学科方法坐标法.doc

学科方法坐标法 坐标法是解析几何最基本的方法，它的思路是，通过建立平面坐标系(直角坐标系或极坐标系等)，把几何问题转化为代数问题(或代数问题转化为几何问题)，从而利用代数知识(或解析几何知识)使问题得以解决(一)坐标法解证几何题例1 在ABC中，已知BC=a，CA=b，AB=c，S为三角形面【证明】 如图21，以边AB的中点O为坐标系原点、AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设A、B、C的坐标分别为(-m，0)、(m，0)、(p，q)(m0，q0)，则a2=|BC|2=(m-p)2q2=m2+p2q2-2mp，b2=|AC|2=(pm)2q2=p2m2q2-2mp，c2=4m2，Smq例2 已知：AB是半圆的直径，且AB=2r，直线L与BA的延长与L的距离分别为MP、NQ，且MP=MA，NQ=NA求证：AMAN=AB【分析】 由|MA|=|MP|和|NA|=|NQ|，知M、N在以A为焦点的抛物线上，因此M、N是半圆与抛物线的两个交点，从而本题可考虑用直角坐标法和极坐标法求解【证法1】 如图22，以AT的中点O为坐标原点，射线OB为x轴的正方向，建立直角坐标系 |MA|MP|，|NA|=|NQ|， M、N是以A为焦点，L为准线的抛物线上的点 p=|AT|=2a， 抛物线的方程为y2=4ax 由已知，得半圆的方程为x-(a+r)2y2=r2(y0) 把代入中，整理，得x2-2(r-a)xa2+2ar=0设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2=2r-2a |AM|+|NA|=ax1ax22a2r-2a2r， |AM|AN|=|AB|【证法2】 如图22，以A为极点，射线AB为极轴，建立极坐标系，则半圆的方程为 |MA|=|MP|，|NA|=|NQ|， M、N在以A为极点、L为准线的抛物线上又p=|AT|=2a，从、中消去cos，得2-2r+4ar0从而由韦达定理，得|MA|NA|=12=2r故 |AM|AN|AB|【解说】 由以上两例，可总结出坐标法解证几何题的思路模式图为：(二)坐标法解证代数题【证明】 由已知条件，得 在平面直角坐标系xOy中，直线xy直线的距离不大于半径，即 (z-a)2a2-2z2，又a0，【解说】 本例利用方程的几何意义，把已知条件转化为直线与圆的位置，从而由点到直线的距离公式，使问题获解【证明】 如图23，建立直角坐标系，设圆O的半径为1 、是方程acosbsin=c在(0，)内的两个根， acosbsin=c，acosbsin=c，从而点A(cos，sin)，B(cos，sin)是直线ax+by=c与O的两个交点【解说】 由以上两例，可总结出坐标法解证代数题的思路模式为： 习题21 用坐标法解证下列各题：1在锐角ABC中，ADBC于D，且|AD|=|BC|，M是BC的中点，H是垂心，求证：|MH|HD|=|BM|2在锐角ABC中，ADBC于D，H为AD上一点，BH、CH分别交AC、AB于E、F，求证：EDA=ADF3在ABC中，AB=AC，ADBC于D，DEAC于E，M是DE的中点，求证：AMBE6关于的方程 acosbsin=0(a2b20)有两个相异实根、，m、nR，求证： 习题21答案或提示 1以D为坐标原点，DC为x轴，DA为y轴，设点B(b，0)、2以D为原点，DC为x轴，DA为y轴，设点A、B、C、H坐标分别为(0，a)、(b，0)、(c，0)、(0，h)，则直线AC的方程为3以D为原点，DC为x轴、DA为y轴，设A、B、C的坐标如图24，当直线y=x-u过点A(1，0)时，u=1当直线与半圆相切5在直角坐标系中，设M(1，2)、P(sin，cos)，则P为O：x2+y2=1上任一点，f()为MP的斜率，由图(图由读者自画)易知，过M作O的两条切线中，斜率存在的那一条直线的斜率，即为所求的最小值设这切线的方程为y-2=k(x-1)，则由点到直线的距离公式，可