（电路与系统专业论文）基于状态观测器的复杂动态网络故障诊断.pdf

南京邮电大学硕士研究生学位论文 摘要 摘要 2 0 世纪9 0 年代以来 复杂动态网络理论及其应用 已成为研究热点之一 目前的研 究中 大多数基于网络拓扑已知的情况 然而现实中 拓扑结构常是未知的 因此 如何 辨识网络拓扑 并监控网络拓扑结构的变化 来进行故障诊断 具有相当重要的意义 现有的拓扑辨识与监控的研究中 有的假设网络节点动态性函数可以用线性随机模型 表示 但如果网络节点模型更加复杂 该方法将无法应用 有的利用每个节点的第一个状 态变量进行耦合 并设计观测器来辨识和监控网络拓扑 但这种方法难以扩展到一般情况 即网络节点的动态性函数用一般的非线性系统表示时 有的利用所有节点的所有状态变量 来设计观测器 但如果一部分状态变量不可测 该方法将无法应用 本文我们利用节点输出变量 标量 作为反馈变量来设计观测器 对目标网络拓扑结 构变化进行监控 使观测器的设计简单化 在工程上易于实现 节点的输出变量是状态变 量的线性组合 在现实工程中是可测的 基于l y a p u n o v 稳定性理论 我们得到设计观测 器的条件 并用l o r e n z 电路进行仿真 验证本方法的效果 论文的整体结构如下 首先 介绍复杂动态网络的基本概念 两种耦合模型 网络同 步的定义及相应的控制方法 其次 介绍现有的几种网络拓扑辨识及监控的方法 最后 针对节点输出线性耦合网络 利用节点输出变量设计观测器 实时监控拓扑变化来进行故 障诊断 并将此方法推广到输出耦合时延网络 关键词 复杂动态网络 同步 输出变量 拓扑 故障诊断 南京邮电大学硕士研究生学位论文 a b s t r a c t s i n c et h e19 9 0 s t h et h e o r yo fc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k sa n d a p p l i c a t i o n sh a sb e c o m eo n e o ft h eh o tr e s e a r c ht o p i c s n o w m a n yr e s e a r c h e sf o c u so nt h en e t w o r k sp r o v i d e dw i lc e r t a i n t o p o l o g y b u ti nt h er e a lw o r l d t h et o p o l o g yo fan e t w o r ki sa l w a y su n c e r t a i n s o h o wt o i d e n t i f yt h et o p o l o g ya n dm o n i t o rt h ec h a n g eo ft h en e t w o r kt o p o l o g yt od of a u l td i a g n o s i si so f g r e a ti m p o r t a n c e i nt h ee x i s t i n gr e s e a r c h e so ft o p o l o g yi d e n t i f i c a t i o na n dm o n i t o r i n g s o m ea s s u m et h a tt h e d y n a m i c so ft h en e t w o r kc a nb ed e s c r i b e db yal i n e a rs t o c h a s t i cm o d e l b u ti ft h em o d e l so f n e t w o r k sn o d e sa r em o r ec o m p l e x i tm a yn o tb et r u e s o m ea d d r e s sa no b s e r v e ra p p r o a c ht h a t u s i n gt h ef i r s ts t a t ev a r i a b l eo fe a c hn o d et oc o u p l ea n dd e s i g nt h eo b s e r v e rt oi d e n t i f ya n d m o n i t o rt h et o p o l o g y i t se f f e c t i v ef o rt h es p e c i a ld y n a m i c so fn o d e b u ti ti sd i f f i c u l tt ob e e x t e n d e dt oag e n e r a lc a s e w h e r et h en o d ed y n a m i c si sag e n e r a ln o n l i n e a rs y s t e m s o m e c o n s t r u c tas t a t eo b s e r v e ra n du s ea l lt h es t a t ev a r i a b l e so fa l ln o d e st og e tt h es y n c h r o n i z a t i o n b u ti fs o m es t a t ev a r i a b l e sa r en o tm e a s u r