浙江省绍兴市嵊州市高三数学二模试卷 理（含解析）.doc

浙江省绍兴市嵊州市2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合u=1，2，3，4，5，a=1，2，3，b=2，4，则a（ub）=( )a2，4b1，3c1，2，3，5d2，52为得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点( )a横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变b横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变c纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变d纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变3命题“对任意的xr，sinx1”的否定是( )a不存在xr，sinx1b存在xr，sinx1c存在xr，sinx1d对任意的xr，sinx14设等差数列an的前n项和为sn，若a10，3a8=5a13，则sn中最大的是( )as10bs11cs20ds215已知双曲线c：=1（a0，b0）的左、右焦点分别为f1，f2，过f2作平行于c的渐近线的直线交c于点p若pf1pf2，则c的离心率为( )abc2d6在四棱柱abcda1b1c1d1中，aa1平面a1b1c1d1，底面a1b1c1d1是边长为a的正方形，侧棱aa1的长为b，e为侧棱bb1上的动点（包括端点），则( )a对任意的a，b，存在点e，使得b1dec1b当且仅当a=b时，存在点e，使得b1dec1c当且仅当ab时，存在点e，使得b1dec1d当且仅当ab时，存在点e，使得b1dec17已知圆（x+1）2+y2=4的圆心为c，点p是直线l：mxy5m+4=0上的点，若该圆上存在点q使得cpq=30，则实数m的取值范围为( )a1，1b2，2cd8已知向量，|=2，定义：c=+（1），其中01若，则|c|的值不可能为( )abcd1二、填空题（本大题共7小题，其中第9、10、11、12题每格3分，13、14、15题每格4分，共36分）9已知ar，函数为奇函数则f（1）=_，a=_10如图，某几何体的正视图、侧视图、俯视图均为面积为2的等腰直角三角形，则该多面体面的个数为_，体积为_11若实数x，y满足不等式组，则x3y的最小值为_，点p（x，y）所组成的平面区域的面积为_12设等比数列an的前n项和为sn，若a4=8，sn+1=psn+1，（pr），则a1=_，p=_13已知a，br，a22ab+5b2=4，则a+b的取值范围为_14已知抛物线c：y2=4x，点m（1，1），过c的焦点且斜率为k的直线与c交于a，b两点，若，则实数k的值为_15设关于x的方程x2ax1=0和x2x2a=0的实根分别为x1，x2和x3，x4，若x1x3x2x4，则实数a的取值范围为_三、解答题（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）16在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c已知2sinasinb=2sin2a+2sin2b+cos2c1（）求角c的大小；（）若a2b=1，且abc的面积为，求边a的长17如图，在三棱锥pabc中，底面abc是边长为2的等边三角形，pca=90，e，f分别为ap，ac的中点，且pa=4，（）求证：ac平面bef；（）求二面角abpc的余弦值18已知数列an满足：a1=2，an+1+1=a1a2a3an（）求a2的值；（）（）证明：当n2时，an2=an+1an+1；（）若正整数m满足a1a2a3am+2015=a12+a22+a32+am2，求m的值19已知椭圆c：，右顶点为（2，0），离心率为，直线l1：y=kx+m（k0，m0）与椭圆c相交于不同的两点a，b，过ab的中点m作垂直于l1的直线l2，设l2与椭圆c相交于不同的两点c，d，且cd的中点为n（）求椭圆c的方程；（）设原点o到直线l1的距离为d，求的取值范围20已知ar，函数f（x）=x2a|x1|（）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（）讨论y=f（x）的图象与y=|xa|的图象的公共点个数浙江省绍兴市嵊州市2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合u=1，2，3，4，5，a=1，2，3，b=2，4，则a（ub）=( )a2，4b1，3c1，2，3，5d2，5考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：根据全集u及b，求出b的补集，找出a与b补集的交集即可解答：解：集合u=1，2，3，4，5，a=1，2，3，b=2，4，ub=1，3，5，则a（ub）=1，3，故选：b点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2为得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点( )a横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