州省黔西南民族师范高等专科学校数学系.pdf

贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系 高等数学 教学大纲 高等数学 教学大纲 第 1 页 共 14 页 1 黔西南民族师范高等专科学校物理系三年制专科班黔西南民族师范高等专科学校物理系三年制专科班 高等数学 教学大纲 高等数学 教学大纲 课程类型 课程类型 必修课 教学对象 教学对象 专科三年制一年级 先修课程 先修课程 高中数学 教学安排及学时数 教学安排及学时数 总学时 180 学时 考试方法与成绩评定 考试方法与成绩评定 闭卷考试 平时成绩 30 期末考试成绩 70 使用教材 使用教材 高等教育出版社 同济大学 高等数学 第五版 参考教材参考教材 1 高等教育出版社 四川大学数学系高等数学教研室 高等数学 第三版 2 中国人民大学出版社 吴赣昌主编 高等数学 理工类 第二版 3 中山大学出版社 马志敏主编 高等数学 4 高等教育出版社 同济大学应用数学系编 高等数学附册 学习辅导与习题选解 第一学期上课内容第一学期上课内容 第一章至第七章第一章至第七章 第一章第一章 函数与极限函数与极限 一 教学目的与教学要求一 教学目的与教学要求 1 理解函数的概念 2 了解函数的单调性 周期性 奇偶性和有界性 3 了解反函数与复合函数的概念 4 熟悉基本初等函数的性质及其图形 5 能列出简单实际问题中的函数关系 6 了解极限的 N 定义 对于给出 求 N 或 不作过高要求 并能学习过程中逐步加深对 极限思想的理解 掌握极限的四则运算法则 7 了解两个极限存在准则 夹逼准则和单调有界准则 会用两个重要极限求极限 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系 高等数学 教学大纲 高等数学 教学大纲 第 2 页 共 14 页 2 8 了解无穷小 无穷大的概念 掌握无穷小阶的比较 9 理解函数在一点连续的概念 会判断间断点的类型 10 了解初等函数的连续性 知道闭区间上连续函数的性质 二 教学时数二 教学时数 20 节 三 教学内容三 教学内容 映射与函数 数列的极限 函数的极限 无穷小与无穷大 极限运算法则 极限存在准则及两 个重要极限 无穷小的比较 函数的连续性与间断点 连续函数的运算与初等函数的连续性 闭区 间上连续函数的性质 四 教学重点与教学难点四 教学重点与教学难点 1 教学重点 函数的概念 函数的几何特性 极限的基本概念 极限的运算 无穷大量与无穷 小量的概念与阶的比较 函数连续性概念及闭区间上连续函数的性质 2 教学难点 极限的定义 极限的计算 闭区间上连续函数性质的应用 五 教学方式与教学方法五 教学方式与教学方法 本章是高等数学中的重要且为基础的一章 因此 本章内容学习的好坏 将会影响到后续各章 对本章的教学 建议授课教师应采取现代化的教学手段 多媒体课件 对重要的概念采取一系列形 象 逼真的动画演示 使学生对本章的基本概念理解透彻 以达到熟练应用的目的 六 思考题六 思考题 1 如何证明函数在已知区间上有界或无界 2 函数的左 右极限与函数的极限之间有什么关系 这种关系有何用处 3 怎样证明函数在一点的极限不存在 4 怎样理解无穷大量与无穷小量的概念 5 无穷大量与无界变量有什么不同 两者有何联系 6 无穷多个无穷小量之和还是无穷小量吗 7 为什么要定义函数在一点的左连续与右连续 函数在一点连续与函数在该点左 右连续有什 么关系 8 函数连续在高等数学中的重要性体现在那些方面 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系 高等数学 教学大纲 高等数学 教学大纲 第 3 页 共 14 页 3 第二章第二章 导数与微分导数与微分 一 教学目的与教学要求一 教学目的与教学要求 1 使学生掌握导数的概念 理解导数的几何意义与物理意义 会用导数描述一些物理量 2 会求平面曲线的切线与法线方程 3 理解函数微分的概念 理解导数与微分的关系 理解函数的可导性与连续性的关系 4 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则 