e a b l e i tm a yn o tb ep r a c t i c a l i nt h i sd i s s e r t a t i o n w ed e s i g na no b s e r v e ru s i n ge a c hn o d e so u t p u tv a r i a b l e s c a l a r t ob et h e f e e d b a c kt om o n i t o rt h ec h a n g eo ft h et a r g e tn e t w o r k st o p o l o g y l e a d i n gt os i m p l ed e s i g no f o b s e r v e ra n de a s yr e a l i z a t i o ni nr e a le n g i n e e r i n g t h en o d e so u t p u tv a r i a b l ei st h e l i n e a r c o m b i n a t i o no fs t a t ev a r i a b l e s w h i c hc a nb em e a s u r e de a s i l yi nr e a le n g i n e e r i n g b a s e do nt h e l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r e m s o m ec o n d i t i o n sa r ed e r i v e dt od e s i g nt h eo b s e r v e r b yt h e s i m u l a t i o nu s i n gt h el o r e n zm o d e l t h ee f f e c t i v e n e s so ft h ea p p r o a c hi sd e m o n s t r a t e d t h ed i s s e r t a t i o ni s o r g a n i z e da sf o l l o w s t h eb a s i cc o n c e p t i o n so fc o m p l e xd y n a m i c a l n e t w o r k s t w oc o u p l i n gm o d e l s t h ec o n c e p t i o n so fs y n c h r o n i z a t i o ni nn e t w o r k sa n dt h e c o r r e s p o n d i n gc o n t r o lm e t h o d sa r ei n t r o d u c e da tf i r s t s e c o n d l y s o m ee x i s t i n gm e t h o d s o f t o p o l o g yi d e n t i f i c a t i o na n dm o n i t o r i n ga r ei n t r o d u c e d a tl a s t a c c o r d i n gt ot h em o d e lo f c o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k sc o u p l i n g 谢t l lo u t p u ts i g n a l s a no b s e r v e ru s i n go u t p u tv a r i a b l ei s d e s i g n e dt om o n i t o rt h et o p o l o g yo f t h et a r g e t e dn e t w o r ka n de x t e n d e dt ot i m ed e l a yc a s e k e yw o r d s c o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k s s y n c h r o n i z a t i o n o u t p u tv a r i a b l e t o p o l o g y f a u l t d i a g n o s i s 南京邮电大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果 尽我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方外 论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果 也不包含为获得南京邮电大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 研究生签名 日期 叠啦垃 勇 南京邮电大学学位论文使用授权声明 南京邮电大学 中国科学技术信息研究所 国家图书馆有权保留本人所送 交学位论文的复印件和电子文档 可以采用影印 缩印或其它复制手段保存论 文 本文电子文档的内容和纸质论文的内容相一致 除在保密期内的保密论文 外 允许论文被查阅和借阅 可以公布 包括刊登 论文的全部或部分内容 论文的公布 包括刊登 