2015高考数学二轮复习热点题型-专题三十八 合情推理与演绎推理.doc

专题三十八 合情推理与演绎推理【高频考点解读】1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异【热点题型】题型一 合情推理例1、平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1；外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则()A.B.C.D.解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为13，故.答案：D【提分秘籍】 1合情推理是合乎情理的推理，它包括归纳推理和类比推理，它们都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理2在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑，否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误3. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类(1)数的归纳包括数学归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳【举一反三】用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n条“金鱼”需要火柴棒的根数为_ 解析：由图形间的关系可以看出，第一个图中有8根火柴棒，第二个图中有86根火柴棒，第三个图中有826根火柴棒，以此类推第n个“金鱼”需要火柴棒的根数是86(n1)，即6n2. 答案：6n2【热点题型】题型二 演绎推理例2、已知函数f(x)(a0且a1)(1)证明：函数yf(x)的图象关于点对称；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值【提分秘籍】1.在数学中，通常由已知条件归纳出一个结论，或运用类比推理给出某个结论，再运用演绎推理进行严格证明也就是说，合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的在前提和推理形式都正确的情况下，通过演绎推理所推出的结论一定是正确的2. 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提【举一反三】“因为指数函数yax是增函数(大前提)，而yx是指数函数(小前提)，所以yx是增函数(结论)”，上面推理的错误是()A大前提错导致结论错B小前提错导致结论错C推理形式错导致结论错D大前提和小前提错都导致结论错解析：yax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错 答案：A 【热点题型】题型三 类比推理例3、已知数列an为等差数列，若ama，anb(nm1，m，nN*)，则amn.类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn0，nN*)，若bmc，bnd(nm2，m，nN*)，则可以得到bmn_.【提分秘籍】 类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移【举一反三】在等比数列an中，若r，s，t是互不相等的正整数，则有等式aaa1成立类比上述性质，相应地，在等差数列bn中，若r，s，t是互不相等的正整数，则有等式_成立【热点题型】题型四 情推理与证明的交汇创新问题 例4、某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： sin213cos217sin 13cos 17； sin215cos215sin 15cos 15； sin218cos212sin 18cos 12； sin2(18)cos248sin(18)cos 48； sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论【提分秘籍】1.解决本题的关键(1)正确应用三角恒等变换，用一个式子把常数求出来(2)通过观察各个等式的特点，找出共性，利用归纳推理正确得出一个三角恒等式，并给出正确的证明2. 合情推理与证明的交汇问题是近年来高考命题的又一创新点，三角恒等式的推理与证明相结合出现在解答题中，解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性，然后把这种相似性推广到一个明确表达的一般命题，最后进行证明检验【举一反三】已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值试对双曲线1写出具有类似特征的性质，并加以证明【高考风向标】 1（2014北京卷） 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A2人 B3人 C4人 D5人 2（2014北京卷） 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，(an，bn)，记T1(P)a1b1，Tk(P)bkmaxTk1(P)，a1a2ak(2kn)，其中maxTk1(P)，a1a2ak表示Tk1(P)和a1a2ak两个数中最大的数(1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P：(c，d)，(a，b)，试分别对ma和md两种情况比较T2(P)和T2(P)的大小；(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值(只需写出结论) 3（2014福建卷） 若集合a，b，c，d1，2，3，4，且下列四个关系：a1；b1；c2；d4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是_综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.4（2014新课标全国卷 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_ 5（2014陕西卷） 观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_【答案】FVE2【解析】 由题中所给的三组数据，可得5692，66102，68122，由此可以猜想出一般凸多面体的顶点数V、面数F及棱数E所满足的等式是FVE2.6(2013年高考湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n.记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n.正方形数N(n,4)n2，五边形数N(n,5)n2n，六边形数N(n,6)2n2n，可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.解析：由题意可知N(n，k)由两项构成，第一项的系数依次构成首项为，公差为的等差数列，第二项的系数依次构成首项为，公差为的等差数列，因此N(n，k)n2nn2n，所以N(10,24)1110010101 000.答案：1 0007（2013福建卷）当xR，|x|0，b0，则ln(ab)blna；若a0，b0，则ln(ab)lnalnb；若a0，b0，则lnlnalnb；若a0，b0，则ln(ab)lnalnbln 2.其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)【答案】【解析】 中，当ab1时，b0，a1，ln(ab)ln abbln ablna；当0ab0，0a1，ln(ab)blna0，正确；中，当0ab1时，左边ln(ab)0，右边lnalnbln a0ln a0，不成立； 9（2013陕西卷） 观察下列等式：1211222312223261222324210照此规律，第n个等式可为_【随堂巩固】 1通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R2”猜想关于球的相应命题为()A半径为R的球的内接六面体中，以正方体的体积为最大，最大值为2R2B半径为R的球的内接六面体中，以正方体的体积为最大，最大值为3R3C半径为R的球的内接六面体中，以正方体的体积为最大，最大值为D半径为R的球的内接六面体中，以正方体的体积为最大，最大值为解析：正方形类比到空间的正方体，即半径为R的球的内接六面体中，以正方体的体积为最大，此时正方体的棱长a，故其体积是3.故选D.答案：D2如果正整数a的各位数字之和等于6，那么称a为“好数”(如：6,24,2 013等均为“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a1，a2，a3，若an2 013，则n()A50B51C52 D53 3正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin (x21)是奇函数，以上推理()A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确解析：由于f(x)sin(x21)不是正弦函数，故小前提不正确答案：C4当x(0，)时可得到不等式x2，x23，由此可以推广为xn1，取值p等于()Ann Bn2Cn Dn1 5设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体SABC的体积为V，则R()A. B.C. D. 6给出下列三个类比结论：(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2.其中结论正确的个数是()A0 B1C2 D3解析：只有正确答案：B7如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数学2,3出现在第2行；数字6,5,4(从左至右)出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，依次类推，则(1)按网络运作顺序第n行第1个数字(如第2行第1个数字为2，第3行第1个数字为4，)是_；(2)第63行从左至右的第3个数字应是_ 8定义映射f：AB，其中A(m，n)|m，nR，BR，已知对所有的有序正整数对(m，n)满足下述条件：f(m,1)1；若nm，f(m，n)0；f(m1，n)nf(m，n)f(m，n1)，则f(2,2)_，f(n,2)_. 9平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S底高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的；请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论 10在数列an中，a11，an1，nN*，猜想这个