解析：(1)设a表示事件“赔付金额为3 000元”，b表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得p(a)0.15，p(b)0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为p(a)p(b)0.150.120.27.(2)设c表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11 000100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.212024辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为0.24，由频率估计概率得p(c)0.24.类题通法求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数，计算的方法有：(1)列举法；(2)列表法；(3)利用树状图法演练冲关假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为，用频率估计概率，可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.(2)根据频数分布图可得寿命大于200小时的两种品牌产品共有7570145(个)，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于 200小时的产品是甲品牌的频率是.据此估计已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.(重点保分型考点师生共研)必备知识1互斥事件的概率加法公式如果事件a与事件b互斥，那么p(ab)p(a)p(b)；2对立事件概率公式若事件b与事件a互为对立事件，则p(a)p(b)1，即p(a)1p(b)a的对立事件记为，当计算事件a的概率p(a)比较困难时，可通过p(a)1p()计算典题例析根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率解：记a表示事件：该车主购买甲种保险；b表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；c表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；d表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买(1)由题意得p(a)0.5，p(b)0.3，又cab，所以p(c)p(ab)p(a)p(b)0.50.30.8.(2)因为d与c是对立事件，所以p(d)1p(c)10.80.2.类题通法求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法：(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率演练冲关现有7名数理化成绩优秀者，其中a1，a2，a3的数学成绩优秀，b1，b2的物理成绩优秀，c1，c2的化学成绩优秀，从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛(1)求c1被选中的概率；(2)求a1和b1不全被选中的概率解：(1)用m表示“c1恰被选中”这一事件从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的12个基本事件为：(a1，b1，c1)，(a1，b1，c2)，(a1，b2，c1)，(a1，b2，c2)，(a2，b1，c1)，(a2，b1，c2)，(a2，b2，c1)，(a2，b2，c2)，(a3，b1，c1)，(a3，b1，c2)，(a3，b2，c1)，(a3，b2，c2)c1恰被选中有6个基本事件：(a1，b1，c1)，(a1，b2，c1)，(a2，b1，c1)，(a2，b2，c1)，(a3，b1，c1)，(a3，b2，c1)，因而p(m).(2)用n表示“a1，b1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“a1，b1全被选中”这一事件，由于，所以事件由两个基本事件组成，所以p()，由对立事件的概率公式得p(n)1p()1.一、选择题1在一次随机试验中，彼此互斥的事件a，b，c，d的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是()aab与c是互斥事件，也是对立事件bbc与d是互斥事件，也是对立事件cac与bd是互斥事件，但不是对立事件da与bcd是互斥事件，也是对立事件解析：选d由于a，b，c，d彼此互斥，且abcd是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件2围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()a.b.c. d1解析：选c设“从中取出2粒都是黑子”为事件a，“从中取出2粒都是白子”为事件b，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件c，则cab，且事件a与b互斥所以p(c)p(a)p(b).即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.3从存放的号码分别为1,2,3，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到次数138576131810119则取到号码为奇数的卡片的频率是()a0.53 b0.5c0.47 d0.37解析：选a取到号码为奇数的卡片的次数为：1356181153，则所求的频率为0.53.故选a.4从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5 cm170.5 cm之间的概率约为()a. b.c. d.解析：选a从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5 cm170.5 cm之间的学生有8人，频率为，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在155.5 cm170.5 cm之间的概率约为.5已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙胜的概率为，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为()a.， b.，c.， d.，解析：选c“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为1.设“甲不输”为事件a，则a可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以p(a).或设“甲不输”为事件a，则a可看作是“乙胜”的对立事件，所以p(a)1.6若随机事件a，b互斥，a，b发生的概率均不等于0，且p(a)2a，p(b)4a5，则实数a的取值范围是()a. b.c. d.解析：选d由题意可知a.二、填空题7据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1，则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为_解析：法一：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为事件a，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为事件b，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件c，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件d，由题意知事件a，b，c彼此互斥，而事件d包含事件a与b，所以p(d)p(a)p(b)0.40.50.9.法二：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件c，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过一次”为事件d，由题意知c与d是对立事件，所以p(d)1p(c)10.10.9.