掌握基本初等函数的导数公式 了解微分 的四则运算法则和一阶微分的形式不变性 会求函数的微分 了解微分在近似计算中的应用 5 会求隐函数和由参数方程所确定函数的一阶 二阶导数 会求反函数的导数 6 了解高阶导数的概念 会求分段函数的一阶 二阶导数 会求简单函数的 n 阶导数 二 教学时数二 教学时数 10 节 三 教学内容三 教学内容 导数的概念 函数的求导法则 高阶导数 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变 化率 函数的微分 四 教学重点和教学难点四 教学重点和教学难点 1 教学重点 导数的概念 导数的几何意义 函数的可导性与连续性的关系 左右导数的概念 函数的求导法则 高阶导数 隐函数及参数方程所确定的函数的导数 微分的概念及计算 2 教学难点 导数 微分的的概念 隐函数 复合函数 幂指函数的导数的计算 五 教学方式和教学方法五 教学方式和教学方法 本章的重点是导数的计算 因此本章的授课方法建议教师应举大量的例题和让学生做大量的练 习的方法使得学生熟练掌握本章的基本内容 六 思考题六 思考题 1 如何求出函数在一点的导数 2 如何求分段函数在分界点的导数 3 如何求幂指函数的导数 4 初等函数在定义域的各点处都可导吗 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系 高等数学 教学大纲 高等数学 教学大纲 第 4 页 共 14 页 4 5 函数在一点可导和曲线在该点的切线存在与否有无必然的联系 6 函数在一点可导与函数在该点可微有何异同 7 什么是微分的形式不变性 为什么称形式不变性 第三章第三章 微分中值定理和导数的应用微分中值定理和导数的应用 一 教学目的和教学要求一 教学目的和教学要求 1 理解罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒定理的条件和结论 并会运用这些 定理 2 理解函数极值的概念 掌握导数判断函数的单调性和求函数极值的方法 掌握函数最大值和 最小值的求法及其简单应用 3 会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点 会求函数图形的水平 垂直和斜近线 会描绘函数 的图形 4 掌握洛必达法则求未定式极限的方法 5 了解曲率和曲率半径的概念 会计算曲率和曲率半径 二 教学时数二 教学时数 18 节 其中有两节课测验和两节课讲评 三 教学内容三 教学内容 微分中值定理 洛必达法则 泰勒公式 函数的单调性与曲线的凹凸性 函数的极值与最大值 最小值 函数图形的描绘 曲率 四 教学重点与教学难点四 教学重点与教学难点 1 教学重点 本章的教学重点是使学生掌握利用导数解决实际问题的基本原理以及熟练利用导 数解决如求极限 判断函数的单调性 求函数极值 最值 讨论曲线的凹向与渐近线 函数作图的 基本方法 2 教学难点 利用导数解决实际问题以及函数作图 五 教学方式与教学方法五 教学方式与教学方法 本章的主要内容是导数的应用 因此建议教学过程中教师应给出适量的练习题供学生练习 六 思考题六 思考题 1 应用罗必达法则求函数极限应注意哪些问题 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系 高等数学 教学大纲 高等数学 教学大纲 第 5 页 共 14 页 5 2 函数的极值与最值有什么区别和联系 3 若函数在开区间内存在极大值 也存在极小值 问极大值是否一定大于极小值 4 怎样利用导数求函数在一个区间内的极值点 5 怎样求函数在一个闭区间上的最大值和最小值 6 极值点与拐点的表示法有何不同 7 怎样利用导数判断曲线的凹凸区间和拐点 8 单调函数的导函数是否必为单调函数 第四章第四章 不定积分不定积分 一 教学目的与教学要求一 教学目的与教学要求 1 了解不定积分的概念与性质 2 熟悉不定积分的基本公式 3 熟练掌握不定积分的换元和分部积分法 4 掌握较简单有理函数的积分 二 教学时数二 教学时数 12 节 三 教学内容三 教学内容 不定积分的概念与性质 换元积分法 分部积分法 有理函数的积分 四 教学重点与教学难点四 教学重点与教学难点 