授权南京邮电大学研究生部办理 研究生签名 导师签名 日期 电坚鱼囵 里 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章复杂动态网络简介 1 1引言 第一章复杂动态网络简介 随着社会的发展 人们迈入了网络时代 形形色色的网络在我们身边无处不在 比较 明显的有人际关系网络 公共交通网络 卫星通讯网络 甚至b b s 网络等等 生活中另外 一些事情也处在无形的网络中 这些不常被看到的网络有食物链网络 语言词汇网络 又 或者电影演员们的合作网络 学者们是否有共同研究的合作网络等 微观世界的网络就更 多了 蛋白质折叠网络 细胞内化学物质反应网络等等 可以说 人们已经生活在一个充 满各种各样的复杂动态网络的世界中 网络化的进程 既给人们带来了便利 提高了生产 效率和生活质量 也带来了一定的负面冲击 如病毒的快速传播和大面积停电事故等 社 会的日益网络化 需要人类对复杂动态网络的行为有更好的认识 近几年 复杂动态网络的分析和建模 以及对复杂动态网络动态系统的研究等方面 已经成为跨学科研究的热点 复杂动态网络理论及应用 正渗透到数理学科 生命学科和 工程学科等众多不同的领域 对复杂动态网络的定量与定性特征的科学理解 已成为网络 时代科学研究中的重要课题 本章将简单介绍复杂动态网络的一些基本概念和理论 课题 的研究背景 以及复杂动态网络的历史和现状等 1 2复杂动态网络研究简史 社会关系网络中 地球上任意两个人之间要通过多少个朋友才能互相认识 为什么流 言蜚语会散布的很快 计算机网络中 层出不穷的计算机病毒是如何在互联网上传播的 万维网 w w w 上从一个页面到另一个页面平均需要点击多少次鼠标 交通网络中 大 城市的交通堵塞问题是如何引起的 生物网络中 各种传染病 艾滋病 非典型性肺炎和 禽流感等 是如何在人类和动物中流行的 电力网络中 局部故障是如何触发大面积停电 事故的 以上这些问题 尽管看上去是不相同的各个领域 但每一个问题都涉及很复杂的网络 更为重要的是 越来越多的研究表明 这些看上去各不相同的网络之间 其实有着许多惊 人的相似之处 这些 都是复杂动态网络需要研究的问题 在我们的现实生活中 充满着 1 自自 自太 硕 研究生学位论文第章复杂动态同络何 各种各样的复杂网络 如i n t e r n e t 万维剐 电力网络 交通网络 食物链嘲络 科研合作 网络 社会关系网络 神经嗍络等等 网络化是今后若干年许多研究领域发展的一个主流 方向 因此 复杂动态网络理论及其应用的研究 显得越来越重要 所谓的复杂动态网络 就是由大量的节点通过边的相互连接而构成的图 是具有复杂 的网络拓扑结构和动力学行为的大规模网络 现代网络系统的复杂性体现在以下几方面 1 结构复杂性 表现在节点数目巨大 网络结构呈现多种不同特征 2 节点复杂性 网络中的节点可能是具有分岔和混沌等复杂非线性行为的动力系统 3 网络进化 表现在节点或连接的产生与消失 例如万维网 网页随时可能产生或 消失 超链接随时可能出现或断开 导致网络结构不断发生变化 4 连接多样性 节点之间的连接权重存在差异 且有可能存在方向性 5 动力学复杂性 节点集可能属于非线性动力学系统 例如 节点状态随时间发生 复杂变化 6 节点多样性 复杂网络中的节点可以代表任何事物 例如 人际关系构成的复杂 网络中 节点代表单独个体 万维网组成的复杂网络中 节点可以表示不同网页 7 多重复杂性融合 即以上多重复杂性相互影响 导致更为难以预料的结果 图1 1 描述 i n t e m e t 上部分i p 地址的连接结构示意图 很好地体现了现代网络系统的复 杂性 一 s w t z er p a 翟 芝三 罢 慧誊 n 甚 图1 1 i n t e m e t 上部分i p 地址的连接结构示意图 w rc h e s w i c k 2 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章复杂动态网络简介 从2 0 世纪末开始 复杂动态网络的研究 已经渗透到数理学科 生命学科和工程学科 等众多不同的领域 以及对复杂动态网络的大量与定性特征的科学理解 复杂动态网络的 研究 已经在一系列难点问题上取得了重大的进步 形成了许多新的观点 引入了许多新 的技术 复杂动态网络的研究 已经成为一个极其重要的挑战性课题 甚至被称为 网络 的新科学 n e ws c i e n c eo f n e t w o r k s l 复杂动态网络理论所要研究的内容 是各种看上去互不相同的复杂动态网络之间的共 性 以及处理它们的普适方法 目前 人们对复杂动态网络的研究 可以划分为以下几个方面 1 根据真实数据研究实际网络的特性和行为 2 探讨和模拟实际网络的结构形成与演化机制 3 用数学模型描述实际网络特性和预测网络动态行为 4 研究人工网络和自然网络的异同 借鉴自然网络的结构特点 用复杂动态网络的 研究结果改造或建造有特殊特性的网络 5 复杂动态网络理论的实际应用 复杂动态网络所涉及的领域较为广阔 复杂网络本身 并非像纯粹的深奥理论一样遥 不可及 而是和我们周围实际的世界息息相关 复杂网络研究的各个方面 都正处于初期 阶段 需要更多的实际经验积累 复杂动态网络研究的兴起 使人们开始广泛关注网络结构本身的复杂性 以及与网络 行为之间的关系 要研究各种不同的复杂动态网络在结构上的共性 需要有一种描述网络 的统一的工具 这种工具在数学上称为图 g r a p h 1 7 3 6 年欧拉对 七桥问题 的抽象和论证思想 