论文竞赛快速评卷策略(好).pdf

1 快速评卷策略快速评卷策略 第二组 摘要 摘要 竞赛后的评阅试卷过程往往需要很大的人力物力 如何评阅最少的试卷 与最少的评分误差就能将优胜者选出是本文解决的关键问题 首先我们对系统偏差进行定义 根据现实生活中的改卷情况 构建系统偏差模型 考虑系统偏差与改卷数量和改卷的顺序有关 还与评这份试卷的人数多少有关 阅卷人数与系统偏差假设呈线性关系 在一次评阅中首先根据这一次评卷的人数 确定因人数而造成的评分误差 1 pc 评卷过程中的评分误差按照先减小到最小值 再因评卷疲劳增大的趋势所确定的函数值 2 pc 二者之和构成了系统偏差 通过 每次分组方案的评卷过程中产生的系统偏差最大值 2max pc与第三名的成绩来确 定删除分数线 从而筛选出一定数量的试卷 统计试卷总数后 按照剩下的试卷 数确定下一轮的评分方法 通过对整个评卷过程系统偏差的值进行累加求和 得 到评分的总偏差除以评卷次数为这种方案下的平均评分偏差 并可以算出阅卷人 最小的阅卷份数 采用列举法将一些方案列出 根据计算机不断模拟打分 计算出各个方案的评卷 次数和系统偏差之和 取各方案中此两个值均较小的方案作为最佳评卷策略 根据模拟出的结果 进行分析之后得出分组方案还与试卷分数的方差有关 分数 离散度越大评卷的次数越小 分数越集中评卷的次数越大 关键词关键词 系统偏差计算机模拟评卷次数 2 1 1问题重述问题重述 在确定像数学建模竞赛这种形式比赛的优胜者时 常常要评阅大量的答 卷 比如说 有 P 100 份答卷 一个由 J 位评阅人组成的小组来完成评阅任务 基于竞赛资金 对于能够聘请的评阅人数量和评阅时间的限制 如果 P 100 通 常取 J 8 理想的情况是每个评阅人看所有的答案 并将它们一一排序 但这种方法工 作量太大 另一种方法是进行一系列筛选 在一次筛选中每个评阅人只看一定数 量的的答卷 并给出分数 为了减少所看答卷的数量 考虑如下的筛选方法 如 果答卷是排序的 则在每个评阅人给出的排序中排在最下面的 30 答卷被淘汰 如果答卷没有排序 而是打分 比如说从 1 分到 100 分 则某个截止分数线以 下的答卷被淘汰 这样 通过筛选的答卷重新放在一起返回给评阅小组 重复上述过程 人们 关注的是 每个评阅人看的答卷总数要显著地小于 P 评阅过程直到剩下 W 份答 卷时停止 这些就是优胜者 当 P 100 通常取 W 3 你的任务是利用排序 打分及其他方法的组合 确定一种筛选方法 按照这 种方法 最后选中的 W 份答卷只能来自 最好的 2W 份答卷 所谓 最好的 是指 我们假定存在着一种评阅人一致赞同的答卷的绝对排序 例如 用你给 出的方法得到的最后 3 份答卷将全部包括在 最好的 6 份答卷中 在所有满足 上述要求的方法中 希望你能给出使每个评阅人所看答卷份数最少的一种方法 注意在打分时存在系统偏差的可能 例如 对于一批答卷 一位评阅人平均 给 70 分 而另一位可能给 80 分 在你给出的方法中如何调节尺度来适应竞赛参 数 P J 和 W 的变化 2 2假设与符号假设与符号 模型假设 模型假设 1 评委的评分具有相对客观性 每份卷子得分的系统偏差是由评委评阅卷子的 数量造成的疲劳和每位评委的偏好引起的 2 卷子是密封的 评委不会知道评阅的卷子来自那里 3 P 份试卷客观上存在优劣 加上得分的系统偏差 逼近客观分 就可以按一 定的原则决定是否筛选 4 每位评卷老师只对分得的卷子评阅一次 不存在回头重新打分 5 每一组里每一份试卷的编号是随机的 等可能性的 6 抽样出来的试卷 不记到评委评卷的数量中 7 系统偏差的大小就可以反映本次评分的客观 公平程度和确保最好的试卷一 定会被评选出来 且有效的减少了评委的工作量 8 评委有可能评同一份试卷不止一次 3 符号说明 符号说明 i x 第i阶段 每一个小组的评委数 i Z 第i阶段的小组数 i N 第i阶段时还剩的试卷数 S 给个评委评卷数量 a 系统偏差基值 其他符号见文中说明 3 3模型的建立与模型的建立模型的建立与模型的建立 3 13 1 模型的准备模型的准备 名词解释名词解释 该份卷子的客观分数该份卷子的客观分数 所有评卷人看完该份卷子给出的分数相加除以评卷总人数 J 系统偏差 系统偏差 该份卷子的实际分数与客观分数之间的差异 系统偏差的基值系统偏差的基值 a a J 位评卷人对一份试卷评分的最大值与最小值的差 系统偏差的基值系统偏差的基值 a a 的求法 的求法 通过对 P 份试卷先进行随机抽样 n 份 这 n 份试卷 J 位评委都要看 记录评 委对每一份试卷的打分 i a 这份试卷评分的最大值与最小值的差 则 1 n i i a a n 3 23 2问题的分析 问题的分析 减少评委工作量可行性分析减少评委工作量可行性分析 由于最后要选出 W 份最好的试卷 且 P 份试卷客观上存在优劣 则对评委的打分 加以修正得到一个得分的区间 试卷的真实分数就在这个范围 再把试卷汇总 按得分区间进行统计 筛选 剩下的试卷开始下一轮的评分和筛选 且满足最好 的 W 