1 教学重点 使学生掌握基本积分公式和基本积分方法 2 教学难点 换元法的凑微分的技巧和分部积分法的函数u和v的选取 五 教学方式与教学方法五 教学方式与教学方法 本章的教学建议教师应向学生讲清各种积分法的基本技巧和变换技巧 要求学生熟记基本积分 公式 六 思考题六 思考题 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系 高等数学 教学大纲 高等数学 教学大纲 第 6 页 共 14 页 6 1 同一函数的原函数与不定积分有什么区别 2 使用第一换元积分法 凑微分法 的关键是什么 3 分部积分法的u和v 如何选取 4 分部积分法的主要作用有哪些 第五章第五章 定积分定积分 一 教学目的与教学要求一 教学目的与教学要求 1 了解定积分的定义 函数 xf在 ba上可积的充分条件 2 掌握定积分的性质 理解定积分中值定理 3 掌握积分上限函数的求导方法及其应用 4 熟练掌握牛顿 菜布尼茨公式 定积分的换元积分法和分部积分法 5 了解定积分的近似计算法 6 了解广义积分的概念并会计算广义积分 7 了解广义积分的审敛法 二 教学时数二 教学时数 10 节 三 教学内容三 教学内容 定积分的概念与性质 微积分基本公式 定积分的换元法和分部积分法 反常积分 四 教学重点与教学难点四 教学重点与教学难点 1 教学重点 定积分的概念与定积分的计算 反常积分的概念与计算 2 教学难点 定积分的计算和反常积分的计算 五 教学方式与教学方法五 教学方式与教学方法 定积分与不定积分通过牛顿 莱布尼茨公式联系着 对于本章建议教师把定积分的概念与不定 积分的概念比较讲授 使得学生搞清它们之间的区别和联系 以便使得学生可以类似于不定积分的 计算法来计算定积分 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系 高等数学 教学大纲 高等数学 教学大纲 第 7 页 共 14 页 7 六 思考题六 思考题 1 为什么说定积分的值只与积分区间和被积函数有关 而与积分变量无关 2 函数的定积分与不定积分有什么区别 又有什么联系 3 微积分基本公式成立的条件是什么 利用微积分基本公式计算定积分时与选择函数是否有 关 为什么 4 计算定积分常用方法有哪些 有什么规律和技巧 5 定积分的换元积分法与不定积分的换元法有何异同 6 利用换元积分法计算定积分时应注意什么 7 利用分部积分法计算定积分时应注意什么 8 如何计算分段函数的定积分 9 如何计算带绝对值的函数的定积分 第六章第六章 定积分的应用定积分的应用 一 教学目的与教学要求一 教学目的与教学要求 1 会用定积分的元素法解决一些简单的几何应用题 包括掌握平面图形 的面积 平行截面已知的立体的体积 旋转体的体积及平面曲线弧长的求法 2 了解定积分在物理上的应用 并会用元素法解决变力作功等物理问题 二 教学时数二 教学时数 6 节 三 教学内容三 教学内容 定积分的元素法 定积分在几何上的应用 面积 体积 弧长 定积分在物理上的应用 质量 平均值 功 液体的压力 引力 四 教学方式与教学方法四 教学方式与教学方法 本章是定积分的应用 教师可和学生一起分析建立利用定积分计算平面图形的面积 旋转体的 体积 平面曲线的弧长 变力做功 水压力等量的计算公式 从而使学生掌握利用定积分解决实际 问题的方法 五 教学重点和教学难点五 教学重点和教学难点 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系 高等数学 教学大纲 高等数学 教学大纲 第 8 页 共 14 页 8 1 教学重点 本章的重点是使学生掌握利用定积分计算面积 体积 弧长 功等量的公式和方 法 2 教学难点 利用定积分计算变力做功 水压力 六 思考题六 思考题 利用定积分解决实际问题的原理是什么 第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数 一 教学目的与教学要求一 教学目的与教学要求 1 熟练掌握向量的加减 数乘 数量积 向量积的几何意义和坐标运算 熟练运用向量坐标来 判定和表达向量之间的关系及计算有关问题 