变b横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变c纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变d纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件根据函数y=asin（x+）的图象变换规律，可得结论解答：解：把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图象，故选：a点评：本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，属于基础题3命题“对任意的xr，sinx1”的否定是( )a不存在xr，sinx1b存在xr，sinx1c存在xr，sinx1d对任意的xr，sinx1考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的xr，sinx1”的否定是：存在xr，sinx1故选：c点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查4设等差数列an的前n项和为sn，若a10，3a8=5a13，则sn中最大的是( )as10bs11cs20ds21考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得：等差数列的公差d0，结合题意可得a1=19.5d，可得sn=0.5dn220dn，进而结合二次不等式的性质求出答案解答：解：由题意可得：等差数列的sn为二次函数，依题意是开口向下的抛物线故有最大值，所以等差数列的公差d0因为a13=a8+5d，所以a1=19.5d由sn=na1+d可得sn=0.5dn220dn，当n=20时sn取得最大值故选c点评：本题是一个最大值的问题，主要是利用等差数列的性质与等差数列的前n项和的公式以及结合二次函数的性质来解题5已知双曲线c：=1（a0，b0）的左、右焦点分别为f1，f2，过f2作平行于c的渐近线的直线交c于点p若pf1pf2，则c的离心率为( )abc2d考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设p（x，y），通过联立直线pf2的方程、直线pf1的方程及双曲线方程，计算即可解答：解：如图，设p（x，y），根据题意可得f1（c，0）、f2（c，0），双曲线的渐近线为：y=x，直线pf2的方程为：y=（xc），直线pf1的方程为：y=（x+c），又点p（x，y）在双曲线上，=1，联立，可得x=，联立，可得x=c=，=，a2+a2+b2=2b22a2，b2=4a2，e=，故选：d点评：本题考查求双曲线的离心率，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题6在四棱柱abcda1b1c1d1中，aa1平面a1b1c1d1，底面a1b1c1d1是边长为a的正方形，侧棱aa1的长为b，e为侧棱bb1上的动点（包括端点），则( )a对任意的a，b，存在点e，使得b1dec1b当且仅当a=b时，存在点e，使得b1dec1c当且仅当ab时，存在点e，使得b1dec1d当且仅当ab时，存在点e，使得b1dec1考点：棱柱的结构特征 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：由题意，b1c为b1d在平面bcc1b1中的射影，存在点e，使得b1dec1，则b1cec1，即可得出结论解答：解：由题意，b1c为b1d在平面bcc1b1中的射影，存在点e，使得b1dec1，则b1cec1，所以当且仅当ab时，存在点e，使得b1dec1，故选：c点评：本题考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，确定b1c为b1d在平面bcc1b1中的射影是关键7已知圆（x+1）2+y2=4的圆心为c，点p是直线l：mxy5m+4=0上的点，若该圆上存在点q使得cpq=30，则实数m的取值范围为( )a1，1b2，2cd考点：直线和圆的方程的应用 专题：综合题；直线与圆分析：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时cp=4，利用圆上存在点q使得cpq=30，可得圆心到直线的距离d=4，进而得出答案解答：解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时cp=4圆上存在点q使得cpq=30，圆心到直线的距离d=4，0m，故选：d点评：本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离的计算公式、数形结合思想方法，属于中档题8已知向量，|=2，定义：c=+（1），其中01若，则|c|的值不可能为( )abcd1考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：由题意可得，设，则b，c，d，p四点共线，在圆中画出图形，由得到两向量夹角的范围，从而求得|c|的范围得答案解答：解：向量，|=2，以为邻边的平行四边形为长方形，则，又=+（1），则=1设，由=+（1），01，可知b