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1 习习 题题 一一 1 利用对角线法则计算下列行列式 1 21 2 3 1 2 8 23 2 22 ab ab ba 3 112 21414 1264215 311 4 333 a ab ab ab abab babababababab abab 33332233 333 2 ababa babab abab 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数 1 2467315 2 7426315 3 n n 1 21 4 246 2n 135 2n 1 解 1 000035210t 2 0 12 1 35214t 1 3 0 1 1 2 n n tn L 1 4 1 2 L n n tn 3 写出 5 阶行列式含有因子 412213 aaa的项 解 5534412213 aaaaa和 5435412213 aaaaa 4 计算下列各行列式 1 0 1 2 3 1203 4720 1 3 2 2 112 5200 1000 2 2 0 111 000 1000 1 1 2 1 1 0200 0010 n n nnn n L L L LL MMMM L 3 21 12 21 21 412412021202 4 120241240724 10 1052010520015220 4 011701170117 rr rr rr rr 3232 4 12021202 15 01170117 17459 850 015220001785 7 072400945 rrrr rr 4 100 10110 110 1101 011 0101 001 a b b acc c dd d 1 1a bcdbdcdabcdabadcd 5 求解下列方程 1 0 9132 5132 3221 3211 2 2 x x 解 因为 2 22 2 22 11231123 100 12230100 131 23150131 133 23190133 x xx x xx 22222 2 31 1 1 933 3 1 4 33 xxxxx x 所以原方程的解为 12xor x 3 2 0 1 1 1 1 32 32 32 32 ccc bbb aaa xxx 解 因为 23 23 23 23 1 1 1 1 xxx aaa xa xb xc ab bc bc bbb ccc 所以原方程的解为 xa or xb or xc 6 证明 1 3 22 111 22yxyyxx yxyx 证明 22 222222 32233 22 22 22 111 33 xxyy xxyyxxyxyxyyxyx yx y xx yxyyxy 2 yxz xzy zyx ba bzaybyaxbxaz byaxbxazbzay bxazbzaybyax 33 证明 axbyaybzazbx aybzazbxaxby azbxaxbyaybz axayazaxaybxaxbzazaxbzbx ayazaxayazbyaybxaxaybxby azaxayazaxbzazbyayazbybz 4 byayazbyaybxbybzazbybzbx bzazaxbzazbybzbxaxaybxby bxaxaybxaxbzbxbyaybxbybz 33 axayazbybzbxxyzyzx ayazaxaybxbyayzxb yxy azaxaybxbybzzxyxyz 3333 xyzxyzxyz ayzxb yzxabyzx zxyzxyzxy 3 222 abbcaccba cba cba baaccb 证明 222222 bccaababcbcacab abcabc abcabc 222 111 abcabcabc ca cb ba abc 4 1 110 0121 1000 0100 0001 nn nn nn x x a xaxa xa x aaaaa L L MMMOMML L L 证明 01210121 10001000 01000100 000100001 nnnnn xx xx x aaaaaaaaaa xa LL LL MM LL LL 5 12 0121 01000 00100 00001 nnn nnnnnn aa xaa xaa xaa xa L L M L LLLL 1 1 0 1 1 1 1 nn n aa x L O 1 11 110 1 110 1 L L nnnn nn nn nn a xaxa xa a xaxa xa 7 计算下列行列式 3n 1 a a a a Dn 001 000 000 100 L L MMMM L L 解 1 1 1 0010 0000 1 00000 100100 n n n nn aa a aa a Da aa a a L L MMMMO O O LO L 1 1 12 2 1 nnnnn n a a aaa a O 2 n Dn L MMMM L L L 333 3333 3323 3331 解 6 3 1 133313333333 32332100100 1 233332000001 33320033 n D nnn LL LL LL MMMMMMMOMO LL 3333 010 26 3 002 3 n n O 3 1 1000 00220 00011 1321 nn nn Dn L MMMMM L L L 解 12311231 1 