开创了数学中的一个分支 图论的 研究 在图论发展最初的一百多年里 科学家们认为 在真实系统中 各因素之间的关系 可以用一些规则的结构表示 例如 二维平面上的欧几里得格子 或者最近邻耦合网络等 等 到了2 0 世纪6 0 年代 两位匈牙利数学家 e r d 6 s 和r 6 n y i 建立了被公认为是开创了复 杂网络理论的系统性研究的随机图理论 在他们的随机图模型中 两个节点之间连边与否 不再是确定的事情 而是根据一个概率决定 即网络中各个节点以某一固定的概率p 互相 连接 p 越小则最后连接线越少 p 越大连接线越多 当p 等于1 时 整个网络中任意两 点之间都有直接的连线 按照这样的规则生成的网络 叫做随机网络 接下来的四十年里 随机网络一直被认为是能够最好反映真实系统特性的网络 但是 绝大多数实际的复杂动 3 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章复杂动态网络简介 态网络 其拓扑结构并不是完全随机的 例如 两个人之间是否为朋友 i n t e m e t 中两个 路由器之间是否有光纤连接 万维网上两个页面之间是否有超文本链接 两个城市之间是 否有直接相连的高速公路等等 都不会完全由抛硬币来随机决定 对于真实世界中的网络 由于计算机能力和认知水平的局限 其研究工作一直进展缓 慢 事实上 对这一类称为复杂动态网络的问题 一直n 2 0 世纪9 0 年代末以后 科学家们 才有了较为深入的理解 近年来 由于物理学向各个领域广泛发展 使得在现代统计物理 学中 对复杂网络的研究已经成为了必不可少的一部分 利用统计物理的手段 发掘规模 巨大而又复杂无比的网络中隐藏的规律 成为了物理学家们的任务之一 近六七年里 在 物理学界内 有关复杂网络的研究 已经成为各大学术刊物的热门话题 对某些类型的实 际网络中所包含的规律 也有了一些初步认识 人们对复杂动态网络的科学探索发生了重 要的转变 尤其是对于万维网和i n t e m e t 的图形化处理 为研究大规模复杂动态网络的拓扑 结构提供了第一次机会 逐渐地 研究者们开展了对社会科学 基础系统以及生物学中的许多网络的研究 此 时的研究 开始从大型系统的角度 来看待这些巨大的数据集合 试图寻找这些复杂系统 的演化和动力学背后的规律和模式 的确 当研究复杂动态网络的结构时就会发现 尽管 系统本身具有明显的复杂性和随机性 但是也会出现清晰的模式和规律 可以用数学和统 计语言来描述 表1 1 简述了复杂动态网络研究的发展过程 表1 1复杂动态网络研究的简单历史 2 1 时间 年 人物事件 1 7 3 6 e i d e r图论 1 9 5 9 e r d 6 s 和r e n y i随机图理论 1 9 6 7 m i l g r a m小世界实验 1 9 7 3g r a n o v e t t e r弱连接的强度 1 9 9 8 w a t t s 和s t r o g a t z小世界模型 1 9 9 9b a r a b 6 s i 和a l b e r t无尺度网络 在这里 特别要提出以下两篇有开创性意义的文章 它们标志着复杂动态网络研究新 纪元的开始 1 美国康奈尔大学的博士生w 挑及其导师s t r o g a t z 于1 9 9 8 年在 n a t u r e 杂志上发表 4 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章复杂动态网络简介 的题为 小世界 网络的集体动力学 c o l l e c t i v ed y n a m i c so f s m a l l w o r l d n e t w o r k s 的文章 4 2 美国n o t r ed a m e 大学的物理学家b a r a b f i s i 及其博士生a l b e r t 于1 9 9 9 年在 s c i e n c e 杂 志上发表的题为 随机网络中尺度的涌现 e m e r g e n c eo f s c a l i n gi nr a n d o mn e t w o r k s 的文章吼 这两篇文章 分别揭示了复杂动态网络的小世界特性和无尺度特性 并建立了相应的 模型以阐述这些特性的产生机理 在从物理学到生物学的众多学科 掀起了研究复杂动态 网络的热潮 1 3网络的图表示 下面介绍一些网络的图表示的基本概念 人们对复杂网络的研究是从图论开始的 一个具体的网络 可以抽象为一个由节点集y 和连接节点的边集e 组成的图g y e 图1 2 描述了一个具体的电路网络及相应的图的 表示 节点数记为n 川 边数计为m i e l e 中每条边都有矿中一对节点与之相对应 这一对节点称为节点的偶对 若图中代表一条边的偶对是有序的 则称其为有向图 用 v 1 屹 代表图中的一条有向边 m 称为边的始点 v 2 称为边的终点 v l v 2 和化 h 代表 不同的边 有向边也称为弧 若图中代表一条边的偶对是无序的 则称这个图为无向图 用 h v 2 代表无向图中的边 这时 h 屹 和 屹 v 1 是同一条边 l 1c 2l 2 n ln 2n 3n 4 图1 2电路网络示例及其相应的图 对任何一个有向图 若 1 e 必有 y u e 则称图e 是对称的 如果边 u v f 5 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章复杂动态网络简介 或 1 v 是允许的 这样的边 称为自回路 如果图的两顶点间允许多条相同的边 