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第一章 质点运动学 第一章 质点运动学 填空填空 1 在平面极坐标系中 单位向量的微分为 速度的 两个分量为 加速度的两个分量 为 2 在自然坐标系下 单位向量的微分为 速度表示 为 切向加速度为 法向加速度为 3 点 M 沿螺旋线自外向内运动 如图所示 它走过的弧长与时间的一次方成正 比 则点的加速度越来越 填 大 小 不变 点 M 越跑越 填 快 慢 不变 选择题选择题 1 在直角坐标系下 某质点速度随时间的变化为 22 34 m s t it j 则在 1s 时 质点轨迹的曲率半径 A 0 m B m C 1 m D 5 m 计算和证明题 计算和证明题 1 有一作平面曲线运动的质点 其速度在 y 轴上的投影于任何时刻均为常数c 试证 任何情况下 加速度的值可用下式表示 3 v a c 其中v为速率 为轨 道曲率半径 2 一质点沿位矢及垂直于位矢的速率分别为r 及 式中 及 是常数 试证 其沿位矢及垂直于位矢的加速度为 22 2r r r M 3 质点作平面运动 其速率保持为常数 试证此质点速度矢量与加速度矢量相互 垂直 4 一质点沿抛物线 2 2ypx 运动 其切向加速度的量值为法向加速度量值的 2k 倍 如此质点从弦的一端 2 p p以速率u出发 试求其达到正焦弦另一端时的 速率 2 2ypx A 2 p p B 2 p p u 5 质点沿着半径为r的圆周运动 其加速度矢量与速度矢量间的夹角 保持不 变 求 1 质点的速率随时间而变化的规律 2 质点速率关于速度与 x 之 间夹角 之间的函数关系 已知初始时 速率为 0 v 速度与 x 轴夹角为 0 6 如图所示 细长杆 A 端沿半径为R的半圆槽底滑动 杆紧靠槽边以角速度 倒下 求 当杆与 x 轴的夹角为 时 杆的端点 A 和杆上与槽边的接触点 C 的 速度 开始时 A 点在半圆槽底端 A0处 C A 0 A x y 第二章 质点动力学 第二章 质点动力学 填空题填空题 1 如果运动质点所受的力的作用线始终通过某一定点 我们称此力为有心力 而这个定点叫 2 在直角坐标系下 某质点的动量为 32cos t e it j 则作用在质点上的力F 3 在平面极坐标系中 有心力动量矩守恒律的数学表达式为 4 质点的质量是 1 千克 它的运动速度为323vijk 则此质点的动量的 量值为 1 kg m s 当质点以上述速度运动到 1 2 3 点时 它对原点o 的动量矩是 21 kg ms 选择题选择题 1 如图所示为一质量 弹簧系统 已知物体的质量为 m 弹簧的劲度系数为 c 平衡时 弹簧伸长为 S 原长为 l0 若以弹簧未伸长时的下端为坐标原点 物体 块的运动微分方程可写为 A 0 cxx m B 0 S xcxm C gxcxm S D 以上答案都不对 2 在某介质中 上抛一质量为 m 的小球 已知小球所受的阻力Rkv 坐标选 取如图所示 则小球下降段的运动微分方程为 A mxmgkx B mxmgkx C mxmgkx D mxmgkx 3 以下表述正确的是 A 动量矩守恒时合外力矩为零 动量不一定守恒 此时合外力也不一定为零 B 动量矩守恒时 系统受有心力作用 C 只受有心力作用的系统 角动量守恒 O A X D 动量矩守恒的系统中 每个质点的速度每时每刻都在变化 计算和证明题计算和证明题 1 一质点自一水平放置的光滑固定圆柱凸面的最高点自由下滑 问质点所在位 置与过圆柱轴心的竖直线之间的夹角 为多少时 质点会离开圆柱面 2 将一质点以初速率 0 v抛出 0 v与水平线所成之角为 此质点所受到的空气 阻力为其速度的mk倍 m为质点的质量 k为比例常数 试求当此质点的速度 与水平线所成之角又为 时所需的时间 3 将一质点以初速度 0 v抛出 0 v与水平线所成之角为 此质点所受到的空气 阻力为其速度的mk倍 m为质点的质量 k为比例常数 试求此质点的最大高 度 4 试证明有心力量值的公式为 22 d 2d mhp F r 式中m为质点的质量 r为质 点到力心的距离 2 hr 常数 p为力心到轨道切线的垂直距离 5 试证有心力是保守力 6 利用代换 u r 1 证明质点在有心力场中的轨迹的微分方程可表示为 2 2 22 uFu d ud umh 第三章第三章 质点组动力学质点组动力学 填空题填空题 选择题选择题 计算和证明题计算和证明题 1 长为l的匀质细杆 AB 在光滑水平面上竖直放置 B 端在下 当杆由静止开 始倒下 求杆上 A 点的轨迹方程 2 求半径为a 圆心角为2 的均匀扇形薄片的质心 3 质量为 1 m及 2 m的两自由质点互相以力吸引 引力与其质量成正比 与距离平 方成反比 比例常数为k 开始时 两只点均处于静止状态 其间距离为a 试求当两质点之间的距离变为 1 2 a时两质点的速率 4 火箭以相对自身为u的速率喷出气体 单位时间喷出气体的质量为 求火 