北理工2011级概率论与数理统计第四版_习题答案.pdf

完全版完全版 一到八章一到八章 概率论与数理统计习题答案概率论与数理统计习题答案 第四版第四版 盛骤盛骤 浙江大学浙江大学 浙大第四版 高等教育出版社 浙大第四版 高等教育出版社 第一章第一章概率论的基本概念概率论的基本概念 1 1 1 1 一一 写出下列随机试验的样本空间写出下列随机试验的样本空间 1 1 1 1 记录一个小班一次数学考试的平均分数 充以百分制记分 记录一个小班一次数学考试的平均分数 充以百分制记分 一一 1 1 1 1 n n nn o S 1001 n n n n表小班人数表小班人数 3 3 3 3 生产产品直到得到 生产产品直到得到 10101010 件正品 记录生产产品的总件数件正品 记录生产产品的总件数 一一 2 2 2 2 S S S S 10 10 10 10 11111111 12121212 n n n n 4 4 4 4 对某工厂出厂的产品进行检查 合格的盖上 对某工厂出厂的产品进行检查 合格的盖上 正品正品 不合格的盖上 不合格的盖上 次品次品 如连续查出二 如连续查出二 个次品就停止检查 或检查个次品就停止检查 或检查 4 4 4 4 个产品就停止检查 记录检查的结果 个产品就停止检查 记录检查的结果 查出合格品记为查出合格品记为 1 1 1 1 查出次品记为 查出次品记为 0 0 0 0 连续出现两个 连续出现两个 0 0 0 0 就停止检查 或查满就停止检查 或查满 4 4 4 4 次才停止检次才停止检 查 查 一一 3 3 3 3 S S S S 00 00 00 00 100100100100 0100010001000100 0101010101010101 1010101010101010 0110011001100110 1100110011001100 0111011101110111 1011101110111011 1101110111011101 1110111011101110 1111111111111111 2 2 2 2 二二 设设A A A A B B B B C C C C为三事件 用为三事件 用A A A A B B B B C C C C的运算关系表示下列事件 的运算关系表示下列事件 1 1 1 1 A A A A发生 发生 B B B B与与C C C C不发生 不发生 表示为 表示为 CBA或或A A A A AB ACAB ACAB ACAB AC 或或A A A A B B B B C C C C 2 2 2 2 A A A A B B B B都发生 而都发生 而C C C C不发生 不发生 表示为 表示为 CAB或或ABABABAB ABCABCABCABC或或ABABABAB C C C C 3 3 3 3 A A A A B B B B C C C C中至少有一个发生中至少有一个发生表示为 表示为 A B CA B CA B CA B C 4 4 4 4 A A A A B B B B C C C C都发生 都发生 表示为 表示为 ABCABCABCABC 5 5 5 5 A A A A B B B B C C C C都不发生 都不发生 表示为 表示为 CBA或或S S S S A B C A B C A B C A B C 或或CBA 6 6 6 6 A A A A B B B B C C C C中不多于一个发生 即中不多于一个发生 即A A A A B B B B C C C C中至少有两个同时不发生中至少有两个同时不发生 相当于相当于CACBBA 中至少有一个发生 故中至少有一个发生 故表示为 表示为 CACBBA 7 7 7 7 A A A A B B B B C C C C中不多于二个发生 中不多于二个发生 相当于 相当于 CBA 中至少有一个发生 故中至少有一个发生 故表示为 表示为 ABCCBA或 8 8 8 8 A A A A B B B B C C C C中至少有二个发生 中至少有二个发生 相当于 相当于 ABABABAB BCBCBCBC ACACACAC中至少有一个发生 故中至少有一个发生 故表示为 表示为 ABABABAB BCBCBCBC ACACACAC 6 6 6 6 三三 设设A A A A B B B B是两事件且是两事件且P P P P A A A A 0 6 0 6 0 6 0 6 P P P P B B B B 0 7 0 7 0 7 0 7 问问 1 1 1 1 在什么条件下在什么条件下P P P P A A A AB B B B 取到最大值 最大值取到最大值 最大值 是多少 是多少 2 2 2 2 在什么条件下 在什么条件下P P P P A A A AB B B B 取到最小值 最小值是多少 取到最小值 最小值是多少 解解 由由P P P P A A A A 0 60 60 60 6 P P P P B B B B 0 70 70 70 7 即知即知ABABABAB 否则否则ABABABAB 依互斥事件加法定理依互斥事件加法定理 P P P P A A A A B B B B P P P P A A A A P P P P B B B B 0 6 0 7 1 3 1 0 6 0 7 1 3 1 0 6 0 7 1 3 1 0 6 0 7 1 3 1 与与P P P P A A A A B B B B 1 1 1 1 矛盾 矛盾 