2习题解答.doc

习题解答2-1什么是信号？信号处理的目的是什么？2-2信号分类的方法有哪些？2-3求正弦信号的均方值。解：也可先求概率密度函数：则：。2-4求正弦信号的概率密度函数p(x)。解： txT1-T1T-T代入概率密度函数公式得：2-5求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱解 在x(t)的一个周期中可表示为该信号基本周期为T，基频w0=2p/T，对信号进行傅里叶复指数展开。由于x(t)关于t=0对称，我们可以方便地选取-T/2tT/2作为计算区间。计算各傅里叶序列系数cn当n=0时，常值分量c0：当n0时，最后可得注意上式中的括号中的项即sin (nw0 T1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数cn可表示为其幅值谱为：，相位谱为：。频谱图如下：2-6设cn为周期信号x(t)的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。即：若有则 证明：若x(t)发生时移t0（周期T保持不变），即信号x(t- t0)，则其对应的傅立叶系数为令，代入上式可得因此有同理可证证毕！2-7求周期性方波的（题图2-5）的幅值谱密度解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频以及所有谐频处，其脉冲强度为被的函数所加权。与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。2-8求符号函数的频谱。解：符号函数为 可将符号函数看为下列指数函数当a0时的极限情况解 2-9求单位阶跃函数的频谱：解：单位阶跃函数可分解为常数1与符号函数的叠加，即所以：2-10求指数衰减振荡信号的频谱。解： 2-11设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的频移特性即：若则证明：因为又因为证毕！2-12设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的共轭和共轭对称特性即：若 则式中x*(t)为x(t)的共轭。证明： 由于 上式两端用 -f 替代 f 得上式右端即为x*(t)的傅里叶变换，证毕！特别地，当x(t)为实信号时，代入x*(t)= x(t)，可得X(f)共轭对称，即2-13设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的互易性即：若 则 证明：由于 以 -t 替换 t 得上式 t 与 f 互换即可得即 证毕。特殊情况,当为偶函数时，2-14用傅里叶变换的互易特性求信号g(t)的傅里叶变换G(f)，g(t)定义如下：且已知解：当a=2p，不难看出g(t)与X(f)非常相似。代入a=2p，根据傅里叶变逆换有等式两端同时乘以2p，并用-t替代变量t得交换变量t和f得上式正是g(t)的傅立叶变换式，所以例2-4 求如图2-27（a）矩形脉冲信号x(t)的频谱密度，已知解：根据式（2-71），信号的傅里叶变换为该矩形脉冲信号的频谱密度如图2-27（b）所示，它是一个sinc（t）型函数，并且是连续谱，包含了无穷多个频率成分，在处，幅值谱密度为零，与此相应，相位出现转折，这表明了幅值谱密度与相位谱密度之间的内在关系，在正频率处为负相位，在负频率处为正相位。图2-27 矩形脉冲信号的频谱密度（a）（c）（b）（d）2-15所示信号的频谱式中x1(t), x2(t)是如图2-31b），图2-31c）所示矩形脉冲。解：求得x1(t), x2(t)的频谱分别为和根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得： 图2-31例2-3已知单位阶跃函数，信号，求的频谱密度。解：由式（2-71）所以，幅值谱密度和相位谱密度分别为：如图2-26所示。（a）幅值谱密度 （b）相位谱密度图2-26 的频谱密度2-16求信号x(t)的傅里叶变换解： 注意到x(t)为实偶函数， t 0 时，t0 时，所以，根据线性叠加特性又根据时间比例特性有，所以最后得在实际应用中，一般为的实数则2-17已知信号x(t)试求信号x(0.5t) ，x(2t)的傅里叶变换 解：由例可知x(t)的傅里叶变换为根据傅里叶变换的比例特性可得如图2-32所示,由图可看出，时间尺度展宽(a1.0)会导致其频谱频带变宽,且向高频端扩展,这种情况为我们提高信号分析速度提供了可能。11题图2-17 时间尺度展缩特性示意图2-18求同周期的方波和正弦波的互相关函数解：因方波和正弦波同周期，故可用一个周期内的计算值表示整个时间历程的计算值，又根据互相关函数定义，将方波前移秒后计算：2-19求信号的自相关函数。解：由定义其中积分的被积函数的非零区间为的交集，即。因此，当时，上式为当时，则有综合有2-20下面的信号是周期的吗？若是，请指明其周期。（1） （30）（2） （12）（3） （）（4） （8）2-21如图所示，有个脉宽为的单位矩形脉冲等间隔（间隔为）地分布在原点两侧，设这个信号为，求其FT。解：由题意，其中，其FT为。根据FT的时移特性，可以求得下面分析一下所求的结果。当时，由罗彼塔法则可以求得，因此，是单个矩形脉冲频谱的N倍，这是N个矩形脉冲的谱相互叠加的结果；而当（m不是N的倍数）时，这是N个谱相互抵消的结果。见图（b）。可以看出，如果N不断增大，这些等间隔分布的矩形脉冲的频谱能量逐渐向离散点处集中，而且幅度也越来越大。特别地，当时，时域信号变成了周期矩形脉冲信号，而频域则变成了只在离散点处有值的离散谱，在这些点处的频谱幅度变成了冲激信号（因为能量趋于无穷大）。这也应验了：借助于冲激信号，周期信号也存在FT。2-22“时域相关性定理”可描述如下试证明。下面给出两种证明方法。证明1：这里利用式：，是FT的“反褶共轭”性质。证明2：根据相关运算与卷积运算之间的关系利用FT的“反褶共轭”性质，可以直接得到结论。在式中，令，则可得自相关的傅里叶变换式中说明，“函数相关