份答卷在下一轮的评卷过程中 每一轮的评分后 试卷数量不断减少 以此 达到减少评委工作量的优化工作 4 系统偏差模型的建立系统偏差模型的建立 一方面 每一份卷子得分的系统偏差 1 pc与 x 个评卷人是否看过该卷子有 关 当 x J 时 理想情况 不妨设此时的 1 pc 0 x 1 时 1 pc a 多少人评阅 该份卷子造成的系统偏差不妨设存在一个线性关系 则有 0 11 apca Jx 化简得 1 11 aaJ pc xx JJ 1 xJ 另一方面 每一份卷子得分的系统偏差 2 pc与评委评阅卷子的数量 n 有关 评阅第一份试卷时 由于没有参照标准且根据我们的假设又必须打出一个分数 则这个分数会存在较大的误差 随着卷子的增多 评阅卷子的个体误差会越来越 少 不妨假设评委评完所分卷子的一半时 评卷的误差最小 之后这个误差又会 因为评卷的疲劳而逐渐加大 容易想到 2 cos yx 这个函数 因为考虑x 0 时 有 2 x 0y 0 x 1y x 1y 满足我们的假设规律 中间小 两端大 构 造 这 种 形 式 的 函 数 2 2 cos pc nA Nn 1 nN 其中 A N 为这一评委评阅 N 份试卷存在的最大偏差 A N 这 个函数与每位评委的工作能力有关 N 较小时 A N 也较小 随着 N 的增大 A N 会趋向一定值max A N n 需满足 n 1 时 n 0 2 N n 时 n 2 nN 时 n 由于有三个已知条件构造 2 nanbnc 得 5 23 2 2 23 22 23 2 0 32 2 22232 32 a abcNNN NNN abcb NNN aNbNcN c NNN 取 N 6 A 6 1 2 2 cos pc nA Nn 的图像如下 对于函数 A N 的确定 由于达到某一 N 时 A N 会趋向一定值 max A N 这里我们考虑 1 1 x u f x e 这个形式的函数 此函数具有随着 x 的增 大0 x u e 最后函数值趋近于 1 对于我们的分析随着 N 的增大 最后函数值趋近于 max A N 可得 6 max 1 N u A N A N e u 为我们发生指数递减变化的基值 不妨设 u 10 即 评委每多评 10 份试卷就会发生指数递减变化 max A N的估计值 对于一百分的卷子 我们认为一份卷子有 10 分的误差就很 大了 所以 max A N 10 综上分析得 10 10 1 N A N e 10 50 N 函数图像如下 2 2 cos pcA Nn 则一份卷子总的得分系统偏差12 pcpcpc 3 33 3模型的建立模型的建立 多阶段逐步优化问题多阶段逐步优化问题 有 P 份试卷 J 名评委 最后确定 W 份最好的试卷 这一过程显然要分为 m 个阶段 每一阶段每个评分小组分到 1 2 1 iii x im xJx 为整数名评 7 委 每 一 阶 段 有 i i J Z x 个 小 组 每 一 阶 段 每 个 小 组 分 到 ii Ni12 mN i W 为整数 N 份答卷 i 1 时 1 1 P N Z 份 i 为其他 时 1 1 i Z iij j NWw 份试卷 在这个过程中每名评委评卷的最少数量 为 1 1 m im i SNN 且不存在两个评委打分相差很大 还要再互相交换评选 的情况 由 10 10 1 N A N e 这一评卷过程的极限的系统偏差为 10 则这一批试 卷评卷分数的最大误差为 A N 对排列出来的卷子进行排序后取第 W 名卷子的 成绩减去 A N 得到我们的删去分数 sq w 为第 W 名试卷到删去分数线上保留 的试卷数 由上面的分析 m 和i w 确定了评分过程的精确度 定性分析为 m 和i w 越大 越小 求解他们之间的定量关系求解他们之间的定量关系 由上面系统偏差的分析 pc 是关于 x 和每一阶段评卷数量 ii N和n 的函数 每一 阶段的评分误差 2 1 1 i N i n ii i pc N n pc x N 1 m i i m 目标函数 m inm ino b jectS 8 3 43 4模型求解 模拟试探法找出最优方案模型求解 模拟试探法找出最优方案 P 100 份 J 8 人 W 3 份 由上面的分析经过 m 轮评卷可以得到最好的 W 份试卷 当 J 8 时 为了使每个小组的评委人数相等 i x 只能取 1 2 4 8 依次被分成 8 组 4 组 2 组 1 组 则本题的分组数目是有限的 方案的一种情况方案的一种情况 方差较大 方差较大 第一轮评卷时 如果一个小组两名评委 因评委差异造成的误差为 1 2 pc 6 7 a N 25 时 A N 9 24 得删去分数线 sq cj W A N 由于评委差异造成的 误差 a 在这一批卷子中广泛存在 对每一个评分小组不予考虑 但对所有试卷的 评分误差应当考虑 用计算机编程模拟一次可得按这种方式评卷第一轮后剩下的 试卷 结果如下 每组模拟评卷平均值每组模拟评卷平均值 第一组第一组 50 458650 517952 563854 384661 849864 009364 029864 