从而由加法定理得从而由加法定理得 P P P P ABABABAB P P P P A A A A P P P P B B B B P P P P A A A A B B B B 1 1 1 1 从 从 0 0 0 0 P P P P ABABABAB P P P P A A A A 知 当知 当ABABABAB A A A A 即 即A A A A B B B B时时P P P P ABABABAB 取到最大值 最大值为取到最大值 最大值为 P P P P ABABABAB P P P P A A A A 0 6 0 6 0 6 0 6 2 2 2 2 从 从 式知 当式知 当A A A A B B B B S S S S时 时 P P P P ABABABAB 取最小值 最小值为取最小值 最小值为 P P P P ABABABAB 0 6 0 7 0 6 0 7 0 6 0 7 0 6 0 7 1 0 31 0 31 0 31 0 3 7 7 7 7 四四 设设A A A A B B B B C C C C是三事件是三事件 且且0 4 1 BCPABPCPBPAP 8 1 ACP 求求A A A A B B B B C C C C至少有一个发生的概率 至少有一个发生的概率 解解 P P P P A A A A B B B B C C C C至少有一个发生至少有一个发生 P P P P A A A A B B B B C C C C P P P P A A A A P P P P B B B B P P P P C C C C P P P P ABABABAB P P P P BCBCBCBC P P P P ACACACAC P P P P ABCABCABCABC 8 5 0 8 1 4 3 8 8 8 8 五五 在一标准英语字典中具有在一标准英语字典中具有 55555555 个由二个不相同的字母新组成的单词 若从个由二个不相同的字母新组成的单词 若从 26262626 个英语字母中个英语字母中 任取两个字母予以排列 问能排成上述单词的概率是多少 任取两个字母予以排列 问能排成上述单词的概率是多少 记记A A A A表表 能排成上述单词能排成上述单词 从从 26262626 个任选两个来排列 排法有个任选两个来排列 排法有 2 26 A种 每种排法等可能 种 每种排法等可能 字典中的二个不同字母组成的单词 字典中的二个不同字母组成的单词 55555555 个个 130 1155 2 26 A AP 9 9 9 9 在电话号码薄中任取一个电话号码 求后面四个数全不相同的概率在电话号码薄中任取一个电话号码 求后面四个数全不相同的概率 设后面 设后面 4 4 4 4 个数中的每一个数中的每一 个数都是等可能性地取自个数都是等可能性地取自 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 9 9 9 9 记记A A A A表表 后四个数全不同后四个数全不同 后四个数的排法有后四个数的排法有 101010104 4 4 4种 每种排法等可能 种 每种排法等可能 后四个数全不同的排法有后四个数全不同的排法有 4 10 A 504 0 10 4 4 10 A AP 10101010 六六 在房间里有在房间里有 10101010 人人 分别佩代着从分别佩代着从 1 1 1 1 号到号到 10101010 号的纪念章号的纪念章 任意选任意选 3 3 3 3 人记录其纪念章的号码人记录其纪念章的号码 1 1 1 1 求最小的号码为 求最小的号码为 5 5 5 5 的概率 的概率 记记 三人纪念章的最小号码为三人纪念章的最小号码为 5 5 5 5 为事件为事件A A A A 10101010 人中任选人中任选 3 3 3 3 人为一组 选法有人为一组 选法有 3 10 种 且每种选法等可能 种 且每种选法等可能 又事件又事件A A A A相当于 有一人号码为相当于 有一人号码为 5 5 5 5 其余 其余 2 2 2 2 人号码大于人号码大于 5 5 5 5 这种组合的种数有 这种组合的种数有 2 5 1 12 1 3 10 2 5 1 AP 2 2 2 2 求最大的号码为 求最大的号码为 5 5 5 5 的概率 的概率 记记 三人中最大的号码为三人中最大的号码为 5 5 5 5 为事件为事件 B B B B 同上同上 10101010 人中任选人中任选 3 3 3 3 人人 选法有选法有 3 10 种种 且每种选法等可且每种选法等可 能 又事件能 又事件 B B B B 相当于 有一人号码为相当于 有一人号码为 5 5 5 5 其余 其余 2 2 2 2 人号码小于人号码小于 5 5 5 5 选法有 选法有 2 4 1种种 20 1 3 10 2 4 1 BP 11111111 七七 某油漆公司发出某油漆公司发出 17171717 桶油漆桶油漆 其中白漆其中白漆 10101010 桶桶 黑漆黑漆 4 4 4 4 桶桶 红漆红漆 3 3 3 3 桶桶 在搬运中所标笺脱落在搬运中所标笺脱落 交货人随意将这些标笺重新贴交货人随意将这些标笺重新贴 问一个定货问一个定货 4 4 4 4 桶白漆桶白漆 3 3 3 3 桶黑漆和桶黑漆和 2 2 2 2 桶红漆顾客桶红漆顾客 按所定的颜色如数得按所定的颜色如数得 到定货的概率是多少 到定货的概率是多少 记所求事件为记所求事件为A A A A 在在 