技术支持下的数学教学探索-开放式问题探究.doc

技术支持下的数学教学探索-开放式问题探究近数十年来，冲击学校教育最厉害的恐怕是信息技术的迅速发展：从六十年代的“程序学习”时期尝试把学生安放在“一个类似游戏机中心”的地方让每个人对着个别的计算机学习，到八十年代试图把学生带到“计算机世界”去体验学习，乃至今天憧憬把学生“冲浪”在互连网络社群中学习。信息技术应用于学校教育，不仅影响着数学课程的发展，也影响着教学范式的转变：从一个以教师为中心的教学模式，转向较为互动和学生为中心的模式，甚至发展为以共同任务为核心，网络为工具，学习社群为中心的网络教学模式。与此同时，数学教育界人士也表达了对盲目地在数学教学中引进信息技术的关切：一方面没有强有力证据证明使用信息技术能有效地改进数学教学的效果；另一方面，用传统的黑板加粉笔教学，仍然相当有效：实物教具用起来得心应用，为什么一定要用信息技术手段呢川？信息技术对数学教学的影响有什么特点呢？技术支持下的数学学习又有什么特点？怎样使用技术来改进数学学习？Collis(1996)指出，最佳的应用信息技术的起步方案，是教师从课堂的实践经验中，辨别出应用传统教学模式施教而效果欠佳的项目，尝试利用信息技术的协助寻找可行方案，解决部分或全部的困难。本文试图通过一个开放式数学问题的探索，以期引起读者对信息技术支持下的数学学习及教学的一些特点的思考。 1动态计算机学习环境的特点动态的计算机学习环境构成了一个探索数学的实验室。在这种环境下数学学习具有如下一些特点：11直观化（Visualization)直观化一般是指表达、转换、产生、交流、记录和反思直观信息的能力，其本身是学习几何概念的重要组成部分。因此，直观化不仅能以有意义的方式来组织所处理的数据，而且它也是寻求问题解决的重要因素。12实验（Experimentation)除了直观化以外，在动态环境中探索可以让学生学习实验，欣赏大量丰富的例子，也能看到一些极端的例子、负面的例子或一些奇异的事件等等。学生不仅可以通过看，而且可以通过测量、比较，改变图形来体验这些例子。以这种方式获得的信息将会是迈向一般化及猜想的第一步，这又是下一个特点的前题。13惊奇性（Surprise)课堂活动，比如问题情境，应该设计成这样：在让学生体验学习对象的深度和广度方面扮演重要的作用一类有意义的间题是要求学生对正在考察的现象或活动作出明确而深思熟虑的预测。如何设计这样的情境：活动的结果是意外的或反直观的。而这种惊奇性产生一种与预测的不协调性，仍然是一项有挑战性的任务。14反馈（Feedback)惊奇性产生于对某种活动的预测与结果的不一致性。随着重新探索这个给定对象，学生从活动环境中得到了反馈。这种直接的反馈比来自老师的反馈更为有效。这不仅因为其情感方面的因素，更包括重新核实、修正预测和引起证明的需要等动机方面的因素。15对证明的需求（Needforproofandproving）惊奇过后，学生也许需要一个证明，也许还不明确，只是希望靠别人或自己去回答“为什么”。一般而言，通过“实验一反馈一反思”，学生将产生一种去论证的需要，而这种论证将有助于解释或证明一个论断。2实例分析下面我们从一个问题情境出发，通过开放式方式来探索这个问题。以展示如何在互动的学习环境（如几何画板(Sketchpad)中来探索和体验数学。基本问题情境：画两条边长都是5的线段（比如：AB、AC）且交于同一个顶点（如A），连接其它两个顶点形成一个三角形（如图I所示）。当拖动顶点C（或B）时，产生许多三角形。图1问题1试讨论，在拖动过程中，三角形中有哪些要素是不变的，而哪些要素是变化的？利用几何画板，当我们拖动顶点C时，观察图形的变化，可以发现许多特点。比如，不变的有两条腰长；三角形内角和等等；变化的有第三条BC的长度，还有两腰的夹角（BAC）；还有三角形的面积，及各边上的高等等。