辽宁省瓦房店市高级中学高三数学上学期期中试题 理.doc

1 20152015 20162016 学年度上学期期中考试学年度上学期期中考试 高三数学 理科 试题高三数学 理科 试题 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的分 在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的 1 设 为虚数单位 则复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于 i 5i 2i z 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 a b c d 2 函数的定义域为 1 log 1 2 2 x xf a 1 0 2 b 2 c 1 0 2 2 d 1 0 2 2 3 下列结论错误的是 命题 若 则 的逆否命题是 若 则 a043 2 xx4 x4 x043 2 xx 命题 若 则方程有实根 的逆命题为真命题 b0 m0 2 mxx 是 的充分条件 c4 x043 2 xx 命题 若 则且 的否命题是 若 则或 d0 22 nm0 m0 n0 22 nm0 m0 n 4 若实数 满足 则目标函数的最大值为 xy 4 0 24 0 2 0 xy xy xy 23 zxy a11 b24 c36 d49 5 在等差数列中 若 则的值为 n a120 1210864 aaaaa 75 1 3 aa a8 b12 c 16 d72 6 已知 是夹角为的两个单位向量 若 则与的夹角为 1 e 2 e60 21 eea 21 24eeb ab a30 b60 c120 d150 7 对于直线 和平面 的一个充分条件是 mn amn m n bmn m n c mnn m d mnm n 8 若函数满足 且的最 2 sin 3 sin xxxf 0 x r 2 f0 f 小值为 则函数的单调递增区间为 2 xf a 5 22 66 kkk z b 5 22 1212 kkk z 2 c 36 kkk z d 5 1212 kkk z 9 设是内一点 且 定义 其中分别mabc 2 3ab ac 30bac f mmnp mnp 是的面积 若 则的最小值是mbcmcamab 1 2 f pxy 14 xy a8 b9 c 16 d18 10 已知函数的大致图象如图所示 则函数的解析式为 f x yf x a 2 ln x f xx x b 2 ln x f xx x c 2 ln x f xx x d ln x f xx x 11 已知四棱锥的五个顶点都在球的球面上 底面是矩形 平面垂直于平面 pabcd oabcdpadabcd 在中 则球的外接球的表面积等于pad 2papd 120apd o 2ab o a16 b20 c24 d36 12 已知函数的定义域为 当时 且对任意的实数 等式 xfy r0 x1 xfxy r 成立 若数列满足 且 则下列结论成 yxfyfxf n a 1 1 1 1 n n a f af n n 0 1 fa 立的是 a 20132016 f af a b 20142015 f af a c 20162015 f af a d 20142016 f af a 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 题 每小题题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 13 若 成等差数列 则的值等于 lg2lg 21 x lg 23 x x 14 的所有正约数之和可按如下方法得到 因为 所以的所有正约数之和为36 22 3623 36 参照上述方法 可求得 22222222 1 33 22 32 3 22323 122 1 33 91 的所有正约数之和为 200 15 某几何体的三视图如右图 则此几何体的体积为 16 已知 其中为自然对数的底数 方程 exf xx e 有四个实数根 则实数 的取 2 10fxtf x t rt 2 2 2 2 2 2 1 22 2222 y xo 第 10 题 3 值范围为 三 解答题三 解答题 本大题共 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分分 解答应写出文字说明 解答应写出文字说明 证证明过程或演算步骤明过程或演算步骤 17 本小题满分 本小题满分 1010 分 分 已知向量 函数 sin1 ax 1 3cos 2 bx 2 abaxf 求函数的最小正周期 xft 已知 分别为内角 的对边 其中为锐角 且 abcabc abca32 a4 c1 af 求 和的面积 ababc s 18 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 已知如图几何体 正方形abcd和矩形abef所在平面互相垂直 m为af的中点 cebn 垂足为222afabad n 求证 平面 cfbdm 求二面角nbdm 的大小 19 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 已知首项都是 的数列 满足 1 n a n b 0 n bn n 1 1 3 nn n nn ab b ab 令 求数列的通项公式 n n n a c b n c 若数列为各项均为正数的等比数列 且 