17171717 桶中任取桶中任取 9 9 9 9 桶的取法有桶的取法有 9 17 C种 且每种取法等可能 种 且每种取法等可能 取得取得 4 4 4 4 白白 3 3 3 3 黑黑 2 2 2 2 红的取法有红的取法有 2 3 3 4 4 10 CCC 故故 2431 252 6 17 2 3 3 4 4 10 C CCC AP 12121212 八八 在在 1500150015001500 个产品中有个产品中有 400400400400 个次品 个次品 1100110011001100 个正品 任意取个正品 任意取 200200200200 个 个 1 1 1 1 求恰有 求恰有 90909090 个次品的概率 个次品的概率 记记 恰有恰有 90909090 个次品个次品 为事件为事件A A A A 在在 1500150015001500 个产品中任取个产品中任取 200200200200 个 取法有个 取法有 200 1500 种 每种取法等可能 种 每种取法等可能 200200200200 个产品恰有个产品恰有 90909090 个次品 取法有个次品 取法有 110 1100 90 400 种种 200 1500 110 1100 90 400 AP 2 2 2 2 至少有 至少有 2 2 2 2 个次品的概率 个次品的概率 记 记 A A A A 表表 至少有至少有 2 2 2 2 个次品个次品 B B B B0 0 0 0表表 不含有次品不含有次品 B B B B1 1 1 1表表 只含有一个次品只含有一个次品 同上 同上 200200200200 个产品不含次品 取法有个产品不含次品 取法有 200 1100 种种 200200200200 个产品含一个次品 取法有个产品含一个次品 取法有 199 1100 1 400 种种 10 BBA 且且B B B B0 0 0 0 B B B B1 1 1 1互不相容 互不相容 200 1500 199 1100 1 400 200 1500 200 1100 1 1 1 10 BPBPAPAP 13131313 九九 从从 5 5 5 5 双不同鞋子中任取双不同鞋子中任取 4 4 4 4 只 只 4 4 4 4 只鞋子中至少有只鞋子中至少有 2 2 2 2 只配成一双的概率是多少 只配成一双的概率是多少 记记 A A A A 表表 4 4 4 4 只全中至少有两支配成一对只全中至少有两支配成一对 则则A表表 4 4 4 4 只人不配对只人不配对 从从 10101010 只中任取只中任取 4 4 4 4 只 取法有只 取法有 4 10 种 每种取法等可能 种 每种取法等可能 要要 4 4 4 4 只都不配对 可在只都不配对 可在 5 5 5 5 双中任取双中任取 4 4 4 4 双 再在双 再在 4 4 4 4 双中的每一双里任取一只 取法有双中的每一双里任取一只 取法有 4 2 4 5 21 13 21 8 1 1 21 8 2 4 10 44 5 APAP C C AP 15 15 15 15 十一十一 将三个球随机地放入将三个球随机地放入 4 4 4 4 个杯子中去个杯子中去 问杯子中球的最大个数分别是问杯子中球的最大个数分别是 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 的概率各的概率各 为多少 为多少 记记A A A Ai i i i表表 杯中球的最大个数为杯中球的最大个数为i i i i个个 i i i i 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 三只球放入四只杯中 放法有三只球放入四只杯中 放法有 4 4 4 43 3 3 3种 每种放法等可能种 每种放法等可能 对对A A A A1 1 1 1 必须三球放入三杯中 每杯只放一球 放法 必须三球放入三杯中 每杯只放一球 放法 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 种 种 选排列 好比选排列 好比 3 3 3 3 个球在个球在 4 4 4 4 个位置做排列个位置做排列 16 6 4 234 3 1 AP 对对A A A A2 2 2 2 必须三球放入两杯 一杯装一球 一杯装两球 放法有 必须三球放入两杯 一杯装一球 一杯装两球 放法有34 2 3 C种 种 从从 3 3 3 3 个球中选个球中选 2 2 2 2 个球个球 选法有选法有 2 3 C 再将此两个球放入一个杯中再将此两个球放入一个杯中 选法有选法有 4 4 4 4 种种 最后将剩最后将剩 余的余的 1 1 1 1 球放入其余的一个杯中 选法有球放入其余的一个杯中 选法有 3 3 3 3 种 种 16 9 4 34 3 2 3 2 C AP 对对A A A A3 3 3 3 必须三球都放入一杯中必须三球都放入一杯中 放法有放法有 4 4 4 4 种种 只需从只需从 4 4 4 4 个杯中选个杯中选 1 1 1 1 个杯子个杯子 放入此放入此 3 3 3 3 个球个球 选法选法 有有 4 4 4 4 种种 16 1 4 4 3 3 AP 16161616 十二十二 50505050 个铆钉随机地取来用在个铆钉随机地取来用在 10101010 个部件个部件 其中有三个铆钉强度太弱其中有三个铆钉强度太弱 每个部件用每个部件用 3 3 3 3 只铆钉只铆钉 