数学新学案同步课件选修北师大版：圆锥曲线与方程33.1.ppt

3 1双曲线及其标准方程 第三章 3双曲线 学习目标1 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程的推导过程 2 掌握双曲线的标准方程及其求法 3 会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一双曲线的定义 思考如图 若取一条拉链 拉开它的一部分 在拉开的两边上各选择一点 分别固定在点F1 F2上 把笔尖放在点M处 拉开或闭拢拉链 笔尖经过的点可画出一条曲线 那么曲线上的点应满足怎样的几何条件 答案曲线上的点满足条件 MF1 MF2 常数 如果改变一下笔尖位置 使 MF2 MF1 常数 可得到另一条曲线 梳理 1 平面内到两个定点F1 F2的距离之差的等于常数 大于零且小于 F1F2 的点的集合叫作双曲线 叫作双曲线的焦点 两个焦点之间的距离叫作双曲线的 2 关于 小于 F1F2 若将 小于 F1F2 改为 等于 F1F2 其余条件不变 则动点集合是以F1 F2为端点的 包括端点 若将 小于 F1F2 改为 大于 F1F2 其余条件不变 则动点集合为空集 3 若将 绝对值 去掉 其余条件不变 则动点的集合只有双曲线的 4 若常数为零 其余条件不变 则点的集合是 绝对值 定点F1 F2 焦距 两条射线 一支 线段F1F2的中垂线 知识点二双曲线的标准方程 思考双曲线中a b c的关系如何 与椭圆中a b c的关系有何不同 答案双曲线标准方程中 b2 c2 a2 即c2 a2 b2 其中c a c b a与b的大小关系不确定 而在椭圆中b2 a2 c2 即a2 b2 c2 其中a b 0 a c c与b大小不确定 梳理 1 双曲线两种形式的标准方程 F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c a2 b2 c2 2 焦点F1 F2的位置是双曲线定位的条件 它决定了双曲线标准方程的类型 焦点跟着正项走 若x2项的系数为正 则焦点在上 若y2项的系数为正 那么焦点在上 x轴 y轴 思考辨析判断正误 1 平面内到两定点的距离的差等于常数 小于两定点间距离 的点的轨迹是双曲线 2 平面内到点F1 0 4 F2 0 4 的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线 3 平面内到点F1 0 4 F2 0 4 的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线 题型探究 类型一双曲线定义的应用 例1若双曲线E 1的左 右焦点分别为F1 F2 点P在双曲线E上 且 PF1 3 则 PF2 等于A 11B 9C 5D 3 解析由双曲线的定义 得 PF1 PF2 2a 6 即 3 PF2 6 解得 PF2 9 负值舍去 故选B 答案 解析 答案 解析 又由 F1F2 10 可得 PF1F2是直角三角形 反思与感悟焦点F1 F2的位置是双曲线定位的条件 它决定了双曲线标准方程的类型 焦点跟着正项走 若x2项的系数为正 则焦点在x轴上 若y2项的系数为正 那么焦点在y轴上 双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2 By2 1 AB 0 解答 由双曲线的定义知 点C的轨迹为双曲线的右支 b2 c2 a2 6 类型二求双曲线的标准方程 解答 例2求适合下列条件的双曲线的标准方程 1 焦距为26 且经过点M 0 12 解 双曲线经过点M 0 12 M 0 12 为双曲线的一个顶点 故焦点在y轴上 且a 12 又2c 26 c 13 b2 c2 a2 25 解答 解设双曲线的方程为mx2 ny2 1 mn 0 反思与感悟待定系数法求方程的步骤 1 定型 确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴 2 设方程 根据焦点位置设出相应的标准方程的形式 若不知道焦点的位置 则进行讨论 或设双曲线的方程为Ax2 By2 1 AB 0 3 计算 利用题中条件列出方程组 求出相关值 4 结论 写出双曲线的标准方程 解答 解由题意 知双曲线的两焦点为F1 0 3 F2 0 3 又a2 b2 9 解得a2 5 b2 4 解答 解若焦点在x轴上 若焦点在y轴上 类型三双曲线定义及标准方程的应用 例3在相距2000m的两个哨所A B 听到远处传来的炮弹爆炸声 已知当时的声速是330m s 在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4s 试判断爆炸点在什么样的曲线上 并求出曲线的方程 解答 解设爆炸点为P 由已知可得 PA PB 330 4 1320 0 因为 AB 2000 1320 所以点P在以A B为焦点的双曲线的靠近B处的那一支上 建立如图所示的平面直角坐标系 使A B两点在x轴上 以线段AB的中点为坐标原点 由2a 1320 2c 2000 得a 660 c 1000 b2 c2 a2 564400 反思与感悟可以结合双曲线的性质 建立平面直角坐标系 然后结合双曲线的定义 建立关系式 然后化简 求出相应的方程 证明 证明如图所示 设 PF1 r1 PF2 r2 F1F2 2c 则在 PF1F2中 对于双曲线有 r2 r1 2m 则在 PF1F2中 对于椭圆有r1 r2 2a 达标检测 答案 A 1 1C m 3D m 1 1 2 3 4 5 解析 解析依题意应有m 1 0 即m 1 答案 1 2 3 4 5 2 已知F1 8 3 F2 2 3 动点P满足 PF1 PF2 10 则P点的轨迹是A 双曲线B 双曲线的一支C 直线D 一条射线 解析 解析F1 F2是定点 且 F1F2 10 所以满足条件 PF1 PF2 10的点P的轨迹应为一条射线 答案 解析 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 解析设双曲线的方程为mx2 ny2 1 n 0 m 0 1 2 3 4 5 1 答案 解析 规律与方法 1 双曲线定义的理解 1 定义中距离的差要加绝对值 否则只为双曲线的一支 设F1 F2表示双曲线的左 右焦点 若 MF1 MF2 2a 则点M在右支上 若 MF2 MF1 2a 则点M在左支上 2 双曲线定义的双向运用 若 MF1 MF2 2a 0 2a F1F2 则动点M的轨迹为双曲线 若动点M在双曲线上 则 MF1 MF2 2a 2 求双曲线标准方程的步骤 1 定位 是指确