600965 4395 69 390469 442370 073871 494471 825672 286776 520779 910383 703 84 374785 066891 212891 347191 385194 177396 7922 第二组第二组 55 935657 580958 879460 326362 410264 029267 136669 456470 9323 72 164372 385573 949974 323875 928379 130480 3782 149182 5952 84 665288 126290 498492 824694 850795 70898 5792 第三组第三组 50 170252 760857 114957 962257 98558 183259 976560 382761 6532 62 957866 453666 958570 392171 494381 119481 153681 846588 7509 88 907689 224989 870590 093895 717598 87999 2625 第四组第四组 51 165751 310356 9658 138459 111562 646465 809968 301669 7578 72 305173 373475 591776 009176 490278 849579 550882 615484 0492 84 220784 364492 567693 398693 549593 57897 9657 删去分数线 第一小组 11 sq 91 3851 9 24 82 15 分 第二小组 12 sq 94 8507 9 24 85 61 分 第三小组 13 sq 95 7175 9 24 86 48 分 第四小组 14 sq 93 5495 9 24 84 31 分 9 经过这样的评卷方式后 一轮后只剩下 28 份试卷 红色标记的为进入下 一 轮 评 选 的 试 卷 平 均 每 份 试 卷 的 评 分 误 差 由 2 1 1 i N i n ii i pc N n pc x N 为 6 7 a 4 8 第二轮评分过程 经过一轮筛选后 由于剩下 28 份试卷 每组两名评委 因评委差异造成的误差为 1 2 pc 2826 18 17 J aaa J 则需分成 4 组 每组 7 份 试卷 当 N 7 时 A N 6 6819 同第一问的处理得到删去分数线 用计算机编程模拟一次可得按这种方式评卷第一轮后剩下的试卷 结果如 下 每组模拟评卷平均值每组模拟评卷平均值 第一 组63 459765 709670 222571 091686 655988 319391 0578 第二 组61 202661 576869 189779 802584 116985 917993 8273 第三 组63 53875 073275 354576 017776 311790 700695 6564 第四 组61 02778 476279 735682 458796 867899 303199 7591 删去分数线 第一小组 11 sq 86 6559 6 6819 79 974 分 第二小组 12 sq 84 1169 6 6819 77 435 分 第三小组 13 sq 76 3117 6 6819 69 6298 分 第四小组 14 sq 96 8678 6 6819 90 1859 分 经过这样的评卷方式后 第二轮后只剩下 16 份试卷 平均每份试卷的评分 误差由 2 1 1 i N i n ii i pc N n pc x N 为 6 7 a 3 9 第三轮评分过程 经过一轮筛选后 由于剩下 16 份试卷 每组四名评委 因评委差异造成的误差为 1 4 pc 4844 18 17 J aaa J 则需分成 2 组 每组 8 份 试卷 当 N 8 时 A N 6 8997 同第一问的处理得到删去分数线 用计算机编程模拟一次可得按这种方式评卷第一轮后剩下的试卷 结果如 下 10 每组模拟评卷平均值每组模拟评卷平均值 第一组74 526275 689675 802979 082979 138586 250290 466790 937 第二组81 351284 896687 806989 347394 648995 609795 800396 9931 删去分数线 第一小组 11 sq 86 2502 6 8997 79 3505 分 第二小组 12 sq 95 6097 6 8997 88 71 分 经过这样的评卷方式后 第三轮后只剩下 8 份试卷 平均每份试卷的评分 误差由 2 1 1 i N i n ii i pc N n pc x N 为 4 7 a 4 第四轮评卷 当剩下的试卷较少时 八位评委同时评判评这些试卷 选出前 三名 误差为 0 则一名评委在这评卷过程中最少判了 8 25 7 8 48 份 判分平均误差为每 一阶段判分平均误差相加除以判分阶段 得 6 7 a 4 8 6 7 a 3 9 4 