掌握向量之间夹角的计算和两向量的平行或垂直的条 件及单位向量 方向余弦 数 表达式 2 熟练掌握并会建立各种形式的平面方程和直线方程 掌握面与面 线与线及线与面之间的平 行 垂直 相交的条件和夹角公式 会求点到平面 点到直线的距离 会用平面素束方法解决有关 直线与平面的各类问题 3 了解柱面特别是母线平行于坐标轴的柱面方程及旋转曲面的方程 了解常用二次曲面的标准 方程及图形 二 教学时数二 教学时数 14 节 其中有两节第一学期总复习课 三 教学内容三 教学内容 向量及其线性运算 数量积 向量积 混合积 曲面及其方程 空间曲线及其方程 平面及其 方程 空间直线及其方程 四 教学方式与教学方法四 教学方式与教学方法 本章主要是空间点 直线 曲线 曲面的概念与几何图形 建议教师授课时应借助多媒体课件 通过一些应用软件展示它们的图形与性质 以使得学生建立空间问题的概念 认知空间图形的结构 五 教学重点和教学难点五 教学重点和教学难点 1 教学重点 空间直角坐标系的概念 空间点的坐标概念 空间两点间距离 向量的概念 向 量按基本单位向量的分解式 空间的直线 平面 二次曲面的方程及其图形 2 教学难点 空间二次曲面的图形 六 思考题六 思考题 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系 高等数学 教学大纲 高等数学 教学大纲 第 9 页 共 14 页 9 1 实数可以比较大小 向量可以比较大小吗 2 确定向量的坐标的方法有哪些 3 利用向量可以解决哪些问题 4 如何确定平面的法向量 5 怎样将直线的一般方程化为标准方程 5 空间曲线可以用参数方程表示 问曲线能否也可以用参数方程表示 第二学期上课内容第二学期上课内容 第八章至第十二章第八章至第十二章 第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用 一 教学目的与教学要求一 教学目的与教学要求 1 了解多元函数的概念及多元函数赖以建立的n维空间点集的概念与性质 2 了解二元函数极限与连续概念 掌握有界闭区域上二元函数连续的性质 全微分存在的充分 条件与必要条件 了解二元函数的连续 存在偏导数与可微之间的关系 3 熟练掌握偏导数定义与求法 特别要注意掌握复合函数与隐函数偏导数的求法 会求函数的 全微分 4 熟练掌握二元函数极值的理论及其求法 会用拉格朗日乘数法解决多元函数的条件极值以及 有关应用题 5 了解方向导数和梯度的概念及它们的计算方法 二 教学时数二 教学时数 16 节 三 教学内容三 教学内容 多元函数基本概念 偏导数 全微分 多元复合函数的求导法则 隐函数求导公式 方向导数 和梯度 多元函数的极值及其求法 二元函数的泰勒公式 四 教学方式与教学方法四 教学方式与教学方法 本章的内容基本上与一元函数的微分法的相类似 因此建议教师应把本章的内容与一元函数对 照讲授 五 教学重点与教学难点五 教学重点与教学难点 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系 高等数学 教学大纲 高等数学 教学大纲 第 10 页 共 14 页 10 1 教学重点 多元函数的偏导数 全微分 极值 隐函数的概念与计算 多元函数偏导数在几 何上的应用 2 教学难点 多元函数的偏导数在几何上的应用 六 思考题六 思考题 1 二元函数的极限与一元函数的极限有何异同 2 当动点 yx沿着一条直线趋于点 0 0 时 函数 yxf的极限存在且等于A 能否得出该 二元函数的二重极限也等于A 3 怎样求二元函数的极限 4 怎样求函数在一点的偏导数 5 怎样判断函数在一点可微或不可微 6 二元函数在那些点可能取得极值 驻点一定是极值点吗 7 怎样求条件极值 无条件极值和条件极值有什么区别和联系 第九章第九章 重积分重积分 一 教学目的与教学要求一 教学目的与教学要求 掌握重积分的概念与性质 掌握重积分的计算方法 化为累次积分 注意利用重积分在几何和物理领域上应用 二 教学时数二 教学时数 12 节 三 教学内容三 教学内容 二重积分的概念与性质 二重积分的计算法 三重积分的概念与性质 重积分的应用 四 教学方式与教学方法四 教学方式与教学方法 本章教学时建议教师把它和定积分对照讲授 