问题2这些变化要素的变化有什么特点？比如，什么时候，三角形ABC的面积最大？变化要素之间又有什么关系？比如，边长BC与三角形BAC的面积有什么关系？等等。实验与猜想：基于问题1的探索。鼓励学生对结论的猜想。比如，学生可能猜测当等边三角形时，面积为最大。核实与反馈通过拖动顶点C，观察图形的变化，使用“测量”，容易发现当三角形为等腰直角三角形时，三角形面积最大。为什么？使用三角形面积公式：底x高2，通过适当选择底及高，我们不难解释为什么等腰直角三角形的面积为最大。问题3三角形ABC面积与边长BC之间的函数关系怎样，函数的图像有什么特点？等等实验与猜想通过实验，学生发现：一开始三角形面积随着边长的增加而增加，但到一定位置后，三角形面积反而随着边长的增加而减少，接着，鼓励学生猜测这一函数关系。也许，学生猜测函数为二次函数关系。核实与反馈使用菜单“图表”中的“画点”及菜单“显示”中的“轨迹跟踪”，当拖动点C时，可以看出面积随着边长BC变化的轨迹。为了核对猜测的正确性，我们只要拖动点C，并仔细观察轨迹的形状变化（图2(1)。此时，我们惊奇地发现图形是不对称的，这与我们的期望相反，于是产生了一个问题：为什么不对称呢？ 图2（1） 图2（2）解释：如果对称，那么当BC=5时，面积的最大值，但是，我们已经发现BC7.7时( ），面积为最大，但是，为什么直觉上是对称，而事实上不对称？有没有其它变量与面积的函数图像是对称的？问题4以BC边上的高AD，AB边上的高CE,或角BAC作为自变量，来考察它们与三角形面积之间函数的图像。图2(2)表示BC边上的高AD与三角形面积之间关系的图像；表面上，图2(1)和图2(2)是相似的，但是面积作为BC边上高的函数图像比另一个（如图2（1）“瘦”一点。 图3（1） 图3（2）那么，面积作为AB边上的高的函数或面积作为角BAC的函数图像又怎样？如图3(1)所示，这里我们发现了直线及对称图像。问题5你能用代数角度来解释这些图像的差异？函数的解析表达式怎样？我们不难写出有关函数的表达式：（1)三角形面积作为BC边长的函数： (2)三角形面积作为BC边上高的函数： (3)三角形面积作为AC边上高的函数： (4)三角形面积作为角BAC的函数： 发展性探索问题情境：如果将前面问题的基本假设，稍稍作些变动，比如，将其中一条给定边长由原来的5变成4，而另一条边不变，试讨论上述相应的问题。问题6试探索面积作为其它一边长的函数的图像。如图3(2)所示，其图像与前面问题3中的相应图像相似，我们只发现一点明显的差异，那就是这里图像起点已不再是原点。然而当我们探索下面的问题时将产生极大的惊讶。问题7试探索面积与其它一条边上高的关系？实验如果，我们把面积作为BC边上的高的函数，那么，当拖动点B时，函数图像如图4(1）。为什么图形会“缺少一块”？再仔细观察变化过程，发现当把点B移动到一定位置后，高线AD就消失了（但是高应该存在！），此时，面积也随之“消失”（但面积应该仍然在变化！）。怎么解释呢？如果，我们以点A到边BC的距离作为高，那么，面积与它的关系及图像又怎样？让我们一起来探索一下，结果其轨迹如图4(2)所示，这给我们以极大的惊奇！这是一个函数图像吗？为什么会是这样的呢？ 图4（1） 图4（2）讨论首先，这个图像不是一个函数的图像，因为，如果用一条垂直线去截图形，有两个交点（即：一个自变量对应两个函数值，不唯一，所以这不是一个函数关系），也就是说，有两个高相等但面积不同的三角形，我们能找出这种情况吗？事实上，我们很容易发现下面图中的三角形ABC和三角形ABC是两个等高但面积不相等的两个三角形（如图5)。图5进一步，我们要问：上述两种情况的面积怎么去表达呢？由三角形面积公式，我们容易发现三角形的面积为：和 。上述的讨论，我们始终通过比较、对比在三种不同背景：几何情境、图形表达、及符号表达下的结果。