1100011000 0220002200 0001 1 00010 n nnnn D nnn LLL LL LL MMMMMMMMMM LL 1 11000 2200 1 1 0300 2 0001 n n n n L L L MMMMM L 11 1 1 1 1 1 22 nn n nn n 4 111 1 1 1 111 1 L L MMM L L naaa naaa naaa D nnn nnn n 解 7 111 1 1 111 111 1 1 1 1 1 1 1 111 nnn nnn n n nnn nnn aaan aaanaaan D aaanaaan aaan L LL LL MMMMMM LL LL 1 1 22 0 111 111 1 1 1 1 1 n nn n ij n nnn nnn aaan ij aaan aaan 2 阶行列式中 值必为零的有 BD A 行列式主对角线上的元素全为零 B 上 或下 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 C 行列式零元素个数多于 n 个 D 行列式非零元素个数小于 n 个 7 四阶行列式 1 00 1 00 22 00 33 00 44 ab ab ba ba 的值等于 D A 1 2 3 41 2 3 4 a a a abb b b B 1 2 3 41 2 3 4 a a a abb b b C 1 21 23 43 4 a abba ab b D 2 32 31 41 4 a ab ba abb 解 1 1 00 1 00 1 0000 1122 00 22 00 222 3 00000 333 00 233 1 4 00000 4441 4 000 41 1 2 31 4 342 32 31 41 4 1 2 21 ab ab abab ab ab b b aba aba b b abab b aa a b bb b a aaaa ab ba ab b aa 8 若 3475344 53542333 32221222 3212 xxxx xxxx xxxx xxxx xf 则方程0 xf的根的个数为 B A 1 B 2 C 3 D 4 解 21232101 2221222322101 3332453533122 44357434373 xxxxx xxxxx f x xxxxxx xxxxxx 2100 221002121 29 3312122171 4370 x xxx xx xxxx xx 13 9 如果1 2221 1211 aa aa 则方程组 0 0 2222121 1212111 bxaxa bxaxa 的解是 B A 222 121 1 ab ab x 221 111 2 ba ba x B 222 121 1 ab ab x 221 111 2 ba ba x C 222 121 1 ab ab x 221 111 2 ba ba x D 222 121 1 ab ab x 221 111 2 ba ba x 解 112112 112222222 1 11121112222 21222122 baba bababa x aaaaba aaaa 111112 111212222 2 11121112212 21222122 abba ababba x aaaaab aaaa 二 填空题 1 222 cba cba baaccb acbcabcba 解 222222 bccaabbcacababc abcabc abcabc 222 111 abcabcabc ba cb ca abc 2 xx xx xx aaaxa 00 00 00 4321 3 1234 xxaaaa 解 14 12341234234344 3 1234 00000 00000 00000 axaaaaaaaxaaaaaa xxx xxx xxx xxaaaa 3 4001 0301 0021 1111 2 解 111 11111111 234 1200 111 0200 1 2 3 42 1030234 0030 1004 0004 4 若 311 151 113 0 则 2 3 6 解 因为 311311111 151351 3 151 113313113 111 3 062 3 6 2 002 所以2 3 6 5 设 5213 3012 1111 4321 D 则 41424344 AAAA 0 解 15 41424344 123412341234 111101250125 0 2103036500010 111101230002 AAAA 6 多项式 333231 232221 131211 axaxax axaxax axaxax xf 的次数最多是 1 次 解 111213 212223 313233 xaxaxa f xxaxaxa xaxaxa 13121213 23222223 33323233 1111131112111213 2121232122212223 3131333132313233 xxxxxaxaxxaa xxxxxaxaxxaa xxxxxaxaxxaa axxaxaaaxaaa axxaxaaaxaaa axxaxaaaxaaa 121311131112111213 222321232122212223 323331333132313233 xaaaxaaaxaaa xaaaxaaaxaaa xaaaxaaaxaaa 12131113111211121