7 a 4 0 4 4 7 a 3 2 方案的另一种情况方案的另一种情况 分差较小 分差较小 每组模拟评卷平均值每组模拟评卷平均值 第一组第一组 60 006860 676761 335862 047462 729762 816964 833566 229766 6474 68 25369 190570 06970 740572 299974 6375 446479 146679 828 80 21581 750381 815384 506886 115588 14688 9237 第二组第二组 61 784362 82164 70567 583570 34970 417370 631571 748572 4906 73 498474 099378 89679 52579 690581 552481 85882 269282 2893 84 98485 440386 074686 520788 193888 65388 7464 第三组第三组 60 001261 1561 745663 937165 534766 823167 550369 411969 7675 69 836571 402372 989773 567273 671874 167774 846275 245476 2656 79 679583 607785 271585 655985 892686 594486 9841 第四组第四组 61 959463 089364 022364 749564 902667 580770 261871 205771 2543 73 722274 520774 591974 881875 711176 971977 546678 292678 357 82 837883 976184 185985 295885 733686 51389 0838 11 删去分数线 第一小组 11 sq 86 1155 9 24 76 8755 分 第二小组 12 sq 88 1938 9 24 78 9538 分 第三小组 13 sq 85 8926 9 24 76 6526 分 第四小组 14 sq 85 7336 9 24 76 4936 分 经过这样的评卷方式后 一轮后只剩下 40 份试卷 平均每份试卷的评分误 差由 2 1 1 i N i n ii i pc N n pc x N 为 6 7 a 4 8 第二轮评分过程 经过一轮筛选后 由于剩下 40 份试卷 每组两名评委 因评委差异造成的误差为 1 2 pc 2826 18 17 J aaa J 则需分成 4 组 每组 10 份 试卷 当 N 10 时 A N 7 3106 同第一问的处理得到删去分数线 每组模拟评卷平均值每组模拟评卷平均值 第一 组65 774667 185570 017471 716974 696875 341278 96479 010379 637584 6064 第二 组66 230266 659567 395970 104371 484576 073778 658780 15480 924988 3307 第三 组67 398971 227674 357375 875780 737581 041984 959886 957788 121989 5285 第四 组66 617366 701268 63369 28872 108674 270178 187178 620278 641185 9094 删去分数线 第一小组 11 sq 79 0103 7 3106 71 6997 分 第二小组 12 sq 80 154 7 3106 72 8434 分 第三小组 13 sq 86 9577 7 3106 79 6451 分 第四小组 14 sq 78 6202 7 3106 71 3096 分 经过这样的评卷方式后 第二轮后只剩下 24 份试卷 平均每份试卷的评分 误差由 2 1 1 i N i n ii i pc N n pc x N 为 6 7 a 4 2 12 第三轮评分过程 经过一轮筛选后 由于剩下 24 份试卷 每组 2 名评委 因评委差异造成的误差为 1 4 pc 4844 18 17 J aaa J 则需分成 4 组 每组 6 份 试卷 当 N 6 时 A N 6 4566 同第一问的处理得到删去分数线 An 6 4566 每组模拟评卷平均值每组模拟评卷平均值 第一组72 409972 679480 294786 480287 695789 2727 第二组70 965877 539177 60378 027878 255878 4199 第三组73 259677 481383 403284 97388 146789 2368 第四组70 771277 446279 084781 248685 855785 9046 删去分数线 第一小组 11 sq 86 4802 6 4566 80 0236 分 第二小组 12 sq 78 0278 6 4566 71 5712 分 第三小组 13 sq 84 973 6 4566 78