若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上 则这个部件强度就太弱则这个部件强度就太弱 问发生一个部件强度太弱的概率问发生一个部件强度太弱的概率 是多少 是多少 记记A A A A表表 10101010 个部件中有一个部件强度太弱个部件中有一个部件强度太弱 法一 用古典概率作 法一 用古典概率作 把随机试验把随机试验 E E E E 看作是用三个钉一组看作是用三个钉一组 三个钉一组去铆完三个钉一组去铆完 10101010 个部件个部件 在三个钉的一组中不分先后次在三个钉的一组中不分先后次 序 但序 但 10101010 组钉铆完组钉铆完 10101010 个部件要分先后次序 个部件要分先后次序 对对E E E E 铆法有 铆法有 3 23 3 44 3 47 3 50 CCCC 种 每种装法等可能种 每种装法等可能 对对A A A A 三个次钉必须铆在一个部件上 这种铆法有 三个次钉必须铆在一个部件上 这种铆法有 3 23 3 44 3 47 3 3 CCCC 10101010 种种 00051 0 1960 1 10 3 23 3 47 3 50 3 23 3 44 3 47 3 3 CCC CCCC AP 法二 用古典概率作法二 用古典概率作 把试验把试验E E E E看作是在看作是在 50505050 个钉中任选个钉中任选 30303030 个钉排成一列个钉排成一列 顺次钉下去顺次钉下去 直到把部件铆完直到把部件铆完 铆钉要计先铆钉要计先 后次序 后次序 对对E E E E 铆法有 铆法有 3 50 A种 每种铆法等可能种 每种铆法等可能 对对A A A A 三支次钉必须铆在 三支次钉必须铆在 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 位置上或位置上或 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 位置上位置上 或或 28282828 29292929 30303030 位置上 位置上 这种铆法有这种铆法有 27 47 3 3 27 47 3 3 27 47 3 3 27 47 3 3 10AAAAAAAA 种种 00051 0 1960 1 10 30 50 27 47 3 3 A AA AP 17171717 十三十三 已知已知 5 0 4 0 3 0 BABPBAPBPAP 求 解一 解一 BAABBBAASABPBPAPAP 6 0 1 7 0 1 注意注意 BAAB 故有故有 P P P P ABABABAB P P P P A A A A P P P P A A A AB 0 7 0 7 0 7 0 7 0 5 0 20 5 0 20 5 0 20 5 0 2 再由加法定理 再由加法定理 P P P P A A A A B P P P P A A A A P P P P B P P P P A A A AB 0 7 0 6 0 7 0 6 0 7 0 6 0 7 0 6 0 5 0 80 5 0 80 5 0 80 5 0 8 于是于是25 0 8 0 2 0 BAP ABP BAP BABP BABP 25 0 5 06 07 0 5 1 5 1 7 2 7 5 7 0 5 0 0705 BAPBPAP BAP BAP BBBAP BABP ABPAPABPABPABP ABPABPAPBAP 定义 故 解二 由已知 18181818 十四十四 2 1 3 1 4 1 BAPBAPABPAP 求 解 由解 由 6 1 3 1 4 1 2 1 BP BPBP ABPAP BP ABP BAP有 定义 由已知条件 由乘法公式 得由乘法公式 得 12 1 ABPAPABP 由加法公式 得由加法公式 得 3 1 12 1 6 1 4 1 ABPBPAPBAP 19 19 19 19 十五十五 掷两颗骰子掷两颗骰子 已知两颗骰子点数之和为已知两颗骰子点数之和为 7 7 7 7 求其中有一颗为求其中有一颗为 1 1 1 1 点的概率点的概率 用两种方法用两种方法 解解 方法一 方法一 在缩小的样本空间 在缩小的样本空间 SBSBSBSB 中求中求 P P P P A B A B A B A B 即将事件 即将事件 B B B B 作为样本空间 求事件作为样本空间 求事件 A A A A 发生的发生的 概率概率 掷两颗骰子的试验结果为一有序数组 掷两颗骰子的试验结果为一有序数组 x x x x y y y y x x x x y y y y 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 并且满足 并且满足x x x x y y y y 7 7 7 7 则样本空间为 则样本空间为 S S S S x x x x y y y y 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 6 6 1 1 1 1 2 2 2 2 5 5 5 5 5 5 5 5 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 每种结果 每种结果 x x x x y y y y 等可能 等可能 A A A A 掷二骰子 点数和为掷二骰子 点数和为 7 7 7 7 时 其中有一颗为时 其中有一颗为 1 1 