数值分析课后习题.pdf

第第 1 1 章章 绪论绪论 1 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 即误差限不超过最后一位的半个单位 试指 出它们是几位有效数字 0 17 430 56 6 385 031 0 1021 1 54 321 xx xxx 2 求方程0156 2 xx的两个根 使它至少具有 4 位有效数字 982 27783 第 2 章 函数插值 1 给出 ln xxf 的数值表 x 0 4 0 5 0 6 xln 0 916291 0 693147 0 510826 x 0 7 0 8 xln 0 356675 0 223144 用线性插值及二次插值计算54 0ln的近似值 2 44 x上给出 x exf 的等距节点函数表 若用线性插值求 x e的近似值 要使截 断误差不超过 6 10 问使用函数表的步长 h 应取多少 3 13 47 xxxxf 求 2 2 2 2 2 2 810710 ff及 4 求 一 个 次 数 不 高 于4次 的 多 项 式 xP使 它 满 足0 0 0 PP 1 1 1 2 1PPP 5 证明若 xgxfxF 则 F 101010nnn xxxgxxxfxxx 6 已知实验数据如下 i x 19 25 31 38 44 i y 19 0 32 3 49 0 73 3 97 8 用最小二乘法求形如 2 bxay 的经验公式 7 设数据 4 3 2 1 0 iyx ii 由表 3 1 给出 表中第4行为 ln ii yy 可以看出数学模型 为 bx aey 用最小二乘法确定a及b i 0 1 2 3 4 i x 1 00 1 25 1 50 1 75 2 00 i y 5 10 5 79 6 53 7 45 8 46 i y 1 629 1 756 1 876 2 008 2 135 8 给定如下数值 x 0 1 5 1 2 f x 1 00 2 50 1 25 5 50 1 求函数 f x 的差商表 2 用牛顿插值公式求三次插值多项式 3 N x 第三章 数值积分 1 分别用复化梯形公式和复化辛普森公式计算下列积分 1 dx x x 1 0 2 4 8 n 2 dxx 9 1 4 n 2 若用复化梯形公式求积分dxe x 1 0 则积分区间要多少等分才能保证计算结果有五位有 效数字 3 给定求积公式 试确定求积系数 使之代数精度尽可能高 1 a a afAfAafAdxxf 2 2 101 0 2 1 12 1 1 1 2 3 3 f x dxff xf x 4 用龙贝格算法求积分直到第五位小数不变 1 3 1 1 dx x 2 1 0 sin x dx x 5 若0 xf 证明用梯形公式计算积分dxxf b a 所得结果比较精度值大 并说明几 何意义 6 用梯形公式及辛普森公式求积分dxe x 1 0 的近似值 估计误差 7 f x在 1 1 上有二阶连续导数 1 写出以 01 11 33 xx 为插值节点的 f x的一次插值多项式 1 L x 2 设想要计算 1 1 f x dx 以 1 L x代替 f x 写出求积公式 3 写出其代数精度 第四章 非线性方程求根 1 用二分法求方程 2 10 xx 的正根 使误差小于 0 05 2 若将方程01 23 xx写成下列几种迭代函数形式 求不动点附近的一个根 并建立 相应的迭代公式 1 32 1 1 xxx 2 2 2 1 1 x xx 3 1 1 3 x xx 试判断由它们构成的迭代法在5 1 0 x附近的收敛性 选择一种收敛的迭代法 求在5 1附 近有 4 位有效数字的根 3 给定函数 xf 设对一切x x f 存在且 Mxfm 0 证明对于范围 M 2 0 内的任意定数 迭代过程 kkk xfxx 1 均收敛于 0 xf的根 x 4 设 3 2 xcxx 应如何选取c 才能使迭代 1kk xx 具有局部收敛性 c 取何值时 这个迭代收敛最快 5 设0 xf有单根 x xx 是0 xf的等价方程 x 可表示为 xxm xf x 证明 当 1 xf xm 时 迭代公式 1kk xx 是一阶收敛的 当 1 xf xm 时 迭代公式 1kk xx 至少是二阶收敛的 7 常数A的m次根可由对方程0 Axm或01 m x A 用 Newton 迭代法求得 验证它们 相应的 Newton 迭代格式分别为 1 1 1 1 m k kk x A xm m x A x xm m x m k kk 1 1 1 1 8 设 x为 xf的m重零点 若将 Newton 迭代法修改为 1 k k kk xf xf mxx 10 k 证明 此迭代格式具有 2 阶收敛速度 9 应用牛顿法于方程 01 2 x a xf 导出求a的迭代公式 并用此公式求115的 值 10 证明迭代公式 ax axx x k kk k 2 2 1 3 3 是计算a的三阶方法 假定初值 0 x充分靠近根 x 求 3 1 lim kk x xaxa 第五章习题 1 利用 Gauss 消去法求解下列方程组并写出系数矩阵相应的三角分解 1 12 022 1 321 321 321 xxx xxx xxx 2 533 6743 5532 321 321 321 xxx xxx xxx 2 用矩阵的 LU 分解求解方程组bAX 57910 68109 71087 5765 A 1 1 1 1 b 4 用追赶法求解三对角方程组bAx 其中 1 510 151 015 A 7 14 17 b 2 2100 1410 0141 0012 A 0 3 2 1 b 3 410 141 014 A 1 1 1 b 6 设向量 1 2 3 4 TX 计算 1 X 2 X X 7 设矩阵 1 12 34 AAA 计算 8 设 9899 99100 A 1 计算 A和 2 A 2 计算 Acond和 2 Acond 9 设有方程组bAx 其中 1 1084 8104 4410 A 25 11 13 b 2 31564 10362 12328 321 321 321 xxx xxx xxx 分别写出雅克比迭代 高斯 塞得尔迭带格式 并指出迭代的收敛性 10 分别用 Jacobi 迭代法和 Gauss Seidel 迭代法计算方程组bAx 其中 410100 141010 014001 100410 010141 001014 A 2 1 2 2 1 2 b 初始向量取 Tx0 0 0 0 0 0 求精度满足 2 x的近似解 12 设 1 1 1 aa aa aa A 1 若A为正定阵 a应为哪些值 2 对a取哪些值 求解bAx 的 Jacobi 迭代法收敛 3 对a取哪些值 求解bAx 的 Gauss Seidel 迭代法收敛 13 13 给定线性方程组 123 123 123 2104 81 53 xxx xxx xxx 通过调整方程顺序 建立收敛的高斯 塞得尔迭带格式 取初值 0 2 0 0 0 T XX 试计算 习习 题题 七七 1 用梯形法求解初值问题 1 0 y yy 证明其数值解为 n n h h y 2 2 固定x 取 n x h 证明 0 h时 n y收敛于原初值问题的精确解 2 用 Euler 公式和改进的 Euler 公式分别求下列初值问题的数值解 取步长1 0 h计算到 3 y d 2 d 0 1 y xy x y 3 取步长1 0 h 分别用 Euler 方法及改进的 Euler 方法求解初值问题 d 1 01