求数列的前项和 n b 2 326 4bbb n an n s 20 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 如图 我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛 小岛与小岛 ba小岛 相距都为 与小岛相距为 小岛对小岛与c5n miled3 5n mileab 的视d 角为钝角 且 3 sin 5 a 求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积 ad 记小岛对小岛与的视角为 小岛对小岛与的视dbc bcd角为 求的值 sin 2 21 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 n m f e d c b a d c b a 4 数列 的每一项都是正数 且 成等差数列 成等比 n a n b8 1 a16 1 b n a n b 1 n a n b 1 n a 1 n b 数列 321 n 求 的值 2 a 2 b 求数列 的通项公式 n a n b 证明 对一切正整数 有 n 7 2 1 1 1 1 1 1 21 n aaa 22 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 已知函数 其中是实数 2 2lnf xxaxx a 求的单调区间 f x 若设 且有两个极值点 求的取值范围 1 2 e 5 e a f x 1 x 2 x 12 xx 12 f xf x 其中为自然对数的底数 e n n 5 2015201620152016 学年度上学期期中考试学年度上学期期中考试 高三理科数学参考答案 一 选择题 1 6 cdbacc 7 12 cadabd 二 填空题 13 14 15 16 5log2 4652 2 e e 三 解答题 17 解 2 22f xabaaa b 2 分 2 1 sin13sin cos2 2 xxx 4 分 1 cos23131 sin2sin2cos2sin 2 222226 x xxxx 因为 所以 5 分2 2 2 t sin 2 1 6 f aa 因为 所以 7 分 0 2 a 5 2 666 a 2 62 a 3 a 则 所以 即 则 9 分 222 2cosabcbca 2 1 12162 4 2 bb 2 440bb 2b 从而 10 分 11 sin2 4 sin602 3 22 sbca 18 证明 连结交于 连结 acbdoom 因为为中点 为中点 所以 mafoac fcmo 又因为平面 平面 mo mbdfc mbd 所以平面 4 分 fcmbd 因为正方形和矩形所在平面互相垂直 所以平面 abcdabefaf abcd 以为原点 以 为 轴建立空间直角坐标系 aadabafxyz 110 c 0 01 m 010 b 10 0 d 42 1 55 n 设平面的法向量为 bdm pxyz 6 分 0 0 p bd p bm 111 p 设平面的法向量为 bdn qxyz 8 分 0 0 q bd q bn 112 q 设与的夹角为 10 分p q cos0 p q pq 所以二面角的大小为 12 分mbdn 90 19 解 由题意可得 111 3 nnnnnn ababbb 两边同除以 得 1nn bb 1 1 3 nn nn aa bb 又 3 分 n n n a c b 1 3 nn cc z y x n m f e d c b a 6 又 数列是首项为 公差为的等差数列 1 1 1 1 a c b n c13 5 分1 3 1 32 n cnn n n 设数列的公比为 n b 0 q q 2 326 4bbb q 2426 11 4b qbq 整理得 又 7 分 2 1 4 q 1 2 q 1 1b 1 1 2 n n b n n 8 分 1 1 32 2 n nnn acbn 1231nnn saaaaa 0121 1111 1 4 7 32 2222 n n 9 分 123 11111 1 4 7 32 22222 n n sn 得 121 11111 1 3 3 3 32 22222 nn n sn 21 1111 1 3 32 2222 nn n 10 分 1 11 1 1 22 1 3 32 1 2 1 2 n n n 1 11 1 3 1 32 22 nn n 11 4 632 4 34 22 nn nn 12 分 1 8 68 2 n n sn 20 解 且角为钝角 3 sin 5 a a 2 34 cos1 55 a 在中 由余弦定理得 abd 222 2cosadabad ababd 解得或 舍 222 4 525 3 5 5 adad 2 8200adad 2ad 10ad 小岛与小岛之间的距离为 2 分 ad2n mile 四点共圆 角与角互补 abcd ac 3 sin 5 c 4 coscos 180 cos 5 caa 在中 由余弦定理得 bdc 222 2coscdcbcd cbcbd 222 4 525 3 5 5 cdcd 2 8200cdcd 解得 舍 或 4 分2cd 10cd 11 sinsin18 22 abcbcdabcd sssab adacb cdc 四边形 四个小岛所形成的四边形的面积为平方 6 分 18n mile 在中 由正弦定理 即 解得 bcd sinsinc bcbd 53 5 3 sin 5 5 