1 1 点 故点 故 3 1 6 2 AP 方法二方法二 用公式 用公式 BP ABP BAP S S S S x x x x y y y y x x x x 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 y y y y 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 每种结果均可能每种结果均可能 A A A A 掷 两 颗 骰 子 掷 两 颗 骰 子 x x x x y y y y中 有 一 个 为中 有 一 个 为 1 1 1 1 点点 B B B B 掷 两 颗 骰 子 掷 两 颗 骰 子 x x x x y y y y 7 7 7 7 则 则 22 6 2 6 1 6 6 ABPBP 故故 3 1 6 2 6 1 6 2 2 BP ABP BAP 20202020 十六十六 据以往资料表明 某一据以往资料表明 某一 3 3 3 3 口之家 患某种传染病的概率有以下规律 口之家 患某种传染病的概率有以下规律 P P P P A A A A P P P P 孩子得孩子得 病病 0 60 60 60 6 P P P P B B B B A A A A P P P P 母亲得病母亲得病 孩子得病孩子得病 0 50 50 50 5 P P P P C C C C ABABABAB P P P P 父亲得病父亲得病 母亲及孩子得病母亲及孩子得病 0 40 40 40 4 求母亲及孩求母亲及孩 子得病但父亲未得病的概率 子得病但父亲未得病的概率 解解 所求概率为所求概率为P P P P ABABABABC 注意注意 由于由于 母病母病 孩病孩病 父病父病 都是随机事件都是随机事件 这里不是求这里不是求P P P P C AB AB AB AB P P P P ABABABAB P P P P A A A A P P P P B B B B A A A A 0 6 0 6 0 6 0 6 0 5 0 3 0 5 0 3 0 5 0 3 0 5 0 3 P P P P C AB AB AB AB 1 1 1 1 P P P P C C C C ABABABAB 1 1 1 1 0 4 0 6 0 4 0 6 0 4 0 6 0 4 0 6 从而从而P P P P ABABABABC P P P P ABABABAB P P P P C AB AB AB AB 0 3 0 3 0 3 0 3 0 6 0 18 0 6 0 18 0 6 0 18 0 6 0 18 21212121 十七十七 已知已知 10101010 只晶体管中有只晶体管中有 2 2 2 2 只次品 在其中取二次 每次随机地取一只 作不放回抽样 只次品 在其中取二次 每次随机地取一只 作不放回抽样 求下列事件的概率 求下列事件的概率 1 1 1 1 二只都是正品 记为事件 二只都是正品 记为事件 A A A A 法一 用组合做法一 用组合做 在在 10101010 只中任取两只来组合 每一个组合看作一个基本结果 每种取法等可能 只中任取两只来组合 每一个组合看作一个基本结果 每种取法等可能 62 0 45 28 2 10 2 8 C C AP 法二 用排列做法二 用排列做 在在 10101010 只中任取两个来排列 每一个排列看作一个基本结果 每个排列等可能 只中任取两个来排列 每一个排列看作一个基本结果 每个排列等可能 45 28 2 10 2 8 A A AP 法三 用事件的运算和概率计算法则来作 法三 用事件的运算和概率计算法则来作 记记A A A A1 1 1 1 A A A A2 2 2 2分别表第一 二次取得正品 分别表第一 二次取得正品 45 28 9 7 10 8 1221 AAPAPAAPAP 2 2 2 2 二只都是次品 记为事件 二只都是次品 记为事件 B B B B 法一 法一 45 1 2 10 2 2 C C BP 法二 法二 45 1 2 10 2 2 A A BP 法三 法三 45 1 9 1 10 2 12121 AAPAPAAPBP 3 3 3 3 一只是正品 一只是次品 记为事件 一只是正品 一只是次品 记为事件C C C C 法一 法一 45 16 2 10 1 2 1 8 C CC CP 法二 法二 45 16 2 10 2 2 1 2 1 8 A ACC CP 法三 法三 互斥与且 21212121 AAAAAAAAPCP 45 16 910 82 9 2 10 8 121121 AAPAPAAPAP 4 4 4 4 第二次取出的是次品 记为事件 第二次取出的是次品 记为事件D D D D 法一 因为要注意第一 第二次的顺序 不能用组合作 法一 因为要注意第一 第二次的顺序 不能用组合作 法二 法二 5 1 2 10 1 2 1 9 A AA DP 法三 法三 互斥与且 21212121 AAAAAAAAPDP 5 1 9 1 10 2 9 2 10 8 121121 AAPAPAAPAP 22222222 十八十八 某人忘记了电话号码的最后一个数字某人忘记了电话号码的最后一个数字 因而随机的拨号因而随机的拨号 求他拨号不超过三次而接通所求他拨号不超过三次而接通所 需的电话的概率是多少 如果已知最后一个数字是奇数 那么此概率是多少 需的电话的概率是多少 如果已知最后一个数字是奇数 那么此概率是多少 记记H H