答案：0.98(2015潍坊模拟)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件a，则p(a)最大时，m_.解析：m可能取到的值有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，对应的基本事件个数依次为1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1，两次向上的数字之和等于7对应的事件发生的概率最大答案：79某城市2014年的空气质量状况如下表所示：污染指数t3060100110130140概率p其中污染指数t50时，空气质量为优；50t100时，空气质量为良；1000，y0，则xy的最小值为_解析：由题意可知1，则xy(xy)59，当且仅当，即x2y时等号成立答案：9三、解答题11有编号为1,2,3的三个白球，编号为4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球(1)求取得的两个球颜色相同的概率；(2)求取得的两个球颜色不相同的概率解：从六个球中取出两个球的基本事件是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共计15个(1)记事件a为“取出的两个球都是白球”，则这个事件包含的基本事件是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计3个，故p(a)；记“取出的两个球都是黑球”为事件b，同理可得p(b).记事件c为“取出的两个球的颜色相同”，a，b互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得p(c)p(ab)p(a)p(b).(2)记事件d为“取出的两个球的颜色不相同”，则事件c，d对立，根据对立事件概率之间的关系，得p(d)1p(c)1.12黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表：血型ababo该血型的人数所占的比例28%29%8%35%已知同种血型的人可以互相输血，o型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给ab型血的人，其他不同血型的人不能互相输血小明是b型血，若他因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解：(1)任找一人，其血型为a，b，ab，o型血分别记为事件a，b，c，d，它们是互斥的由已知，有p(a)0.28，p(b)0.29，p(c)0.08，p(d)0.35.因为b，o型血可以输给b型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为事件bd，根据概率加法公式，得p(bd)p(b)p(d)0.290.350.64.(2)由于a，ab型血不能输给b型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件ac，且p(ac)p(a)p(c)0.280.080.36.第二节古典概型基础盘查一古典概型(一)循纲忆知1理解古典概型及其概率计算公式2会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率(二)小题查验1判断正误(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件()(3)在古典概型中，如果事件a中基本事件构成集合a，所有的基本事件构成集合i，则事件a的概率为()答案：(1)(2)(3)2(北师大版教材例题改编)小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数码由4个数字2,4,6,8按一定顺序构成，小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，随机地输入由2,4,6,8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是_答案：3(2015南京模拟)现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为_解析：从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，有甲、乙，甲、丙，乙、丙三种可能，则甲被选中的概率为.答案：4(2015昆明模拟)投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1,2,3,4,5,6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为_解析：抛掷两颗相同的正方体骰子共有36种等可能的结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(6,6)点数积等于12的结果有：(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4种，故所求事件的概率为.答案：(基础送分型考点自主练透)必备知识1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型(1)特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性(2)概率公式：p(a).提醒(1)一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征有限性和等可能性；(2)古典概型的概率计算结果与模型的选择无关题组练透1(2015浙江模拟)从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a，b，使得a24b的概率是()a.b.c. d.解析：选c基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)(2,3)，(2,4)，(4,3)，共12个，符合条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共6个，因此使得a24b的概率是.2(2015广州二模)有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是()a. b.c. d.解析：选c能组成的两位数有12,13,20,30,21,31，共6个，其中的奇数有13,21,31，共3个，因此所组成的两位数为奇数的概率是，故选c.3(2014天津高考)某校夏令营有3名男同学a，b，c和3名女同学x，y，z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学abc女同学xyz 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设m为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件m发生的概率解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为a，b，a，c，a，x，a，y，a，z，b，c，b，x，b，y，b，z，c，x，c，y，c，z，x，y，x，z，y，z，共15种(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为a，y，a，z，b，x，b，z，c，x，c，y，共6种因此，事件m发生的概率p(m).类题通法计算古典概型事件的概率三步骤步骤一：算出基本事件的总个数n；步骤二：求出事件a所包含的基本事件个数m；步骤三：代入公式求出概率p.(常考常新型考点多角探明)多角探明古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高.归纳起来常见的交汇命题角度有：(1)古典概型与平面向量相结合；(2)古典概型与直线、圆相结合；(3)古典概型与函数相结合；(4)古典概型与统计相结合.角度一：古典概型与平面向量相结合1已知向量a(x，1)，b(3，y)，其中x随机选自集合，y随机选自集合.