sin 5 7 为锐角 8分 222 dcdbbc 2 5 cos 5 又 3 sin sin 180 sin 5 cc 10 分 4 cos cos 180 cos 5 cc 12 分 2 5 sin 2 sin sincos cossin 25 21 解 由题意得 可得 211 2aab 242 112 aba 由 可得 2 分 21 2 2 bba 36 1 2 2 2 b a b 因为 成等差数列 所以 n a n b 1 n a 1 2 nnn aab 因为 成等比数列 所以 n b 1 n a 1 n b 1 2 1 nnb ban 因为 的每一项都是正数 所以 n a n b 11 nnn bba 于是 当时 2n 1nnn abb 将 代入 式 可得 11 2 nnn bbb 因此数列是首项为 公差为的等差数列 n b42 所以 于是 6 分22 1 1 ndnbbn 2 1 4 nbn 由 式 可得当时 2n 1 4 nnan 当时 满足上式 所以对一切正整数 都有 8 分1 n8 1 an 1 4 nnan 由 可知 所证明的不等式为 7 2 144 1 47 1 23 1 7 1 2 nn 方法 1 首先证明 1 11 7 2 144 1 2 nnnn 即证 即证 即证 nnnn77 2 144 1 22 02 2 nn0 2 1 nn 所以当时 2n 7 2 2 1 7 2 7 1 1 11 3 1 2 1 7 2 7 1 144 1 47 1 23 1 7 1 2 nnnn 当时 1n 7 2 7 1 综上所述 对一切正整数 有 12 分n 7 2 1 1 1 1 1 1 21 n aaa 方法 2 32 1 12 1 4 1 32 12 1 344 1 144 1 22 nnnnnnnn 当时 3n 32 1 12 1 12 1 32 1 11 1 7 1 9 1 5 1 4 1 23 1 7 1 144 1 47 1 23 1 7 1 2 nnnnnn 7 1 5 1 4 1 23 1 7 1 2 7 当时 当时 1n 7 2 7 1 2n 7 2 7 1 7 1 23 1 7 1 8 综上所述 对一切正整数 有 12 分n 7 2 1 1 1 1 1 1 21 n aaa 方法 3 12 1 12 1 2 1 12 12 1 14 1 144 1 22 nnnnnnn 当时 4n 4 12 1 12 1 12 1 32 1 11 1 9 1 9 1 7 1 2 1 47 1 23 1 7 1 144 1 23 1 7 1 2 nnnnnn 7 2 14 1 47 1 23 1 7 1 当时 当时 当时 1n 7 2 7 1 2n 7 2 7 1 7 1 23 1 7 1 3n 7 2 14 1 14 1 7 1 47 1 23 1 7 1 综上所述 对一切正整数 有 12 分n 7 2 1 1 1 1 1 1 21 n aaa 22 解 的定义域为 f x 0 2 222 2 xax fxxa xx 令 对称轴 2 22g xxax 2 16a 4 a x 0 2g 1 当 即时 0 044a 0fx 于是 函数的单调递增区间为 无单调递减区间 f x 0 2 当 即或时 0 04a 4a 当时 恒成立 于是 的单调递增区间为 无减区间 4a 0fx f x 0 当时 令 得 4a 0fx 2 1 16 4 aa x 2 2 16 4 aa x 当时 当时 12 0 xxx 0fx 12 xxx 0fx 于是 的单调递增区间为和 单调递减区间为 f x 1 0 x 2 x 12 xx 综上所述 当时 的单调递增区间为 无单调递减区间 4a f x 0 当时 的单调递增区间为和 单调递减区间为 4 分4a f x 1 0 x 2 x 12 xx 由 知 若有两个极值点 则 f x4a 且 6 分 12 0 2 a xx 12 1x x 12 01xx 又 2 11 220 xax 1 1 1 2 ax x 1 2 e 5 e a 又 解得 8 分 1 1 111 e2 2e x x 1 01x 1 11 2e x 于是 22 12121122 2 ln ln2f xf xxxaxxaxx 22 121212 2 lnl n xxxxxxa 1 1212 2 2 ln 2 x xxx a ax x 111 11 4l 11 n xxx xx 10 分 2 11 2 1 1 4lnxx x 令 则恒成立 2 2 l 1 4 nh xxx x 11 2e x 22 3 2 1 0 x h x x 9 在上单调递减 h x 11 2e 11 2e hh xh 即 12 115 e2 4ln2 e4 f xf x 故的取值范围为 12 分 12 f xf x 115 e24ln2 e4 10 2015201620152016 学年度上学期期中考试学年度上学期期中考试 高三理科数学参考答案 一 选择题 1 6 cdbacc 7 12 cadabd 二 填空题 13 14 15 16 5log2 4652 2 e e 三 解答题 17 解 2 22f xabaaa b 2 分 2 1 sin13sin cos2 2 xxx 4 分 1 cos23131 sin2sin2cos2sin 2 222226 x xxxx 因为 所以 5 分2 2 2 t sin 2 1 6 f aa 因为 所以 7 分 0 2 a 5 2 666 a 2 62 a 3 a 则 所以 即 则 9 分 222 2cosabcbca 2 1 