这样 的图称为多重图 如果给每条边都赋予相应的权值 那么该网络就称为加权网络 w e i g h t e d n e t w o r k 否则称为无权网络 u n w e i g h t e dn e t w o r k 当然 无权网络也可看作是每条边的 权值都为l 的等权网络 在无向图g 中 一条从 到 的路径是一个顶点的序列 h v 2 屹 v q 使得 v p m h 吃 屹 屹 是图g 的边 路径上边的数目称为路径的长度 若两个节点 和 u 间存在一条从 n v l 的路径 则称 和h 是连通的 若图中任意一对节点都是连通的 则称此图是连通图 无向图的一个极大连通子图 称为该图的一个连通分量 1 4图的邻接矩阵表示 图的表示方法是多种多样的 这里使用邻接矩阵表示法 一个有n 个节点的图g y d 的邻接矩阵是一个r x r 的矩阵彳 彳中每一个元素是0 或l 邻接矩阵表示一个图中节点相互连接的关系 设v 1 2 r 如果g 是无向图 那么彳中的元素定义如下 撕 信 净赋 巍 1 j 在邻接矩阵彳中 对角线元素的值用来表示图中顶点的度的负值 即用彳 f 0 来表示 顶点珀勺度的负值 度的定义见1 5 3 小节 显然 无向图的邻接矩阵是一个对称矩阵 图1 3 表示一个具体的无向图的邻接矩阵 12 3 厂 1 i 2 10 i 2 i 1 31 i 3 1 01 2 l 4 i 111 一 图1 3 一个无向图和它的邻接矩阵 6 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章复杂动态网络简介 1 5复杂动态网络结构的统计特性 近年来 在描述复杂动态网络结构的统计特性上 人们提出了许多概念和方法 其中 有三个基本的概念 平均路径长度 a v e r a g ep a t hl e n g t h 聚类系数 c l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t 以及度及度的分布 d e g r e ed i s t r i b u t i o n 下面 将对复杂动态网络的这几种性质一一给予 详细介绍 1 5 1平均路径长度 网络中 连接第f 个节点和第 个节点的最短路径上的边数 称为第i 个节点和第歹个 节点之间的距离 记为或 网络中 任意两个节点之间的距离的最大值 称为网络的直径 d i a m e t e r 记为d 即 d m a x 磊 1 2 j 网络中 任意两个节点之间的距离的平均值 称为网络的平均路径长度 记为三 即 三2 丽1 1 e 吲a 扩 1 3 其中 为网络节点数 网络的平均路径长度也称为网络的特征路径长度 c h a r a c t e r i s t i cp a t h l e n g t h 1 5 2聚类系数 统计性地说 现实网络中的节点 趋向于在互相结合后 成为一个个的小集团 这个 行为 称作集团化 c l u s t e r i n g 就像生活中的一个个朋友圈子 里面的成员几乎都互相认 识 内部联系紧密 但与外部联系相对较少 或者说 你的朋友之间几乎也都相互认识 但一群你不认识的人之间 相互认识的可能性就比较小 这种集团化的属性 称为网络的 聚类特性 7 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章复杂动态网络简介 一般地 假设网络中第f 个节点有砖条边将它和其他节点相连 这毛个节点 就称为第 f 个节点的邻居 显然 在这t 个节点之间 最多可能有生学条边 而这毛个节点之间 实际存在的边数巨和总的可能的边数互学之比 就定义为第f 个节点的聚类系数q 即 e 志 1 4 整个网络的聚类系数c 就是所有节点的聚类系数的平均值 很明显 0 c 1 当 且仅当所有的节点均为孤立节点 即没有任何连接边时 c 0 当且仅当网络是全连通 的 即网络中任意两个节点都直接相连时 c 1 对于一个含有 个节点的完全随机的 网络 当n 很大时 c o n 1 而许多大规模的实际网络 都具有明显的聚类效应 它 们的聚类系数尽管远小于1 但却比o n 1 要大得多 事实上 在很多类型的网络 如社会 关系网络 中 你朋友的朋友同时也是你的朋友的概率 会随着网络规模的增加而趋向于 某个非零的常数 即当n 一 时 c o i 这意味着 现实世界中的复杂网络 并不是 完全随机的 而是在某种程度上 具有类似于社会关系网络中 物以类聚 人以群分 的 特性 1 5 3度与度分布 无向网络中 第f 个节点的度定义为该节点连接的其他节点的数目 记为毛 有向网 络中 第f 个节点的度分为出度和入度 节点的出度是指从该节点出发 指向其他节点的 边的数目 节点的入度是指从其他节点出发 指向该节点的边的数目 直观上看 一个节点的度越大 就意味着这个节点在某种意义上越 重要 网络中 所有节点的度的平均值 称为网络的 节点 平均度 记为 k 网络中 节点的度的分 布情况 可用分布函数p 七 来描述 尸 七 表示的是一个随机选定的节点的度 恰好为k 的 概率 完全随机网络的度分布 近似为p o i s s o n 分布 其形状在远离峰值 砖处呈指数下降 8 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章复杂动态网络简介 这意味着当k 远大于 k 时 度为k 的节点实际上是不存在的 因此 这类网络也称为均匀 网络 h o m o g e n e o u sn e t w