圆的标准方程.doc

圆的标准方程数学 学科 高一 年级组备课时间第六周 星期四地点立三楼一办主备人孙吉祥参加人员吕增峰、孙吉祥、徐伟东、陈丹红、葛海燕主备课教师教学设计议课记录教学目标使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程重点难点及突破重点（难点）：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程；（3）运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题教学方法 问答、讲授、设问、演板、重点讲解教学流程(包括课题引入,教学进程,总结等方面)学习过程(一)复习提问前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)问题2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为：(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9(2)写出适合条件P的点M的集合P=M|P(M)|，简称写点集；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明其中步骤(1)(3)(4)必不可少下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程(二)建立圆的标准方程1建系设点由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)2写点集根据定义，圆就是集合P=M|MC|=r3列方程由两点间的距离公式得：4化简方程将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2(1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程我们把它叫做圆的标准方程这时，请大家思考下面一个问题问题5：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r0，圆的方程就给定了这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决圆的一般方程数学 学科 高一 年级组备课时间第 六 周 星期四地点立三楼一办主备人孙吉祥参加人员吕增峰、孙吉祥、徐伟东、陈丹红、葛海燕主备课教师教学设计议课记录教材分析使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程教学目标使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力。重点难点及突破1重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练)2难点：圆的一般方程的特点(解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆)教学方法 讲授、提问、归纳、演板、小结教学流程(包括课题引入,教学进程,总结等方面)学习过程(一)复习引入新课前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题复习引出课题为“圆的一般方程”(二)圆的一般方程的定义1分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法2圆的一般方程的定义当D2+E2-4F0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程(三)圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F0)(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C0；(2)没有xy项，即B=0；(3)D2+E2-4AF0它才表示圆条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出教师还要强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件(四)应用与举例同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆下面看一看它们的应用例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0此例由学生演板，教师纠错，并给出正确答案：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0例2小结：1用待定系数法求圆的方程的步骤：(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程2关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程直线与圆的位置关系数学 学科 高一 年级组备课时间第 六 周 星期四地点立三楼一办主备人 孙吉祥参加人员吕增峰、孙吉祥、徐伟东、陈丹红、葛海燕主备课教师教学设计议课记录教材分析在教学过程中，以问题为载体，在教师的引导下，通过学生分析、研究问题，制订解决问题的策略，选择解决问题的方法。教学目标直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点。2、直线、圆可以用方程来表示，点到直线的距离公式。重点难点及突破用坐标法判断直线与圆的位置关系；弦长公式的初步运用。教学方法 自主，探究教学流程(包括课题引入,教学进程,总结等方面)学习过程在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？现在如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？我们不妨先看几个例子。