12162 4 2 bb 2 440bb 2b 从而 10 分 11 sin2 4 sin602 3 22 sbca 18 证明 连结交于 连结 acbdoom 因为为中点 为中点 所以 mafoac fcmo 又因为平面 平面 mo mbdfc mbd 所以平面 4 分 fcmbd 因为正方形和矩形所在平面互相垂直 所以平面 abcdabefaf abcd 以为原点 以 为 轴建立空间直角坐标系 aadabafxyz 110 c 0 01 m 010 b 10 0 d 42 1 55 n 设平面的法向量为 bdm pxyz 6 分 0 0 p bd p bm 111 p 设平面的法向量为 bdn qxyz 8 分 0 0 q bd q bn 112 q 设与的夹角为 10 分p q cos0 p q pq 所以二面角的大小为 12 分mbdn 90 19 解 由题意可得 111 3 nnnnnn ababbb 两边同除以 得 1nn bb 1 1 3 nn nn aa bb 又 3 分 n n n a c b 1 3 nn cc z y x n m f e d c b a 11 又 数列是首项为 公差为的等差数列 1 1 1 1 a c b n c13 5 分1 3 1 32 n cnn n n 设数列的公比为 n b 0 q q 2 326 4bbb q 2426 11 4b qbq 整理得 又 7 分 2 1 4 q 1 2 q 1 1b 1 1 2 n n b n n 8 分 1 1 32 2 n nnn acbn 1231nnn saaaaa 0121 1111 1 4 7 32 2222 n n 9 分 123 11111 1 4 7 32 22222 n n sn 得 121 11111 1 3 3 3 32 22222 nn n sn 21 1111 1 3 32 2222 nn n 10 分 1 11 1 1 22 1 3 32 1 2 1 2 n n n 1 11 1 3 1 32 22 nn n 11 4 632 4 34 22 nn nn 12 分 1 8 68 2 n n sn 20 解 且角为钝角 3 sin 5 a a 2 34 cos1 55 a 在中 由余弦定理得 abd 222 2cosadabad ababd 解得或 舍 222 4 525 3 5 5 adad 2 8200adad 2ad 10ad 小岛与小岛之间的距离为 2 分 ad2n mile 四点共圆 角与角互补 abcd ac 3 sin 5 c 4 coscos 180 cos 5 caa 在中 由余弦定理得 bdc 222 2coscdcbcd cbcbd 222 4 525 3 5 5 cdcd 2 8200cdcd 解得 舍 或 4 分2cd 10cd 11 sinsin18 22 abcbcdabcd sssab adacb cdc 四边形 四个小岛所形成的四边形的面积为平方 6 分 18n mile 在中 由正弦定理 即 解得 bcd sinsinc bcbd 53 5 3 sin 5 5 sin 5 12 为锐角 8分 222 dcdbbc 2 5 cos 5 又 3 sin sin 180 sin 5 cc 10 分 4 cos cos 180 cos 5 cc 12 分 2 5 sin 2 sin sincos cossin 25 21 解 由题意得 可得 211 2aab 242 112 aba 由 可得 2 分 21 2 2 bba 36 1 2 2 2 b a b 因为 成等差数列 所以 n a n b 1 n a 1 2 nnn aab 因为 成等比数列 所以 n b 1 n a 1 n b 1 2 1 nnb ban 因为 的每一项都是正数 所以 n a n b 11 nnn bba 于是 当时 2n 1nnn abb 将 代入 式 可得 11 2 nnn bbb 因此数列是首项为 公差为的等差数列 n b42 所以 于是 6 分22 1 1 ndnbbn 2 1 4 nbn 由 式 可得当时 2n 1 4 nnan 当时 满足上式 所以对一切正整数 都有 8 分1 n8 1 an 1 4 nnan 由 可知 所证明的不等式为 7 2 144 1 47 1 23 1 7 1 2 nn 方法 1 首先证明 1 11 7 2 144 1 2 nnnn 即证 即证 即证 nnnn77 2 144 1 22 02 2 nn0 2 1 nn 所以当时 2n 7 2 2 1 7 2 7 1 1 11 3 1 2 1 7 2 7 1 144 1 47 1 23 1 7 1 2 nnnn 当时 1n 7 2 7 1 综上所述 对一切正整数 有 12 分n 7 2 1 1 1 1 1 1 21 n aaa 方法 2 32 1 12 1 4 1 32 12 1 344 1 144 1 22 nnnnnnnn 当时 3n 32 1 12 1 12 1 32 1 11 1 7 1 9 1 5 1 4 1 23 1 7 1 144 1 47 1 23 1 7 1 2 nnnnnn 7 1 5 1 4 1 23 1 7 1 2 7 当时 当时 1n 7 2 7 1 2n 7 2 7 1 7 1 23 1 7 1 13 综上所述 对一切正整数 有 12 分n 7 2 1 1 1 1 1 1 21 n aaa 方法 3 12 1 12 1 2 1 12 12 1 14 1 144 1 22 nnnnnnn 当时 4n 4 12 1 12 1 12