o r k 近几年 科学家们发现 在真实网络中 譬如国际互联网或者生物新陈代谢网络 度分布往往不是p o i s s o n 分布 而是遵循某种幂指数分布的形势 即度分布 可以用 尸 七 芘七一 的幂律形式来更好地描述 这样的形式 与随机网络中的p o i s s o n 分布相比 随 着k 的增大 分布函数衰减得较为缓慢 也就是说 具有大k 值的节点会显著增多 当然 在绝对数量上 大k 值的节点还是少于小k 值的节点 图1 4 是p o i s s o n 分布与幂指数分布两种分布的对比 幂律分布在对数坐标系中对应于 一条直线 而指数分布在半对数坐标系中对应于一条直线 因此 分别通过采用对数坐标 和半对数坐标 可以很容易识别幂律分布和指数分布 图l 一4 两种分布的对比 左 p o i s s o n 分布 右 幂律分布 对数坐标系 在一个网络中 如果度分布为具有适当幂指数7 通常为2 7 3 的幂律形式分布 意味着绝大部分的节点的度相对很低 但存在少量的度相对很高的节点 因此 这类网络 也称为非均匀网络 i n h o m o g e n e o u sn e t w o r k 而那些度很高的节点 则称为网络的 集线 器 h u b 1 6本章小结 本章首先介绍了复杂动态网络的研究简史 介绍了复杂动态网络的发展过程 基本特 9 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章复杂动态网络简介 点和特征 以及研究方向等 其次介绍了用图论工具描述一个网络的方法 并介绍了通过 邻接矩阵描述网络拓扑结构的方法 为下面网络拓扑的辨识与网络故障诊断提供了理论基 础 最后 介绍了复杂动态网络的三个重要基本概念 平均路径长度 聚类系数 度与度 分布的相关定义及计算方法 l o 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章复杂动态网络的建模及其同步控制 第二章复杂动态网络的建模及其同步控制 2 1 引言 网络建模及网络控制是复杂动态网络领域的研究热点之一 近几年来 人们在这方面 做了很多的研究工作 在网络建模方面 在现有文献中 大多数的研究基于节点状态线性耦合模型 在这种 模型中 节点与节点之间通过状态变量 列向量 进行连接 网络结构较为复杂 j i a n g 等提出一种在现实工程中更为实际的网络模型一节点输出线性耦合模型 5 2 1 并研究了这种 网络模型的内部同步问题 在这种网络模型中 节点之间不再通过状态变量进行耦合 而 是通过节点的输出变量一节点的状态变量的线性组合 标量 进行线性耦合 网络结构较 为简单 在网络的同步控制方面 可以将网络的同步控制分为网络内部同步与网络外部同步两 种 网络内部同步是指通过控制环节 使网络内部节点的行为状态趋于一致 即使网络所 有内部节点的行为达到同步 网络外部同步指通过控制环节 使两个网络之间的对应节点 的行为状态趋于一致 即两个网络的对应节点的行为达到同步 而网络本身不一定处于同 步状态 网络外部同步的经典应用是建立目标网络的状态观测器 来实时监控其节点状态 本章节剩余部分分为两大部分 第一部分介绍复杂动态网络的节点状态线性耦合模 型 以及现有的针对这种网络模型的内部同步和外部同步控制方法 第二部分介绍复杂动 态网络的节点输出线性耦合模型 以及现有的针对这种网络模型的内部同步和外部同步控 制方法 2 2 节点状态线性耦合模型及其同步控制 2 2 1节点状态线性耦合模型 考虑一个由 个相同的节点构成的连续时间耗散耦合动态网络 内部耦合方式为线性 耦合 其中 第f 个节点的状态方程为 4 5 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章复杂动态网络的建模及其同步控制 f x 勺a x i l 2 n 2 一1 其中 玉 i x tx a r 舻是第f 个节点的状态变量 a r 是网络内部耦合矩阵 厂 五 r n 是非线性的矢量 单个孤立节点的动态性可以由毫 来表征 c c 是 拓扑矩阵 用来表征网络耦合强度和拓扑结构 如果第i a 节点与第歹个节点有连接 则 勺 o 否则勺 勺 0 且c 一 在这种模型中 我们可以看到 第f 个节 点的动态性毫 取决于节点本身的动态性低 以及与之相连的所有节点的状态变量 图 2 1 是模型的图示 可以看到 其网络结构较复杂 图2 1 节点状态线性耦合模型 2 2 2节点状态线性耦合模型的内部同步 对于网络式 2 1 如果当f 斗0 0 时有 而 f 专x 2 t 哼 x n t js f 2 2 就称动态网络式 2 1 达到完全 渐进 同步 同步状态必为单个孤立节点的解 即满足 1 2 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章复杂动态网络的建模及其同步控制 如 八s f 这里s o 可以是孤立节点的平衡点 周期轨道 甚至是混沌轨道 假设误差向量巳 x f 一s t 将网络状态方程 2 2 在同步状态s t 线性化 可得 色 d f s t e f c u d e j l 2 3 这里 d f s t 是 关于s f 的j a c o b i 雅可比 矩阵 当 2 3 渐进稳定于零点 网络 2 1 将达到同步 为了得到网络 2 1 同步的条件 我们引入下面的引理 来表征拓扑矩阵c 白 的 特性 弓f 理2 1 1 2 1 4 7 1 f 删 对于拓扑矩阵c 它的 个特征根均为实数 且可以记为 0 