3、判断直线与圆的位置关系例1、如图4.2-2，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系，如果相交，求它们交点的坐标。（先由学生分组讨论解题方法，再分析解答）。 分析：根据大家的讨论可知：判断直线与圆的位置关系常有两种方法：方法一，判断直线l与圆C的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解，通过消元，得关于x或y的一元二次方程，由判别式来判断。方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系。 3x+y6=0 解法一：由直线l与圆的方程，得 x2+y22y4=0 消去y,得x23x+2=0, 因为=(-3)2412=10所以，直线l与圆相交，有两个公共点。（如何求交点？）由x23x+2=0,解得x1=2、x2=1把x1=2、x2=1分别代入式得y1=0、y2=3。所以，直线l与圆有两个交点为A（2，0），B（1,3）。如何利用方法二判断直线与圆的位置关系？（学生求解或阅读教材）反思：如何判断直线与圆的位置关系？（1）代数法：由直线与圆的方程组成方程组消元，得到关于x或y的一元二次方程。直线与圆相交0；直线与圆相切=0；直线与圆相离0。（2）几何法：先求圆心到直线的距离d及圆的半径r，直线与圆相交dr；直线与圆相切d=r；直线与圆相离dr。4、弦长问题例2：已知过点M（3，3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为，求直线l的方程。（先让学生思考讨论制订解题策略,再分析解答）。分析：现已知直线l过点M（3，3），需求直线l的斜率K即可求直线方程。为此，用弦长公式：半径2=弦心距2+半弦2及待定系数法可求。解：将圆的方程配成标准式，得x2+(y+2)2=25，所以，圆心是（0,2），半径长r=5，弦长为，故圆心到所求直线l的距离为2 =。设求直线l的方程为y+3=k(x+3)，即kxy+3k3=0。圆心到直线l的距离为：d= = 因此，=，两边平方，并整理得到2k23k2=0，解得，k=,或k=2。所求直线l的方程为：y+3= (x+3)或y+3=2(x+3)，即x+2 y+9=0，或2xy+3=0。反思：（1）解决弦长问题常用的关系式是：半径2=半弦2+弦心距2；（2）直线l：y=kx+b与圆心C相交的弦长为：=，其中x1,x2为两交点的横坐标，k为直线l的斜率。这个公式的推导作为课后探究性问题。（3）点到直线的距离公式是解决弦长问题常用公式之一。5、反馈练习（1）判断下列所给的直线与圆的位置关系3x+4y+2=0, x2+y22x=0（ ）y=x+6, x2+y22y4=0（ ）（2）自点M（1，3）向圆x2+y2=1引切线，则切线方程为_。（3）圆x2+y24x+4y+6=0截直线xy5=0所得的弦长等于（A），（B），（C）1，（D）5说明：第（1）题学生独立完成，第（2）题讨论完成，第（3）题利用弦长公式可知选（A）。可选1-2位同学讲解法。6、总结深化本节课主要研讨了什么问题？你如何判断直线与圆的位置关系？关于直线与圆相交的弦长问题，你打算用哪些知识去解决？7、布置作业：P140，A组第1，2，5题。8、几点说明整个教学过程，教师应该注意少讲点拨，给学生以充分活动的时间与空间，让学生通过讨论交流评价，悟出解题方法，教师重点放在归纳解法及坐标法的思想的落实上。圆与圆的位置关系数学 学科 高一 年级组备课时间第六周 星期四地点立三楼一办主备人孙吉祥参加人员吕增峰、孙吉祥、徐伟东、陈丹红、葛海燕主备课教师教学设计议课记录教学目标用坐标法判断两圆的位置关系。因此，一方面，把几何关系代数化；另一方面，通过方程的研究来判断两圆的位置关系，教学中应该围绕这两个方面展开。重点难点及突破用坐标法判断两圆的位置关系。教学方法 问答、讲授、设问、演板、重点讲解教学流程(包括课题引入,教学进程,总结等方面)学习过程1、问题1 初中我们学过的两圆位置关系的分类及其制定方法学生回答，然后师生一起列表归纳。交点（个）两圆位置关系圆心距d与两圆的半径R，r关系012102、问题2 上节课，我们是怎样研究直线与圆的位置关系的？生甲：用几何法，根据圆心到直线的距离d与圆的半径r大小来判断：生乙：还有代数法，根据直线的方程与圆的方程组成的方程组实数解的情况来判断：师生共同归纳：几何法直线与圆的位置关系代数法3、问题3 已知圆C1：，圆C2：试判断 图C1与图C2的关系。（课文例3）让学生互相讨论，交流解答，有下面三种情况：（1）利用平面几何结论（2）利用方程组的解（3）有部分学生还画出了图形（表扬）因为解析几何是一门数与形结合的学科，加强“数形结合”的意识。下面是问题的两种解法：解法一：把圆C1的方程化成标准形式，得圆C1的半径长r1=5, 圆心是点（1，4）。把圆C2的方程化成标准形式，得圆C2半径长，圆心是点（2，2）。圆C1与圆C2的连心线的长为.圆C1与圆C2的两半径之和两半径之差而,所以圆C1与圆C2相交,如图4-9,它们有两个不同的公共点A, B解法二: 圆C1与圆C2的方程联立,得到方程组-，得 由, 得 把上式代入,并整理,得方程根的判别式所以,方程有两个不相等的实数根.把分别代入方程,可以求出.因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点AB.由于本题只要判断圆C1与圆C2是否有公共点,并不要求出公共点的坐标,因此不必解方程,求出两个实数根.4、第二种解法,是讨论由两个圆的方程组成的方程组解的情况,然后判断两圆相应的位置关系,突出坐标法的特点.解法二中,把圆C1与圆C2的方程联立,得到方程组-， 得 教科书给出的思考“画出圆C1与C2以及方程表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？”如图4-10，方程所表示的直线是两圆公共弦所在的直线。因为由方程、组成的方程组的方程的解必是方程的解，如果方程组有两组实数解，即两圆有两个公共点，这两个公共点必在方程确定的直线上，两点确定一条直线，方程表示的直线就是两圆的公共弦所在的直线。这样一