H H表拨号不超过三次而能接通 表拨号不超过三次而能接通 A A A Ai i i i表第表第i i i i次拨号能接通 次拨号能接通 注意 第一次拨号不通 第二拨号就不再拨这个号码 注意 第一次拨号不通 第二拨号就不再拨这个号码 10 3 8 1 9 8 10 9 9 1 10 9 10 1 2131211211 321211 AAAPAAPAPAAPAPAPHP AAAAAAH 三种情况互斥 如果已知最后一个数字是奇数如果已知最后一个数字是奇数 记为事件记为事件B B B B 问题变为在问题变为在B B B B已发生的条件下已发生的条件下 求求H H H H再发生的概率再发生的概率 321211 BAAABAABPABHP 2131211211 AABAPABAPBAPABAPBAPBAP 5 3 3 1 4 3 5 4 4 1 5 4 5 1 24242424 十九十九 设有甲 乙二袋 甲袋中装有设有甲 乙二袋 甲袋中装有n n n n只白球只白球m m m m只红球 乙袋中装有只红球 乙袋中装有N N N N只白球只白球MMMM只红球只红球 今今 从甲袋中任取一球放入乙袋中从甲袋中任取一球放入乙袋中 再从乙袋中任取一球再从乙袋中任取一球 问取到问取到 即从乙袋中取到即从乙袋中取到 白球的概率是多少 白球的概率是多少 此为第三版 此为第三版 19191919 题题 1 1 1 1 记记A A A A1 1 1 1 A A A A2 2 2 2分别表分别表 从甲袋中取得白球 红球放入乙袋从甲袋中取得白球 红球放入乙袋 再记再记B B B B表表 再从乙袋中取得白球再从乙袋中取得白球 B B B B A A A A1 1 1 1B B B B A A A A2 2 2 2B B B B且且A A A A1 1 1 1 A A A A2 2 2 2互斥互斥 P P P P B B B B P P P P A A A A1 1 1 1 P P P P B B B B A A A A1 1 1 1 P P P P A A A A2 2 2 2 P P P P B B B B A A A A2 2 2 2 11 1 MN N mn m MN N mn n 十九十九 2 2 2 2 第一只盒子装有第一只盒子装有 5 5 5 5 只红球只红球 4 4 4 4 只白球只白球 第二只盒子装有第二只盒子装有 4 4 4 4 只红球只红球 5 5 5 5 只白球只白球 先从第一盒先从第一盒 子中任取子中任取 2 2 2 2 只球放入第二盒中去 然后从第二盒子中任取一只球 求取到白球的概率 只球放入第二盒中去 然后从第二盒子中任取一只球 求取到白球的概率 记记C C C C1 1 1 1为为 从第一盒子中取得从第一盒子中取得 2 2 2 2 只红球只红球 C C C C2 2 2 2为为 从第一盒子中取得从第一盒子中取得 2 2 2 2 只白球只白球 C C C C3 3 3 3为为 从第一盒子中取得从第一盒子中取得 1 1 1 1 只红球 只红球 1 1 1 1 只白球只白球 D D D D为为 从第二盒子中取得白球从第二盒子中取得白球 显然 显然C C C C1 1 1 1 C C C C2 2 2 2 C C C C3 3 3 3两两互斥 两两互斥 C C C C1 1 1 1 C C C C2 2 2 2 C C C C3 3 3 3 S S S S 由全概率公式 有 由全概率公式 有 P P P P D D D D P P P P C C C C1 1 1 1 P P P P D D D D C C C C1 1 1 1 P P P P C C C C2 2 2 2 P P P P D D D D C C C C2 2 2 2 P P P P C C C C3 3 3 3 P P P P D D D D C C C C3 3 3 3 99 53 11 6 11 7 11 5 2 9 1 4 1 5 2 9 2 4 2 9 2 5 C CC C C C C 26 26 26 26 二十一二十一 已知男人中有已知男人中有 5 5 5 5 是色盲患者是色盲患者 女人中有女人中有 0 25 0 25 0 25 0 25 是色盲患者是色盲患者 今从男女人数相等的人今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人 恰好是色盲患者 问此人是男性的概率是多少 群中随机地挑选一人 恰好是色盲患者 问此人是男性的概率是多少 解 解 A A A A1 1 1 1 男人男人 A A A A2 2 2 2 女人女人 B B B B 色盲色盲 显然 显然A A A A1 1 1 1 A A A A2 2 2 2 S S S S A A A A1 1 1 1A A A A2 2 2 2 由已知条件知由已知条件知 25 0 5 2 1 2121 ABPABPAPAP 由贝叶斯公式 有由贝叶斯公式 有 21 20 10000 25 2 1 100 5 2 1 100 5 2 1 2211 111 1 ABPAPABPAP ABPAP BP BAP BAP 二十二二十二 一学生接连参加同一课程的两次考试 第一次及格的概率为一学生接连参加同一课程的两次考试 第一次及格的概率为P P P P 若第一次及格则第二次 若第一次及格则第二次 及格的概率也为及格的概率也为P P P P 若第一次不及格则第二次及格的概率为若第一次不及格则第二次及格的概率为 