把图像的、符号的和分析的方式结合起来去探索问题有助于增强对数学问题的系统的调查及探究（Investigation and inquiry）。在这种探索过程中形成的学习风格将提高他们数学学习及解题能力。作为数学教育工作者，我们应该使用各种表示方式，特别在技术的帮助下，鼓励和帮助学生用多种方式去解决问题和创造性地思考。3反思31计算机是一种工具对数学教育而言，信息技术只是一种工具，它“一般只会增益而非取代旧有”，怎么用好这一工具全在于用家。这样无疑给数学教学工作者提出了一个挑战性的问题：怎样设计问题或活动，充分体现技术的优势来倡导新的教学方式，促进学生的学习和提高教学效率？怎样充分使用技术的可使用性及优势，结合教材及教学目标来设计相应的活动来实施我们新的教学策略？32数学活动也许有人认为，本文中讨论的问题及求解过程是“画蛇添足”：我们先用符号表达出来，然后用代数方法求解，不就完了！我们认为，上述讨论的问题及实施方式，描述了一种新的做数学的方式。通过动态地调查问题情境及图像，所有得到的信息真实而充分地反映了问题情境，它有助于更好地理解问题，正是通过图像与情境之间的转换，使这一情境中许多隐蔽的方面被揭示出来，一开始不出现代数表达式，没有影响对数学的独特而深刻的理解，相反让学生知道图像是这一现象的模型，可以更好地体验现象的本质含义。但是，当最后介绍符号表达时，这一代数表达式就活起来了，因为这时，它表达了我们已经发现的信息，同时增加了新的领悟，这种新的做数学的模式为：考察不同的情境，并且通过它们之间动态地转换来实验性地探索几何现象。观察不仅有助于发现模式，而且它可能是顿悟及意义的源泉，是证明及进一步探索的基础。通过探索情境、解释它的表达（图像或符号）来获得几何情境的意义，将有助于理解情境及它的表达，用函数概念，建立几何情境的模型，揭示了它的动态性；同时，函数作为一个描述某种变化的模型，它的图像表达所描述的现象，进而，还体现了函数的全体性（函数作为一个整体，公式作为一个对象）和局部性（函数作为两个量之间的过程联系）这种双重性。总之，图像和函数用于描述被数学化的情境。上述问题中的数学知识之间的边界变得模糊：函数描述儿何现象，几何地解释图像性质及函数代数表达式，反之也然。33数学教学在新的教学理念指导下，教师的作用及教学策略必然会有相应的变化：比如，教师带着问题情境进人课堂，成为一个导演：在适当的时机提出适当的问题。要求学生作出预测：鼓励学生学习对问题的表达。（比如，“预测图像的形状”）要求学生对看到的情况给出明确的说明（比如，“为什么图像结果不是对称”）；帮助学生去弄明白为什么作出“不正确”的预测（比如，“一个图像对称意味着什么？”）；引导学生讨论，提出新情境，促进不同表达方式之间的互补；也许，这种通过对过程及内在联系的探索来揭示相关概念的教学策略，对改进过份强调“烧中段”的传统教学是一剂“解药”。在信息技术支持下的课堂教学环境中，以开放性问题为载体，师生共同活动为纽带的开放式数学应得到应有的重视。参考书目1黄毅英(2000)百年树人，还是只争朝夕？明报月刊，10月号，35-372江绍祥，潘世荣（2000) 信息科技与学校教反思与展望。香港：三联出版社。3黄毅英（2000）高科技下实物信息处理。（待发）4CollisB（1996）TheInternetasaneducationalinnovation：LessonsFormExperrencewithcomputerimplementationEducationalTechnology36（6）21一305Arcai，AHadasN，（2000），Computermediatedlearning：anexampleofanapproachInternationaljournalofcomputersformathematicslearning525一456Jiang，ZHMcclintock，E（2000