丑 如 毛 厶 其中 江1 2 表示矩阵c c 肌 的实数特征根 口 基于l 2 1 我们可以得到如下定理 定理2 1 t 2 1 4 7 1 脚j 对于网络 2 1 如果下列 一1 个刀维线性时变系统 谚七 s f a 七a w 七 k 2 3 n 是指数稳定的 那么网络方程 2 1 达到指数同步 口 证明 误差方程 2 3 可以写出如下形式 甸 d f s t e f x e lp 2 e n c nq 2 c j 7 我们可以得到 r 乞 知 巧 j f 口lp 2 知 a e i e 2 知 q lc 1 2 c 2 1c 2 2 q c 2 n c n c n 2 c n n 2 4 2 5 2 6 2 7 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章复杂动态网络的建模及其同步控制 令7 7 e ie 2 知 我们可以得到 毋 j 可 j 7 a r i c r 2 8 区t h oc 勺 是一个实对称矩阵 因此存在一个酉矩阵y 帆 使下式 成立 c 7 沙 沁 a a i a g 友 厶 2 9 其中 a l 兄2 允 是c c 的特征值 根据l 2 1 0 a l 兄2 名3 钆 由 2 8 和 2 9 我们可以得到 j i 少 d f s t r ly a r lc r w 占 刁 a t 人 2 z o 令 n 7 7 w lw 2 w 2 1 0 式可以写成如下形式 痧 d f s q w a w a 2 1 1 由 2 1 1 式我们可以得到 以 d f s t l k a w k k 1 2 n 2 1 2 根据l 2 1 矩阵c 有一个特征值五 0 在 2 1 2 中对应于下式 谚l z 矿 s f 嵋 2 13 这对应于孤立节点系统文 m 在同步状态s f 的线性化 因此 只要如下 一1 个刀维线 性时变系统指数稳定 谚t p 厂 j f 名七a w 量 k 2 n 2 1 4 则网络 2 1 可以达到指数同步 口 根据砣 1 我们可以得到如下定理 作为网络 2 1 达到同步的条件 定理2 2 t 2 2 1 2 1 假设存在一个珂 刀的正定对角阵ea k 常数y 0 使得对于所有的d 孑有 j 矿 s c 翻r e 研 矽 j f 五4 一z l 2 1 5 其中 尺 为单位阵 如果 五2 孑 2 1 6 则同步流 2 2 是稳定的 口 1 4 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章复杂动态网络的建模及其同步控制 让明 由不等式 2 1 6 及l 2 l 我们可以推出矩阵c c 所有的特征根均满足 五 d k 2 3 n 2 1 7 我们取l y a p u n o v 函数为v t w e w 七 k 2 3 其导数如下 矿i 访 e wi w e 谚i d f s t w i i 旯i a w t re w t w r e d f s t w i 旯 a w i w d 厂 s z i 彳 re e d 厂 s f 名t a w i 根据 2 1 5 式及 2 1 7 式 我们可得 吃 r w r i n w t 2 一1 8 因此 2 1 4 指数稳定 由t 2 1 可推出 网络 2 1 可以达到指数同步 口 仿真中 我们建立4 个节点的网络 每个节点用l o r e n z 系统表征 5 l 网络拓扑取 勺 l o 网络耦合矩阵取彳 l 3 图2 2 是第1 个节点的第1 个状态变量五 和第2 个节点的第1 个状态变量屯 的同步图 图2 2 状态耦合网络内部同步图 1 5 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章复杂动态网络的建模及其同步控制 2 2 3节点状态线性耦合模型的外部同步 先假设构建网络拓扑与原网络相刚5 4 针对网络 2 1 式 我们构建另外一个网络 2 1 9 并加入控制环节 使 2 1 9 中的节点与原网络的相应节点达到状态同步 毫 厂 毫 兰勺鸽 j i 一噶暑 2 1 9 匆 k l l 舅 1 1 2 其中 霉 毫一薯是节点状态误差 为控制器 用 2 1 9 式减去 2 1 式得误差系统 毫 厂 毫 一厂 薯 勺鸽 1 f n 2 2 0 假设2 1 组2 1 在复杂动态网络模型 2 1 式中 假设存在一个正数口 使厂满足以下不等式 i i s y 一厂 z 0 口0 y z 0 2 2 1 其中 y z 表示任意时变行维向量 i i i 表示范数 口 定理2 3 t 碣 假设a 2 1 成立 则存在适合的控制环节 使网络 2 1 9 与 2 1 达到同步 口 证明 构造l y a p u n o v 函数为矿 i 1 h 彳置 i 1 n 丢 码一d d z 矿为一个足够大的正数 构造l y a p u n o v 函数为矿2 i i i 彳置 i 善亡 码一 2 矿为一个足够大的正数 f l j nn 1 矿 彰毫 d 匆 忙l i 1 f 殳tq 文 1 6 2 2 2 2 薯喀 商 一 2 誓 一 珥 l 斟 詹 勺 彳 闩 斟 薯 口 鲥 v l f x彳 驴 c 影 岸 瑚 2 x i l d一口 i m 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章复杂动态网络的建模及兵同步控制 其中 j 墨 x 2 氟 r q 三妥竺 p 口一d o c 固彳 1 删表示州维的单位 阵 