，c，d，p四点共线，如右图，设，由=，得在上的投影为，当b、p两点重合时，=1，当p、d重合时，=0，（0，cos，1），则|c|的值不可能为故选：a点评：本题考查平面向量的几何意义，涉及到向量的加、减法运算法则，三点共线的向量表示，向量的投影等知识，注意解题方法的积累，属于难题二、填空题（本大题共7小题，其中第9、10、11、12题每格3分，13、14、15题每格4分，共36分）9已知ar，函数为奇函数则f（1）=0，a=1考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据函数的解析式奇偶性得出f（1）=11=0，f（1）=f（1）=0，求解得出a1=0即可求解a的值解答：解；函数为奇函数f（1）=11=0，f（1）=a1，a1=0，a=1，f（x）=，满足f（x）=f（x），f（x）为奇函数故答案为：0，1点评：本题考查了函数的性质，运用解析式，奇偶性求解函数值，参变量的值，属于容易题10如图，某几何体的正视图、侧视图、俯视图均为面积为2的等腰直角三角形，则该多面体面的个数为4，体积为考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：判断该几何体的正视图、侧视图、俯视图均为面积为2的等腰直角三角形，利用面的特点，得出线段，运用公式求解几何体的体积解答：解：该几何体的正视图、侧视图、俯视图均为面积为2的等腰直角三角形，该几何体是一个三棱锥，oa=ob=oc=2，oa，ob，oc两两垂直，即该多面体面的个数为4，体积为；=故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体的三视图的运用，恢复几何体的直观图，判断棱长，直线平面的位置关系，属于中档题11若实数x，y满足不等式组，则x3y的最小值为4，点p（x，y）所组成的平面区域的面积为考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可解答：解：设z=x3y，则得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点a时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即a（2，2）将a（2，2）代入目标函数z=x3y，得z=232=26=4目标函数z=x3y的最小值是4b（0，1），c（1，0），d（2，0），abc的面积s=，故答案为：4，点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法12设等比数列an的前n项和为sn，若a4=8，sn+1=psn+1，（pr），则a1=1，p=2考点：等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：设等比数列an的公比为q，讨论q=1，q1，运用等比数列的通项公式和求和公式，计算即可得到所求值解答：解：设等比数列an的公比为q，若q=1，则an=a1=8，sn=na1=8n，sn+1=psn+1不成立，即有q1，则a1q3=8，=+1，即有a1=pa1+1q，a1q=a1p，a1q3=8，解得a1=1，p=2故答案为：1，2点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，注意公比是否为1，考查运算能力，属于中档题13已知a，br，a22ab+5b2=4，则a+b的取值范围为考点：函数的零点与方程根的关系 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：设a+b=t，得b=ta，代入a22ab+5b2=4后化为关于a的一元二次方程，由a有实根得判别式大于等于0，转化为关于t的不等式得答案解答：解：设a+b=t，则b=ta，代入a22ab+5b2=4，得a22a（ta）+5（ta）24=0，整理得：8a212at+5t24=0由=（12t）232（5t24）0，得t28即a+b的取值范围为故答案为：点评：本题给出关于正数a、b的等式，求a+b的最小值考查了利用换元法和一元二次方程有实根求解参数范围问题，考查数学转化思想方法，属于中档题14已知抛物线c：y2=4x，点m（1，1），过c的焦点且斜率为k的直线与c交于a，b两点，若，则实数k的值为2考点：平面向量数量积的运算 专题：向量与圆锥曲线分析：由已知可求过a，b两点的直线方程为y=k（x1），然后联立可得，k2x22（2+k2）x+k2=0，可表示x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2，由，代入整理可求k解答：解：抛物线c：y2=4x的焦点f（1，0），过a，b两点的直线方程为y=k（x1），联立可得，k2x22（2+k2）x+k2=0，设a（x1，y1），b（x2，y2），则，y1+y2=k（x1+x22）=，y1y2=k2（x11）（x21）=k2x1x2（x1+x2）+1=4，m（1，1），=（x1+1，y11），=（x2+1，y21），（x1+1）（x2+1）+（y11）（y21）=0，整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2（y1+y2）+2=0，1=0，即k24k+4=0，k=2故答案为：2点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量15设关于x的方程x2ax1=0和x2x2a=0的实根分别为x1，x2和x3，x4，若x1x3x2x4，则实数a的取值范围为（）考点：根与系数的关系 