五 教学重点与教学难点五 教学重点与教学难点 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系 高等数学 教学大纲 高等数学 教学大纲 第 11 页 共 14 页 11 1 教学重点 重积分的概念与运算 2 教学难点 化重积化为累次积分 正确确定积分限 六 思考题六 思考题 1 二重积分的几何意义是什么 2 如何计算二重积分 具体步骤是什么 3 计算二重积分时如何选择坐标系 将二重积分化为极坐标系下的二重积分时应注意什么 如 何定限 4 计算二重积分时为什么要选择二次积分的次序 如何选择积分次序 5 将二重积分化为直角坐标系下的二次积分时 如何定限 6 怎样通过二重积分交换二重积分的次序 7 什么是计算三重积分的 先二后一 法 在什么情况下使用这种方法比较简便 8 如何用 先二后一 法将三重积分化为三次积分 9 如何用对称性计算重积分 第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 一 教学目的与教学要求一 教学目的与教学要求 1 理解两类曲线积分的概念 了解两类曲线积分的性质 2 掌握两类曲线积分的计算方法 3 掌握格林公式 掌握平面曲线积分与路径无关的条件 4 了解两类曲面积分的概念及高斯公式 斯托克斯公式 掌握两类曲面积分的计算方法 5 了解散度 旋度的概念与计算方法 6 能用曲线积分和曲面积分解决一些几何 物理问题 二 教学时数二 教学时数 20 节 其中有两节课测验和两节课讲评 三 教学内容三 教学内容 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系 高等数学 教学大纲 高等数学 教学大纲 第 12 页 共 14 页 12 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 格林公式及其应用 对面积的曲面积分 对坐标的曲 面积分 高斯公式 通量与散度 斯托克斯公式 环流量与旋度 四 教学方式与教学方法四 教学方式与教学方法 本章可作为选学内容 教学时教师可根据课时的情况及教学对象的实际要求讲授 教学时建议 教师应讲清积分路径 积分曲面及其符号的确定 五 教学重点与教学难点五 教学重点与教学难点 1 教学重点 曲线积分 曲面积分的计算 掌握高斯公式 格林公式 斯托克斯公式 2 教学难点 曲线积分路径的确定 曲面积分曲面符号的确定 六 思考题六 思考题 1 如何用格林公式计算第二类曲线积分 2 在平面区域D上满足 x Q y P 的曲线积分与路径无关吗 3 两类曲线积分之间有何关系 4 计算对面积的曲面积分时 应注意哪些问题 积分域怎样向坐标面投影 第第十十一章一章 无穷级无穷级数数 一 教学目的与教学要求一 教学目的与教学要求 1 掌握常数项级数概念 性质 会直接根据收敛定义判别某些级数的敛散性 对各种不同的常 数项级数 要会选择相应的判别法 判别它们的敛散性 2 熟练掌握幂级数的概念与性质 弄清幂级数收敛域的结构 会求收敛半径 收敛区间和确定 收敛区间端点的敛散性 3 了解幂级数在收敛域内部连续 可微可积且幂级数在收敛区间上可逐项微分和逐项积分 4 掌握应用幂级数的逐项可微与逐项积分性求幂级数和函数的方法 要会熟练地写出函数 xf 在点 0 x的 Toylor 级数和麦可劳林级数 5 掌握直接法和间接法将给定的函数 xf展成幂级数 6 会应用幂级数计算较简单的函数近似值 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系 高等数学 教学大纲 高等数学 教学大纲 第 13 页 共 14 页 13 二 教学时数二 教学时数 16 节 三 教学内容三 教学内容 常数项级数的概念与性质 常数项级数的审敛法 幂级数 函数展开成幂级数 函数的幂级数 的展开式的应用 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质 傅立叶级数 一般周期的 傅立叶级数 四 教学方式与教学方法四 教学方式与教学方法 关于本章教学建议教师教学时可举出适量的例题讲授 尽可能使学生掌握基本问题的解决方法