2 P 1 1 1 1 若至少有一次及格则他能取得某种若至少有一次及格则他能取得某种 资格 求他取得该资格的概率资格 求他取得该资格的概率 2 2 2 2 若已知他第二次已经及格 求他第一次及格的概率 若已知他第二次已经及格 求他第一次及格的概率 解 解 A A A Ai i i i 他第他第 i i i i 次及格次及格 i 1 2i 1 2i 1 2i 1 2 已知已知P P P P A A A A1 1 1 1 P P P P A A A A2 2 2 2 A A A A1 1 1 1 P P P P 2 12 P AAP 1 1 1 1 B B B B 至少有一次及格至少有一次及格 所以所以 21 AAB 两次均不及格 1 1 1 12121 AAPAPAAPBPBP 1 1 1 121 AAPAP 2 2 1 2 3 2 1 1 1PP P P 2 2 2 2 2 21 21 AP AAP AAP 定义 由乘法公式 有由乘法公式 有P P P P A A A A1 1 1 1A A A A2 2 2 2 P P P P A A A A1 1 1 1 P P P P A A A A2 2 2 2 A A A A1 1 1 1 P P P P2 2 2 2 由全概率公式 有由全概率公式 有 1211212 AAPAPAAPAPAP 22 2 1 2 PP P PPP 将以上两个结果代入 将以上两个结果代入 得 得 1 2 22 2 2 21 P P PP P AAP 28282828 二十五二十五 某人下午某人下午 5 5 5 5 00 00 00 00 下班 他所积累的资料表明 下班 他所积累的资料表明 到家时间到家时间5 5 5 5 35 5 39 35 5 39 35 5 39 35 5 395 40 5 445 40 5 445 40 5 445 40 5 445 45 5 495 45 5 495 45 5 495 45 5 495 50 5 545 50 5 545 50 5 545 50 5 54迟于迟于 5 5 5 5 54 54 54 54 乘地铁到乘地铁到 家的概率家的概率 0 100 100 100 100 250 250 250 250 450 450 450 450 150 150 150 150 050 050 050 05 乘汽车到乘汽车到 家的概率家的概率 0 300 300 300 300 350 350 350 350 200 200 200 200 100 100 100 100 050 050 050 05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车 结果他是某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车 结果他是 5 475 475 475 47 到家的 试求他是乘地铁回家的概率 到家的 试求他是乘地铁回家的概率 解 设解 设A A A A 乘地铁乘地铁 B B B B 乘汽车乘汽车 C C C C 5 45 5 495 45 5 495 45 5 495 45 5 49 到家到家 由题意 由题意 AB AB AB AB A A A A B B B B S S S S 已知 已知 P P P P A A A A 0 5 0 5 0 5 0 5 P P P P C AC AC AC A 0 45 0 45 0 45 0 45 P P P P C BC BC BC B 0 2 0 2 0 2 0 2 P P P P B B B B 0 5 0 5 0 5 0 5 由贝叶斯公式有由贝叶斯公式有 6923 0 13 9 65 0 45 0 2 1 2 1 45 05 0 BCPACP CP APACP CAP 29292929 二十四二十四 有两箱同种类型的零件 第一箱装有两箱同种类型的零件 第一箱装 5 5 5 5 只 其中只 其中 10101010 只一等品 第二箱只一等品 第二箱 30303030 只 其中只 其中 1 1 1 18 8 8 8 只一等品只一等品 今从两箱中任挑出一箱今从两箱中任挑出一箱 然后从该箱中取零件两次然后从该箱中取零件两次 每次任取一只每次任取一只 作不放回抽样作不放回抽样 试求试求 1 1 1 1 第一次取到的零件是一等品的概率第一次取到的零件是一等品的概率 2 2 2 2 第一次取到的零件是一等品的条件下第一次取到的零件是一等品的条件下 第二次取到的也是一等第二次取到的也是一等 品的概率 品的概率 解 设解 设 B B B Bi i i i表示表示 第第 i i i i 次取到一等品次取到一等品 i 1i 1i 1i 1 2 2 2 2 A A A Aj j j j表示表示 第第 j j j j 箱产品箱产品 j 1 2j 1 2j 1 2j 1 2 显然 显然A A A A1 1 1 1 A A A A2 2 2 2 S S S SA A A A1 1 1 1A A A A2 2 2 2 1 1 1 1 4 0 5 2 30 18 2 1 50 10 2 1 1 BP B B B B1 1 1 1 A A A A1 1 1 1B B B B A A A A2 2 2 2B B B B由全概率公式解由全概率公式解 2 2 2 2 4857 0 5 2 29 17 30 18 2 1 49 9 50 