专题：函数的性质及应用分析：由x2ax1=0得ax=x21，由x2x2a=0得2a=x2x，在同一坐标系中作出两个函数得图象，继而得出关系式求解即可解答：解：由x2ax1=0得ax=x21，由x2x2a=0得2a=x2x，由可得2a=2x，作出函数y=x2x和y=2x的函数图象如下图：x1x3x2x4x2x=2x整理得：，即，即解得：x=1或x=当x=1时，a=点评：本题主要考查函数中零点与系数的关系，在考试中经常作为选择填空出现，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）16在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c已知2sinasinb=2sin2a+2sin2b+cos2c1（）求角c的大小；（）若a2b=1，且abc的面积为，求边a的长考点：余弦定理的应用；二倍角的余弦 专题：三角函数的求值；解三角形分析：（）运用二倍角的余弦公式和正弦定理和余弦定理，化简计算即可得到角c的大小；（）运用三角形的面积公式sabc=absinc，结合条件，解方程即可得到a解答：解：（）cos2c1=2sin2c，2sinasinb=2sin2a+2sin2b2sin2c，由正弦定理得，2ab=2a2+2b22c2，即ab=a2+b2c2，又0c，；（）abc的面积为，sabc=absinc，即ab=10，a2b=1a=5点评：本题考查三角形的正弦定理和余弦定理及面积公式的运用，同时考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题17如图，在三棱锥pabc中，底面abc是边长为2的等边三角形，pca=90，e，f分别为ap，ac的中点，且pa=4，（）求证：ac平面bef；（）求二面角abpc的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定 专题：常规题型；空间向量及应用分析：（1）充分利用三角形中的性质关系得出直角（2）合理建系求出点的坐标解答：解：（）pa=4，ac=2，pca=90pac=60又ae=ac=2，aec是边长为2的等边三角形f为ac的中点，acef又abc是边长为2的等边三角形，f为ac的中点，acbf又efbf=f，ac平面bef（）如图，取ab中点f，bf中点g，联结ef，eg由（）可知，所以egbf，所以eg平面abc如图建立空间直角坐标系gxyz，则.，所以，所以平面abp的法向量为所以，所以平面cbp的法向量为所以平面abp即平面abp与平面cbp所成角的余弦值为点评：本题考查线面垂直的证明和二面角余弦值的求法，属中档题属于2015届高考常考题型18已知数列an满足：a1=2，an+1+1=a1a2a3an（）求a2的值；（）（）证明：当n2时，an2=an+1an+1；（）若正整数m满足a1a2a3am+2015=a12+a22+a32+am2，求m的值考点：数列递推式 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（）通过an+1+1=a1a2a3an，令n=1即得结论；（）（）通过an+1+1=a1a2a3an及an+1=a1a2a3an1可得，进而可得结论；（）通过a1a2a3am=1+am+1，可得，利用=am+1+m+2，计算即可结论解答：（）解：an+1+1=a1a2a3an，a2+1=a1，a2=a11=1；（）（）证明：an+1+1=a1a2a3an，an+1=a1a2a3an1，（n2） 由得 ，an+1+1=（an+1）an，即当n2时；（）解：由a1a2a3am=1+am+1，=am+1+m+2，则（1+am+1）+2015=am+1+m+2，m=2014点评：本题考查数列的基本性质，注意解题方法的积累，属于中档题19已知椭圆c：，右顶点为（2，0），离心率为，直线l1：y=kx+m（k0，m0）与椭圆c相交于不同的两点a，b，过ab的中点m作垂直于l1的直线l2，设l2与椭圆c相交于不同的两点c，d，且cd的中点为n（）求椭圆c的方程；（）设原点o到直线l1的距离为d，求的取值范围考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）运用离心率公式和a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（）设出ab的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点的坐标，再设直线cd的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式和点到直线的距离公式，再由二次函数的最值，即可得到范围解答：解：（）由得a=2，c=，b=1，则椭圆方程为；（）由得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，设a（x1，y1），b（x2，y2），则，故，l2：，即，由，得，设c（x3，y3），d（x4，y4），则