定积分的两个特殊性质在三角积分中的应用.pdf

第23卷第6期 20 02年12月 大连大学 学 报 JOURNA LO DA LIANUN I还RSITY V ol 2 3No 6 Dee 200 2 定积分的两个特殊性质在三角积分中的应用 刘自新 大连大学信息工程学院 辽宁大连 1 16 6 22 摘 要 在这篇论文中 我们提出定积分的两个基本性质 这些性质很容 易证明 在求某 些复杂积分时 这些性质非常有用 关键 词 三角函数 积分 三角代换 中图分类号 017 2 2 文献标识码 A 文章编号 l X 8 一 2 3 9 5 2印2 肠 一 加84 一 以 三 角函数代换法 是求解定积分时 的一种重要方法 但在课本上 的应用大多局 限于 根式 类型 主要 目的是去 根号 本文提出定积分的两个基本性质 这两个性质结合三 角函数代 换法 可以很容易地求出某些复杂函数的积分 性质 1 如果函数f x 是一个在 闭区间 0 a 上可积的函数 那么 f f x d x 一 价 d x 伽 一 d x 证 明 j o a f d x 一 价 d x 分 d x 一 价 d x 分 a 一 一d t 伽 d x 伽 一 d t一 伽 l 0 a z f a 一劝d x 推论 1 如果 f a 一 一f x 则 f f x d x 一2 户 推论 如果f 一卜 一f x 贝 1 0 a f x卜 应该注意到 满足推 论 的函数在区间 0 a 上 关于直线 x 一 号 对称 满足 推论 2的 函数在区间田 a 上关于点 a 2 0 对称 性质 2 如果f x 是在闭区间 0 a 上的一个 可积函数 那么 户 d一 户 恤一劝d 收稿日期 2 X 卜12 一2 1 作者简介 刘自新 969一 男 讲师 硕士 第 6 期 刘 自新 定积分 的两个特殊性质在三角积分中的应用 85 证 明 令 a 一x t 则 户 a 一 x d 一户 t d 一 加 d t 一 j o a f d x 下面我们举几个 例子来说明上面的两个 性质 的用法 书 田 I nx 岁组I 不 l 兀下s e了了 ux Jo l 个人 解法一 倒代换 法 设 一 田 奥乓 d x 令 一 工 则 J 1十x x f o 一In l I 一 甲一一一 厂一 气 一 一了 了 u u JOI 斗 u U 故I 0 解法二 令 二 t go o o 要 则由性质 2 一 一 习 一 一 2 一 一 一 f I n l 万一下一下玉 uu 一卫 J 0 1 一u I 琅 产叨I 琅 In t g o 房 月 月 一 兀 月 币 泌 隆 J 一l二下一二 二 万不 u 以u一1 1 11 喝u uU 一1 1 1 1 喝气不 一 u 少u u 田 I工川去 刁一 Jo l 甲喝 口 J o Jo 乙 故 I二0 例2 一 上 t g d 一 求 I一 f揣 d x 解 令 x t go 则 dx s岔0d0 了一 工 儡 d 一f 黑 S岔 d 一 f c oSZ0 1 龟 f 阵粤 兰 1 一 合 f 1 d 合 工 c o S Z口1 厂 榷 由例 知 J t g 0 一0 而 由分部 积分公 式 厂 尽 厂 术 c o s 20 I n t g 0do 1 I n t god 音 sin 20 音 sin 28I n t g o 石 尽 JoJ o 乙乙 I f 明 s招 厂 切 1 价万 1 Sln 乙以 QU U一1 S lf l 乙U 一二一一二 a 口 一佗一 z J t g U J s nz z 86 大 连 大 学学报第2 3卷 故 I一 一 粤 二 一 粤 斗4 例 3 求 f 一 d 解 二 由性质 l的推论l 尸厂 琅 n s n o一2 ns n o 由性质2 产 兀尽 广 兀尽 广 泥尽 一 ns d 一 0 一 合 一的d 一 一 d 厂 榷 厂 尽 1 厂 尽 厂 口 故 2 1 nn sin o InC O S d口 1In 于 sin Z 口 d G 1I nsin 2口 d o一1 In2 do J J z J J 合 护 sin rdr一 李 znZ 2 d 一 粤 h iZ 由推论1 I 乙 尽I n Z Z n n s 邢 九 一一 故 I二 一粤h i 2 2 从而 护 一 d 一2 一 2 例 求 I一 厂 解 由性质 2 Sm 月X sin 月x c o s月x d X 一 f 21一 厂 d 一晋 51扩x sin 凡 x c o s 月x 一 f u 一 j 以 S 凡 X c o s月x sin 月x dX 故 I一 晋 利用性 质l和性质2 还可以求下 列积分 有兴趣 的读者不妨一试 f l 1 一 f l x 专 斋 f a sin Z x b c o sZ x a加sinZx b加c osZx d X 参考文献 l 同济大学数学教研室 高等数学 M 北京 高等教育出版社 199 8 2 J 赵树原 3 白玉兰 微积分四 北京 中国人民大学出版社 2 X 1 等 数学分析题解四 黑龙江 黑龙江科学技术出版社 198 5 第 6 期 刘自新 定积分的两个特殊性质在三角积分中的应 用 A naPPliea t io no ftw osPeeial q ualitie sabo ut def i n ite integ r a l on trigo n om etrie integ r at io n LIU2 1 一 x in I n f o rmatio n Engin e erin gC ollege D alian U niv er s ity D alian 1 1662 2 Chin a A bstra et In thispaPe r two ba sie qu alitie sabout d ef inite integ rala re Prov ed ThePr o ofproeedu re of these qu alities15 sim Ple and the se qu alities a rev eryu sef u lin eale ulatings o m e com Plex integ rators K eywo rds trigo n om etrie f u n etio n integ ration triang le s ubstitutio n 上接第2 1 页 s 黄国安 等 固定化藻类的生理特征和对染料的脱色能力研究田 环境科学学报 2 X X 2 0 4 科5 一4 9 9 9 1 张学成 等 固定化培养对扁藻的影响闭 海洋学报 19 9 4 l仅 4 二96 一 10 1 l0 1 严国安 等 H扩 十 对固定化小球藻污水净化及生理特征的影响闭 环境科学 巧 匀 6 一 9 1 1 1 Y E A 一CH A NG CH EN l biU左过 a l g a e sc e ne d e s quad r ic a u d a q 1 o r ophy t a C川or o 伐心川巴 f o r f on g ten们 st o r ag e and f o r a p Plic at沁nf o r w a t erqu司it y c o ntr o l i n 几h c u l t ur e田 A q u a e tur e 2 X l 195 l 一2 7 1 一 80 A dV a nc e i n algal in unobili路t io n Y A N GHai 一b o l Z H A NG X i n 一hual L IU W ei一d o ngZ 1 氏Pa r t 盯记Ilt of 0 1曰刀ist刁an d C he m i司 En gine e n ng D a lia nU 币v e巧ity D al ian 116 62 2 C h ina ZM如n eFish er ie sR 汕 I n s titu de of L ia on in g Pr ov i nc e Da lian11团23 Chin a A l州拍c t The a d二 ina l酬im m obi li乙ltio n i n m at er i北 m etb o d s an d init s in f l u e n c e on th e a l缪 Ph岁1 0 1 0 g y a r e Pr e s ent e dan d th e aPPUazti o n s of a l酬im m obi l i左tion 晚 su n ln份ri双幻 indi s户 sln g w a s t e 认心te r k e ePi n g