可以看出 存在足够大的正数d 使q 负定 即使v o 因此 m 置 o 珥 d i l 2 是m 少 o 的最大集 根据l a s a l l e 不变集定理 5 0 1 可以 推出对于任意初值五 0 置 o 在lsf n 时 有l i m t 一暑 o 口 下面考虑构建网络的拓扑与原网络拓扑不相同的情况 5 5 构建网络如下 使所构建网 络与原网络对应节点的状态达到同步 毫 毫 叱彳i j 1 1 甜 毛彳j j d 置 i l b u 一j 0 叠j 匆 k 俐1 2 2 2 3 其中 i 暑一再是对应节点之间的状态误差 为控制环节 白 呜 用 2 2 3 式减去 2 1 式得误差系统 毫 厂 毫 一厂 吒彳 一c 彳弓 l i j o 否则 5 0 o 邻接矩阵c 的对角线上的元素如下定义 c h 一 c 江l 2 n 2 2 6 j i j 将 3 2 式代入 3 1 式 我们可以得到如下方程 量 f x c u l y i l 2 n 2 2 7 暑i 从 3 1 式到 3 3 式 我们可以发现 在这种网络模型中 两个节点之间的耦合 只需要通过一个标量输出信号来完成 我们定义 第f 个节点的输出变量如下 咒 i c x 扛1 2 n 2 2 8 其中 日 魄吃 是节点输出的耦合向量 因此 我们可以看出 第f 个节点 的输出变量咒 是第f 个节点的状态变量的线性组合 标量 在现实工程中是易于测量的 图2 4 是节点输出线性耦合模型的示意图 可以看出 相对于节点状态线性耦合模型 图2 1 节点输出线性耦合模型结构相对简单 也更符合实际工程中的情况以及可测量 标准 图2 4 节点输出线性耦合模型 将 3 4 式代入 3 3 式 我们可以得到如下形式 1 9 南京邮电大擎硕士研究生学位论文第二章复杂动态网络的建模及其同步控制 毫 厂 鼍 c 扩l h x j i l 2 n j l 2 2 9 可以看出 若令a l t t 则 2 2 9 就相当于一般的节点状态线性耦合模型的表达式 2 1 2 3 2 节点输出线性耦合模型的内部同步 根据网络 2 2 7 式定义 我们可知 该模型满足l 2 1 根据 2 5 式 我们可知 令1 r 2 1 中的彳 讲 就可以得到如下的定理 5 2 1 定理 t 撕 对于网络 3 3 如果下列 一1 个拧维线性时变系统 谚i p 厂 j f 力七l h w 七 k 2 3 n 2 3 0 是指数稳定的 那么网络方程 3 3 达到指数同步 口 假设2 2 组2 2 在网络 3 3 中 满足 巧o f b g s f 2 3 1 i i g s t l l p 2 3 2 其中 曰为常数矩阵 p 为常数 口 根据a 2 2 2 3 0 式可以写成如下形式 以 b g j o 以l h l w k k 2 3 n 2 3 3 定理2 s t 2 5 假设a 2 2 成立 f i b 印可观测 如果观测器矩阵 根据下式取得 5 2 1 b r p p b 五日r p p l h p 2 尸p i 2 8 p 0 k 2 3 n 2 3 4 其中 p 为正定对称阵 为单位阵 万为正常数 则 2 3 0 将指数稳定至零点 即网 络 2 2 7 式将达到指数同步 口 里呈墼皇奎茎堡主里垄竺兰篁堡苎蔓三兰墨銎垫查塑竺堕堡堡垒墨堕垄丝型 证明 取l y a p u n o v 函数为v w p w t 其导数推导如下 矿 w r p w i w p v i g s b 五l h w i rp w rp g s t w i b 以l h w i 嵋 曰 五幽r p p b 五j j t w k 2 g s t w k r 机 sw e b a l m r 尸 尸 b 五三日 2 p l l w i i i l e w i l 因为2 p l l w l i 1 i p 忙p 2i p w 1 1 2 l l w 1 1 2 我们可以得到 矿 b 五 田r p p 口 五 忉 u 8 a 唯1 1 2 l 1 1 2 4 1 r p p b k h r l t p 2 量p l h d 2 p p i w k 一2 8 k t p w k 2 8 v 2 3 5 基于l y a p u n o v 稳定性原理 我们可以推出 2 3 0 将指数稳定至零点 即网络 2 2 7 式 将达到指数同步 口 t 2 5 的条件可以写成如下形式 p 肌2 够 p p r 以x h a k f 矿 i o 2 3 6 ip p i l 7 其中 x p l 如果 b h 是可观测的 且三选取为l p 1 x 则可以得到符合同步要求 的厶日 使网络 2 2 7 达到指数同步 而条件 2 3 6 可以通过m a t l a b 中的线性矩阵 不等式 l m i 获得 仿真中 建立4 个点的网络 每个网络节点的动态性函数由c h u a 氏电路表示 分别取 为三 0 3 1 4 62 5 5 3 91 4 6 5 8 9 r 和肚 45q 图2 5 是网络中4 个节点的第一个状态变量的 同步情况 2 1 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章复杂动态网络的建模及其同步控制 2 3 3 n n 寸 图2 5 输出耦合网络的内部同步 节点输出线性耦合模型的外部同步 根据网络 2 2 7 式 我们构建响应网络如下 毛 厂 毫 c z 4 1 1 一柚 夕 一y 多t h 受l 2 3 7 其中 七是常数 b r 1 是刀维列向量 用 2 3 7 式减去