10 2 1 1 21 12 BP BBP BBP 先用条件概率定义 再求 先用条件概率定义 再求P P P P B B B B1 1 1 1B B B B2 2 2 2 时 由全概率公式解 时 由全概率公式解 32323232 二十六 二十六 2 2 2 2 如图如图 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 表示继表示继 电器接点 假设每一继电器接点闭合的概率为电器接点 假设每一继电器接点闭合的概率为p p p p 且且 设各继电器闭合与否相互独立 求设各继电器闭合与否相互独立 求L L L L和和R R R R是通路的是通路的 概率 概率 记记A A A Ai i i i表第表第i i i i个接点接通个接点接通 记记A A A A表从表从L L L L到到R R R R是构成通路的 是构成通路的 A AA AA AA A1 1 1 1A A A A2 2 2 2 A A A A1 1 1 1A A A A3 3 3 3A A A A5 5 5 5 A A A A4 4 4 4A A A A5 5 5 5 A A A A4 4 4 4A A A A3 3 3 3A A A A2 2 2 2四种情况不互斥四种情况不互斥 P P P P A A A A P P P P A A A A1 1 1 1A A A A2 2 2 2 P P P P A A A A1 1 1 1A A A A3 3 3 3A A A A5 5 5 5 P P P P A A A A4 4 4 4A A A A5 5 5 5 P P P P A A A A4 4 4 4A A A A3 3 3 3A A A A2 2 2 2 P P P P A A A A1 1 1 1A A A A2 2 2 2A A A A3 3 3 3A A A A5 5 5 5 P P P P A A A A1 1 1 1A A A A2 2 2 2A A A A4 4 4 4A A A A5 5 5 5 P P P P A A A A1 1 1 1A A A A2 2 2 2A A A A3 3 3 3A A A A4 4 4 4 P P P P A A A A1 1 1 1A A A A3 3 3 3A A A A4 4 4 4A A A A5 5 5 5 P P P P A A A A1 1 1 1A A A A2 2 2 2A A A A3 3 3 3A A A A4 4 4 4A A A A5 5 5 5 P P P P A A A A2 2 2 2A A A A3 3 3 3A A A A4 4 4 4A A A A5 5 5 5 P P P P A A A A1 1 1 1A A A A2 2 2 2A A A A3 3 3 3A A A A4 4 4 4A A A A5 5 5 5 P P P P A A A A1 1 1 1A A A A2 2 2 2A A A A3 3 3 3A A A A4 4 4 4A A A A5 5 5 5 A A A A1 1 1 1A A A A2 2 2 2A A A A3 3 3 3A A A A4 4 4 4A A A A5 5 5 5 P P P P A A A A1 1 1 1A A A A2 2 2 2A A A A3 3 3 3A A A A4 4 4 4A A A A5 5 5 5 P P P P A A A A1 1 1 1A A A A2 2 2 2A A A A3 3 3 3A A A A4 4 4 4A A A A5 5 5 5 又由于又由于A A A A1 1 1 1 A A A A2 2 2 2 A A A A3 3 3 3 A A A A4 4 4 4 A A A A5 5 5 5互相独立 互相独立 故故P P P P A A A A p p p p2 2 2 2 p p p p3 3 3 3 p p p p2 2 2 2 p p p p3 3 3 3 p p p p4 4 4 4 p p p p4 4 4 4 p p p p4 4 4 4 p p p p4 4 4 4 p p p p5 5 5 5 p p p p4 4 4 4 5 3 4 21 LR p p p p5 5 5 5 p p p p5 5 5 5 p p p p5 5 5 5 p p p p5 5 5 5 p p p p5 5 5 5 2 2 2 2p p p p2 2 2 2 3 3 3 3p p p p3 3 3 3 5 5 5 5p p p p4 4 4 4 2 2 2 2p p p p5 5 5 5 二十六 二十六 1 1 1 1 设有设有 4 4 4 4 个独立工作的元件个独立工作的元件 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 它们的可靠性分别为 它们的可靠性分别为P P P P1 1 1 1 P P P P2 2 2 2 P P P P3 3 3 3 P P P P4 4 4 4 将它 将它 们按图 们按图 1 1 1 1 的方式联接 求系统的可靠性 的方式联接 求系统的可靠性 记记A A A Ai i i i表示第表示第i i i i个元件正常工作 个元件正常工作 i i i i 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 A