(1)求ab的概率；(2)求ab的概率解：由题意，得(x，y)所有的基本事件为(1,1)，(1,3)，(1,9)，(1,1)，(1,3)，(1,9)，(3,1)，(3,3)，(3,9)，共9个(1)设“ab”为事件a，则xy3.事件a包含的基本事件有(1,3)，共1个故ab的概率为p(a).(2)设“ab”为事件b，则y3x.事件b包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2个故ab的概率为p(b).角度二：古典概型与直线、圆相结合2(2015洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线axby0与圆(x2)2y22有公共点的概率为_解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(6,6)，共36种，其中满足直线axby0与圆(x2)2y22有公共点，即满足，a2b2的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(6,6)，共65432121种，因此所求的概率等于.答案：角度三：古典概型与函数相结合3设a，b，函数f(x)ax2bx1.(1)求f(x)在区间上是减函数的概率；(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1)处的切线互相平行的概率解：(1)f(x)axb，由题意f(1)0，即ba，而(a，b)共有(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)四种，满足ba的有3种，故概率为.(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法函数f(x)在(1，f(1)处的切线的斜率为f(1)ab，这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这1组满足，概率为.角度四：古典概型与统计相结合4(2015洛阳统考)从某工厂抽取50名工人进行调查，发现他们一天加工零件的个数在50至350个之间，现按生产的零件的个数将他们分成六组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，相应的样本频率分布直方图如图所示：(1)求频率分布直方图中的x的值；(2)设位于第六组的工人为拔尖工，位于第五组的工人为熟练工，现用分层抽样的办法在这两类工人中抽取一个容量为6的样本，从样本中任意取2个，求至少有一个拔尖工的概率解：(1)根据题意，(0.002 40.003 6x0.004 40.002 40.001 2)501，解得x0.006 0.(2)由题知拔尖工共有3人，熟练工共有6人抽取容量为6的样本，则其中拔尖工有2人，熟练工为4人可设拔尖工为a1，a2，熟练工为b1，b2，b3，b4.则从样本中任抽2个的可能有：a1b1，a1b2，a1b3，a1b4，a2b1，a2b2，a2b3，a2b4，a1a2，b1b2，b1b3，b1b4，b2b3，b2b4，b3b4，共15种，至少有一个是拔尖工的可能有a1b1，a1b2，a1b3，a1b4，a2b1，a2b2，a2b3，a2b4，a1a2，共9种故至少有一个拔尖工的概率是.类题通法解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算a卷夯基保分一、选择题1(2015浙江金丽衢十二校二联)4张卡上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为()a.b.c. d.解析：选b因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3)，(2,4)共2种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为.2(2015武汉调研)同时抛掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是()a. b.c. d.解析：选c同时抛掷两个骰子，基本事件总数为36，记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件a，则事件a包含的基本事件有(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共4个，故p(a).3(2015合肥二模)从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为()a. b.c. d.解析：选a设2名男生记为a1，a2,2名女生记为b1，b2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2，a2a1，b1a1，b2a1，b1a2，b2a2，b2b1 12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2 4种情况，则发生的概率为p，故选a.4.(2015威海一模)从集合中随机抽取一个数a，从集合中随机抽取一个数b，则向量m(a，b)与向量n(1，1)垂直的概率为()a. b.c. d.解析：选a由题意可知m(a，b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况因为mn，即mn0，所以a1b(1)0，即ab，满足条件的有(3,3)，(5,5)共2个，故所求的概率为.5(2015亳州质检)已知集合m，n，a是集合n中任意一点，o为坐标原点，则直线oa与yx21有交点的概率是()a. b.c. d.解析：选c易知过点(0,0)与yx21相切的直线为y2x(斜率小于0的无需考虑)，集合n中共有16个元素，其中使oa斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由所求的概率为.6在平面直角坐标系xoy中，不等式组表示的平面区域为w，从w中随机取点m(x，y)若xz，yz，则点m位于第二象限的概率为()a. b.c1 d1解析：选a画出平面区域，列出平面区域内的整数点有：(1,0)，(1,1)，(1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12个，其中位于第二象限的有(1,1)，(1,2)，共2个，所以所求概率p.二、填空题7(2015浙江模拟)从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是男生或都是女生的概率等于_解析：设2名男生为a，b,3名女生为a，b，c，则从5名同学中任取2名的方法有(a，b)，(a，a)，(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，而这2名同学刚好是一男一女的有(a，a)，(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，共6种，故所求的概率p1.答案：8.(2015绵阳诊断)如图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为_解析：依题意，记题中的被污损数字为x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8921)(53x5)0，x7，即此时x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率p0.3.答案：0.39(2015宣武模拟)曲线c的方程为1，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件a“方程1表示焦点在x轴上的椭圆”，那么p(a)_.解析：试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆，则mn，有(2,1)，(3,1)，(6,5)，共1234515种情况，因此p(a).答案：10设集合p，xp且yp，则点(x，y)在圆x2y24内部的概率为_解析：以(x，y)为基本事件，可知满足xp且yp的基本事件有25个若点(x，y)在圆x2y24内部，则x，y，用列表法或坐标法可知满足x且y的基本事件有9个所以点(x，y)在圆x2y24内部的概率为.