箭t时间后的速率v 设火箭初始速率为 0 v 质量为m 5 一条柔软 无弹性 质量均匀的绳索 竖直地自高出下落至地板上 如绳索 的长度等于l 每单位长度的质量等于 求当绳索剩在空中的长度等于x xl 时 绳索的速率及它对地面的压力 第四章 刚体力学 第四章 刚体力学 填空题填空题 1 作用在某刚体上的任意复杂力系可简化等价为一个 和一个 的作用 2 作平面运动的刚体的角速度不为零时 在任一时刻刚体运动平面上恒有一点 的速度为零 这点叫 此点在固定平面上所描绘的轨迹 叫 在运动平面内描绘的轨迹叫 3 如图所示 刚体作平面平行运动 平面图形上两点 A B 的速度方向如图所 示 请根据图 A B 速度方向判断 两种运动状态是否可能 a b 填可能或不可能 4 长 l 2 m 的 AB 杆作平面运动 在某瞬时 B 点的速度大小 B v 4 m s 方向如 图所示 则在该瞬时 A 点可能有的速度最小值 vmin 此时 AB 杆的角速度 5 刚体平衡方程为 选择题选择题 1 匀质杆 AB 重 G 其 A 端置于光滑水平面上 B 端用绳悬挂 如图所示 取 坐标系 此时该杆质心 C 的 x 坐标 若将绳剪断 则 A 杆倒向地面的过程中 其质心 C 运动的轨迹为圆弧 B 杆倒至地面后 C 杆倒至地面后 D 杆倒至地面后 2 某瞬时 平面图形上任意两点 A B 的速度分别为 A v 和 B v 如图所示 则此 时该两点连线中点C的速度 C v 和C点相对基点A的速度 CA v 分别为 xy O0 c x 0 c x 0 c x 0 c x A B 60 B v A B y c o 和 A 4 长 图所 最大 A 3 一 滚上 A 球 4 边 平 A B C D B C v A v B v 长 l 2 m 的 所示 在这 大值为 4 3 m 3 一个半径为 上一斜面 球 边长为a2的 则点 A 距 a 3a 2 6a 7 5a 6 A 60 B v B C v 的 AB 杆作平 这一瞬间 B B 4 3 为 R 质量为 达到的最大 B 圆筒 的正方形薄 距右端的距距离离 1 2 AB vv 平面运动 B 点运动轨 13 m 为 m 的刚体 大高度为h C 圆柱 薄板 截去四 离离 x C CA v 在某瞬时 轨迹的曲率半 C 4 3 3 体在水平面 2 3 4 v g 则 柱 四分之一后 AAB vv B 点的速度 半径为3 9 m D 面上以速率 该物体应为 D 球壳 后悬挂在 A 点 2 D C v 度大小 B v m A 点 D 4 39 v作无滑动 为 点 今若使 A CABA vv 4 m s 方向 点的可能速度 9 m 动滚动 然后 使 BC 边保持 B C 2 A 向如 度的 后又 持水 5 刚 A B C D 计计算算 1 质 什么 数为 y 2 半 一质 心连 3 如 轮半 圆轮 刚体的转动 刚体角速度 刚体上每个 刚体做瞬时 刚体的空间 算算和证明和证明题题 质量为 m 么关系时下 为 B A 2a f NP 半径为R 质量为m的 连线与铅垂 如图所示机 半径为 r 试 轮的角速度 动瞬心在无穷 度为零 个点的速度 时平动 间极迹是直 题题 长为 2a 的 下端开始滑动 B x 质量为M 的小滑块 小 垂线成 角时 机构中 已知 试求当 OA 度 B 穷远处时 大小相等且 线 的均匀细杆 动 设初始时 表面光滑的 小滑块受微小 时滑块相对半 知 OA R 处于水平 以下表述错 且彼此平行 在其倾倒 时杆沿竖直 的半球放在 小扰动从顶 半球的速率 R 绕 O 以匀 且30 错误的是 行 倒过程中 杆 直方向 杆与 在光滑的水平 顶端无初速 率 匀角速度 时 1 A 杆与水平方 与地面之间 平台面上 地下滑 求 0 转动 AB AB 杆的角速 方向的夹角满 间的滑动摩擦 在半球顶部 求滑至物块与 BL 纯滚 速度 AB 满足 擦系 部放 与球 滚动 2 4 长为l 质量为m的均匀杆 在光滑桌面上由竖直位置自然倒下 当杆与竖 直方向夹角为 时 如图 求 1 质心的速度 2 杆的角速度 0 c x cos 2 l yc 5 一质量为 m 半径为 a 的均质圆球 被握着静止在另一半径等于 b 的固定圆 球的顶点 其后把手放开 使其自由滚下 试证当两球联心线和竖直向上的直线 间所成的角度等于时 此两球互相分离 6 半径为 R 的车轮 在平直路面上无滑滚动 速率为 v 请给出车轮运动平面 的空间极迹和本体极迹方程 解 如图所示 建立固定坐标系xyO 和固定在刚体上的本体坐标系x yO 假设0t 时 y和 y 轴在一条直线上 7 一圆盘以匀速度沿一直线无滑动地滚动 杆AB以铰链固结于盘的边缘上 的B点 其A端则沿上述直线滑动 求 A 点的速度与盘的转角的关系 设杆 长为 盘的半径为 110 cos 17 0 v l r 8 半径为R的车轮 在平直路面上无滑滚动 速率为v 请给出图示位置处B 点的速度 9 设椭圆规尺AB的端点A与B沿直线导槽Ox