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4 2直线 圆的位置方程 哈三中网校付老师 直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系 判断直线与圆的位置关系有两种方法 一种方法是代数法 即判断直线l的方程与圆C的方程联立组成的方程组是否有解 利用判别式 b2 4ac判断 判别式 b2 4ac 0 有两个交点 直线与圆相交 0 只有一个交点 直线与圆相切 0 没有交点 直线与圆相离 另一种方法是几何法 即判断圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系 d r 直线与圆相交 d r 直线与圆相切 d r直线与圆相离 直线与圆的位置关系 2 直线与圆相交时 应充分利用弦心距 半径及弦长的一半组成的直角三角形来解决问题 3 有关直线与圆的位置关系的三类基本问题 判断位置关系 方法是比较d与r的大小 求切线方程 求弦长 一般利用勾股定理与垂径定理求解 另外 当直线与圆相交时 过两交点的圆系方程为 拓展应用 1 切线方程的求法 已知圆x2 y2 r2 则过圆上一点P x0 y0 的圆的切线方程为xx0 yy0 r2 过圆 x a 2 y b 2 r2上一点P x0 y0 的切线方程是 x a x0 a y b y0 b r2 斜率为k且与圆x2 y2 r2相切的切线方程为斜率为k且与圆 x a 2 y b 2 r2相切的切线方程的求法 可以设切线方程为y kx m 然后化成一般式kx y m 0 利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求m 3 切点弦方程过圆x2 y2 r2外一点P x0 y0 引圆的两条切线 切点分别为A B 则过两点A B的直线方程 切点弦方程 为xx0 yy0 r2 4 弦长公式 拓展应用 拓展应用 点 x0 y0 在圆外 则过 x0 y0 的切线必有两条 可设切线方程为y y0 k x x0 利用圆心到直线的距离等于半径求出k的值 若求得的斜率只有一个时 则还有一条斜率不存在的直线 需要补上另一条切线x x0 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种 即外离 外切 相交 内切 内含 其具体的判定方法有两种 代数法 圆C1与圆C2有几个公共点由它们的方程组成的方程组有几个实数解来确定几何法 由圆心距d C1C2 与两圆的半径和或半径差的绝对值的大小关系来确定 设两圆的半径分别为R r R r 圆心距为d 则两圆的位置关系可用下表来判断 利用代数法判断两圆的位置关系时 注意条件的不等价性 即两圆外离 0两圆相切时 两圆心所在直线经过切点 外切时有3条公切线 内切时有1条公切线两圆外离时有4条公切线 两圆相交时有2条公切线 两圆连心线垂直平分公共弦 圆与圆的位置关系 两圆相交 相切 有两个 一个 交点 经过这些交点可作无穷多个圆 这无穷多个圆可组成一个圆系 常见的圆系方程有以下几种 以 a b 为圆心的同心圆系方程为 x a 2 y b 2 k2 k 0 与圆x2 y2 Dx Ey F 0同心的圆系方程为x2 y2 Dx Ey K 0 过定点 a b 为圆系方程为 x a 2 y b 2 1 x a 2 y b 0 过直线Ax By C 0与圆x2 y2 Dx Ey F 0的交点的圆系方程为 x a 2 y b 2 Ax By C 0 过两圆C1 x2 y2 D1x E1y F1 0和C2 x2 y2 D2x E2y F2 0的交点的圆系方程为x2 y2 D1x E1y F1 x2 y2 D2x E2y F2 0 1 其中不含圆C2 当 1时 l D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0为两圆的公共弦所在直线的方程 当两圆相切时 l为过两圆切点的直线的方程 拓展应用 用坐标法解决实际问题 用坐标法解决几何问题时 先用坐标和方程表示相应的几何元素 点 直线 圆 将几何问题转化为代数问题 然后通过代数运算解决代数问题 最后解释代数运算结果的几何含义 得到问题的结论 这就是用坐标法解决平面几何问题的 三步曲 第一步 建立适当的平面直角坐标系 用坐标和方程表示问题中的几何元素 将几何问题转化为代数问题第二步 通过代数运算解决代数问题第三步 把代数运算结果 翻译 成几何结论 直线与圆的位置关系 相切 相交 弦长的求法 相离 几何法 代数法 切线的求法 直线 圆 应用 圆与圆的位置关系 外切 三步曲 相离 相交 内切 内含 直线与圆的位置关系有相切 相交 相离三种 其判断方法为 1 代数法 即求直线与圆的方程所组成的方程组的实数解的个数 当 0时 相交 0时 相切 r时 相离 圆与圆有五种位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 判断方法有两种 一是代数法 二是几何法解决圆的实际问题有三步 一是建系 二是用代数法解 三是 还原 成几何问题 在学习本节的过程中 常见的思维误区有 1 求圆的切线方程漏解 已知点 求圆的切线方程的漏解 已知点 求过点的圆的切线方程时 不考虑点的位置是在圆上还是圆外 或者不考虑直线斜率不存在情形 对与圆有关的位置关系理解不够全面 因此在解决问题时出现漏解 2 本节的题目 其方法一般不止一种 因此方法的选取尤为重要 方法得当 则思路清晰 解法简明 方法不好 则计算量大 且容易因计算错误导致失分 数学口诀 数列 等差等比两数列 通项公式 项和 两个有限求极限 四则运算顺序换 数列问题多变幻 方程化归