答案：三、解答题11(2014福建高考)根据世行2013年新标准，人均gdp低于1 035 美元为低收入国家；人均gdp为1 0354 085 美元为中等偏下收入国家；人均gdp为4 08512 616 美元为中等偏上收入国家；人均gdp不低于12 616 美元为高收入国家某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均gdp如下表： 行政区区人口占城市人口比例区人均gdp(单位：美元)a25%8 000b30%4 000c15%6 000d10%3 000e20%10 000(1)判断该城市人均gdp是否达到中等偏上收入国家标准；(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均gdp都达到中等偏上收入国家标准的概率解：(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均gdp为(8 0000.25a4 0000.30a6 0000.15a3 0000.10a10 0000.20a)6 400.因为6 4004 085,12 616)，所以该城市人均gdp达到了中等偏上收入国家标准(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：a，b，a，c，a，d，a，e，b，c，b，d，b，e，c，d，c，e，d，e，共10个设事件“抽到的2个行政区人均gdp都达到中等偏上收入国家标准”为m，则事件m包含的基本事件是：a，c，a，e，c，e，共3个，所以所求概率为p(m).12(2015绵阳诊断)据中国新闻网报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 600人调查(若所选择的在校学生的人数低于被调查人群总数的80%，则认为本次调查“失效”)，就“是否取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：态度调查人群 应该取消应该保留无所谓在校学生2 100人120人y人社会人士600人x人z人已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(2)已知y657，z55，求本次调查“失效”的概率解：(1)抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，0.05，解得x60，持“无所谓”态度的人数为3 6002 10012060060720，应在持“无所谓”态度的人中抽取72072人(2)yz720，y657，z55，故满足条件的(y，z)有：(657,63)，(658,62)，(659,61)，(660,60)，(661,59)，(662,58)，(663,57)，(664,56)，(665,55)，共9种记本次调查“失效”为事件a，若调查失效，则2 100120y3 6000.8，解得y660.事件a包含：(657,63)，(658,62)，(659,61)，共3种p(a).b卷增分提能1(2014四川高考)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率解：(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种设“抽取的卡片上的数字满足abc”为事件a，则事件a包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种所以p(a).因此，“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件b.则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种所以p(b)1p()1.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.2一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.(1)z(b3)2(c3)2，求z4的概率；(2)若方程x2bxc0至少有一根x，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率解：(1)因为是投掷两次，因此基本事件(b，c)：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个当z4时，(b，c)的所有取值为(1,3)，(3,1)，所以p(z4).(2)若方程一根为x1，则1bc0，即bc1，不成立若方程一根为x2，则42bc0，即2bc4，所以若方程一根为x3，则93bc0，即3bc9，所以若方程一根为x4，则164bc0，即4bc16，所以由知，(b，c)的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)所以方程为“漂亮方程”的概率为p.3已知集合p，qy|y2n1,1n2，nn*，mpq.在平面直角坐标系中，点a的坐标为(x，y)，且xm，ym，试计算：(1)点a正好在第三象限的概率；(2)点a不在y轴上的概率；(3)点a正好落在区域x2y210上的概率解：由集合p，可得p，由q可得q，则mpq，因为点a的坐标为(x，y)，且xm，ym，所以满足条件的点a的所有情况为(6，6)，(6，4)，(6,0)，(6,1)，(6,3)，(3,3)，共25种(1)点a正好在第三象限的可能情况为(6，6)，(6，4)，(4，6)，(4，4)，共4种，故点a正好在第三象限的概率p1.(2)点a在y轴上的可能情况为(0，6)，(0，4)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，共5种，故点a不在y轴上的概率p21.(3)点a正好落在区域x2y210上的可能情况为(0,0)，(1,0)，(0,1)，(3,1)，(1,3)(3,0)，(0,3)，(1,1)，共8种，故点a落在区域x2y210上的概率p3.第三节几何概型基础盘查一几何概型(一)循纲忆知1了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率2了解几何概型的意义(长度型、角度型、面积型、体积型)(二)小题查验1判断正误(1)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()答案：(1)(2)(3)2(人教b版教材例题改编)平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径ra的硬币任意掷在这平面上，则硬币不与任一条平行线相碰的概率是_答案：3(2015陕西质检)在区间20,80内任取一个实数m，则实数m落在区间50,75内的概率为_解析：选择区间长度度量，则所求概率为.答案：4(2015广州调研)在边长为2的正方形abcd内部任取一点m，则满足amb90的概率为_解析：如图，如果点m位于以ab为直径的半圆内部，则amb90，否则，m点位于半圆上及空白部分，则amb90，所以amb90的概率p.答案：(基础送分型考点自主练透)必备知识p(a)题组练透1(2015韶关调研)在区间0,2之间随机抽取一个数x，则x满足2x10的概率为()a.b.c. d.解析：选a区间0,2看作总长度为2，区间0,2中满足2x10的只有，长度为，p.2已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为()a. b.c. d.解析：选a由题意可知，三角形的三条边长的和为5121330，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3101124，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为.3.如图所示，在直角坐标系内，射线ot落在30角的终边上，任作一条射线oa，则射线oa落在yot内的概率为_解析：如题图，因为射线oa在坐标系内是等可能分布的，所以oa落在yot内的概率为.答案：类题通法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)(重点保分型考点师生共研)必备知识p(a).典题例析(2015济南一模)如图，长方体abcda1b1c1d1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥aa1bd内的概率为_解析：设事件m“动点在三棱锥aa1bd内”，p(m).答案：类题通法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(