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一 选择题 一 选择题 1 在优化设计中 根据约束性质的不同 可将设计约束分为 B B A 区域约束和边界约束 B 区域约束和性能约束 C 性能约束和性 态约束 2 在优化设计数学模型中 等式约束的个数必须 C C 设计变量的维数 A 大于 B 等于 C 小于 3 对于优化设计问题 若目标函数的等值线愈靠近中心 内层 则对应函数值 A A A 愈小 B 愈大 C 趋于无穷大 4 二次型函数系数矩阵正定的充要条件是系数矩阵的各阶主子式 C C A 均小于零 B 均等于零 C 均大于零 二 填空题 二 填空题 1 优化设计目标函数的等值线簇可分为 和 两类 答案 答案 有心 椭圆 和无心 2 内 点 法 的 初 始 点 必 须 是 外 点 法 的 初 始 点 可 以 是 答案 答案 内点 内点或外点 3 约束最优解的最优值 无约束最优解的最优值 答案 答案 大于或等于 4 梯度法中相邻迭代点的梯度是相互 A 共轭的 B 正交的 C 平行的 D 重合的 答案 答案 B 三 问答题 三 问答题 1 数值迭代计算中 通常采用哪三种终止条件 答 答 1 梯度准则 当迭代点处的目标函数梯度的模已很小时 即 k x 1 k f x 便可以终止迭代计算 取 k xx 2 函数下降量准则 当目标函数值的下降量很小时 即可终止计算 当 1 1 k f x 取 2 1 1 k kk f ff x xx 否则 取 3 1 kk ffxx 3 点距准则 当相邻两个迭代点非常接近时 即 4 1 kkk Sxx 或 5 1 1 k i k i ni xxmax 可以认为 k xx 2 根据 爬山法 思想所构造的优化计算方法的基本规则是什么 3 何谓优化设计的数学模型 试写出有约束优化设计数学模型的标准格式 答 答 优化设计数学模型是对实际问题的特征或本质的抽象 是反映各主要因素 之间内在联系的一种数学形态 优化设计数学模型的标准格式如下 npvh mugts v u 2 1 0 2 1 0 L L x x Rf n minXxx 4 简述最速下降优化设计方法的特点 答 答 最速下降法是取目标函数的负梯度方向作为搜索方向 该法迭代过程简单 存储量小 对初始点的选择要求低 尤其是在远离函数极小点的地方 函 数值下降较快 但是 由于所谓的最速下降方向 函数在某点的负梯度 方向 仅是对该点而言 一旦离开了该点 其方向就不再是最速方向了 因此沿某点的负梯度方向寻优 并不总是具有最速下降放下的性质 5 简述优化设计目标函数等值线的分布规律与函数值变化规律之间的定性关系 答 答 1 愈靠近内层的等值线 对应的函数值愈小 2 等值线较密的部位 其函数值变化率较大 3 对有心等值线簇而言 其中心就是一个相对极小点 4 对无心等值线簇而言 其相对极小点在无限远处 6 简述优化设计问题的设计可行域含义 简述优化设计问题的设计可行域含义 答案 答案 在优化设计问题中 所有不等式约束的约束面共同构成一个复合约束面 它所包围的区 域是设计空间中满足所有不等式约束条件的空间 该区域称为设计可行域 若用符号 D 表 示 设计可行域记为 muxgxD u 2 10L 当 n 维优化设计问题有 m 个不等式约束和 p 个等式约束时 其设计可行域表示为 0 0 xh xg xD v u npv mu 2 1 2 1 L L 7 简述函数梯度的性质 7 简述函数梯度的性质 答案 答案 1 梯度矢量 xf 与过点 x 的等值线的切线正交 2 负梯度矢量 xf 方向是函数在 x 点处的最速下降方向 四 计算题 四 计算题 1 1 写出用外点法和用内点法求解 xXf n RDX min 01 xXgD最优化问题的 惩罚函数 解 解 1 若用外点法求解此约束最优化问题 惩罚函数为 k rX x k r 21 0min x 式中 k r为递增正值数列的外点法罚因子 将写 k rX 成如下形式 k rX 3 3 对于如下优化设计数学模型 04 2 3 min 21 2 2 2 1 xxhts xxf x x 试画出约束线以及目标函数值分别为 1 4 9 时的三条等值线 并从几何角 度分析确定最优点和目标函数的最优解 解 解 等值线为圆心位于 3 2 的圆 等式约束线上离该圆心最近的点即为最优 点 即x x 2 5 1 5 T 目标函数最优解为f x x 0 5 6 5 4 x2 x1 f x 1 f x 4 f x 9 x 2 5 1 5 T 3 2 1 6 5 4 3 2 1 4 4 对一个约束优化问题 minf x x1 2 2 x 2 1 2 s t g1 x 4 x1 x2 2 0 g2 x x1 0 g3 x x2 0 画出目标函数的等值线和约束曲线 并回答 1 1 1 1 T是可行点还是不可行点 2 2 3 2 T是内点还是外点 3 哪些范围是可行域 用阴影线画出 4 哪些约束是性能约束 哪些约束是侧面约束 5 指出无约束最优点和约束最优点 5 5 设某无约束优化问题的目标函数是f x x1 2 2x 2 2 已知初始迭代点X 0 1 1 T 第一次迭代所取的方向d 0 2 4 T 步长 0 0 1 试计算 1 第一次迭代计算所获得的迭代点X 1 2 计算X 0 X 1 处的目标函数值f X 0 f X 1 3 分别用三种迭代终止准则判断第一次迭代后能否终止迭代 设迭代精 度 0 01 6 6 试用牛顿法求目标函数极小点 设初始点 求下一个迭代点 21 2 2 2 121 2860 xxxxxxxf Tx00 0 解 解 点处的函数梯度 Hesse 矩阵分别为 Tx00 0 0 x 2 8 22 82 0 0 12 21 2 0 1 0 0 2 1 x x T xx xx x xf x xf xf 21 12 22 0 2 12 0 2 21 0 2 11 0 2 0 2 0 xx xf xx xf xx xf xx xf xfxH 0 xH的伴随矩阵为 其行列式 21 12