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几何画板 在数学解题变式中的应用和体现 耿秀荣 桂林航天工业高等专科学校 计算机系 广西 桂林 541004 摘 要 为了揭示问题的本质和规律 人们可以从不同侧面对数学题目进行研究 这就用到解题变式的三 种形式 一题多解 一题多变和多题归一 作为一种现代教育技术手段 几何画板 具有追踪轨迹 实时计 算等功能 因此 为了降低认知负荷 它可以用以实施解题变式 同时 在数学解题变式中应用 几何画板 能够增加学生的内在驱动力和学习主动性 能够培养学生的学习兴趣和创新能力 关键词 几何画板 数学解题变式 应用 中图分类号 O1 8 文献标识码 A 文章编号 1673 9639 2011 01 0141 04 根据变式教学的理论 在进行数学解题教学时 常常需 要对题目实施解题变式 而解题变式主要有三种形式 一题 多解 一题多变和多题归一 每一种方式都从不同侧面对题 目进行研究 进而揭示该问题的本质和规律 作为进行数学变式教学的一个工具和载体 现代教育技 术手段可应用于教学实践 现代化多媒体教学手段具有直观 性 交互性和即时性等优点 运用现代化多媒体教学手段 可以更方便地实施解题变式 从而做到事半功倍 几何画板 以其 动态的保持几何关系 的突出特点 让人们在不断变 化的几何图形中 研究不变的几何规律 而这恰恰符合数学 变式教学的要求 1 基于此 本文拟对 几何画板 在数学解题变式中的应 用进行研究 1 几何画板 在一题多解中的应用 一题多解就是针对同一个数学问题 要求学生在一定的 知识和能力范围内尽可能地给出不同的解决方法 利于培养 学生从不同角度 不同侧面去分析问题 解决问题的能力 属于解法变式 一题多解有两种方式 2 1 同一个数学问题 在同一 数学学科中采用不同的数学原理去解决 从而形成不同的解 法 2 同一个数学问题 采用不同数学学科的方法去解决 从而形成不同的解法 在第二种解题方式中 为了揭示数学 各学科研究事物数形关系的不同方法及其联系 我们不妨以 运用几何法解决代数问题为例进行探讨 例 1 1 sin lim 0 x x x 对此 完全能够运用单位圆进行证明 3 限于篇幅 略 除了这种严格证明以外 为了生动展现问题本质 探询 问题的不同解法 我们运用 几何画板 的直观性 即时性 等特点 设置不同情境 实施变式 以便观察 比较 运用 几何画板 先画出函数 x x y sin 的图像 从整体 上把握它的趋势 然后 打开计算器 具体计算 x xsin 的数值 对x的取值实施变式 便得到 x xsin 的相应数值 见图 1 中的 表格 下面 仔细观察当0 x时 x xsin 的数值变化情况 当按下动画按钮或拖动点 P 从原点的左右两侧逼近原点的时 候 我们就会发现 x xsin 的值趋近于 1 从这种变化中 我们 可以得到1 sin lim 0 x x x 如图 1 一题多解是发散性思维在解法方面的体现 其目标是证 题或解题 从变式教学角度看 它属于多解变式 各种解法 以不同的论证方式 反映了条件和结论之间必然的 本质的 联系 而基于 几何画板 的变式方法 可以拓宽我们的视 野 为我们提供新的解法和思路 收稿日期 2010 11 24 作者简介 耿秀荣 1970 女 山东临沂人 桂林航天工业高等专科学校 副教授 硕士 主要从事运筹学 数学课程与教学论研究 第13卷 第1期 铜 仁 学 院 学 报 Vol 13 No 1 2011 年 1 月 Journal of Tongren University Journal of Tongren University Jan 2011 142 铜仁学院学报 2011年 2 几何画板 在一题多变中的应用 研究一个较为复杂的问题时 我们可以先对原问题实施 变式 把它化为若干个较为简单的变式问题 这就是一题多 变 一题多变属于题目变式 主要是从变式手段和题目的封 闭性等方面对题目进行变化 从而得到一系列新题目 下面 我们通过例子来体会 几何画板 在一题多变中的具体应用 例 2 描绘函数 a nx exf 2 2 1 的图形 探索图像 与参数n和a之间的关系 描绘函数图形是 一元函数微分学的应用 部分的一个 难点 一般的方法是根据函数的性质 如单调性 凹凸性 极值点 拐点等 推断出函数的形状 再取特殊点确定函 数图像的位置 进而得到函数的最终图像 在本题中 因为n 和a都是参数 每取一对数值 它们都对应于不同的题目 这样 一个题目就变成了多个题目 如果我们运用手工逐一 画出其图像 然后再研究图像与n a的关系 工作量很大 且由于缺乏形象性和生动性 往往造成认知和理解上的困难 另一方面 学生画出的图像粗略 而且错误在所难免 这就 容易让他们对自己的图像和由此分析出的结果缺乏信心 而 运用 几何画板 会使原本复杂的画图过程变得简单 快捷 在本题中 欲研究图像与参数n和a的关系 需要通过 设置参数进行动态观察 见图 2 直线nx 是函数的对称轴 若固定a的值 选中参数值n 然后按动 或 我们 就会观察到函数图像随着参数值n的变化而像尺蠖一样左右 运动 若固定n的值 选中参数a 然后按动 或 则函数单调性 凹凸性 极值点 拐点和渐近线等也会发生 相应的变化 当参数a取负值时 图像变为开口向上的形状 见 图3 特 别 地 当0n 和2n 时 就 是 2 2 2 1 x exf 这是标准正态分布的函数图像 拖动点 P 可以得到点 P 在任意位置时相应的坐标 即 得到函数在任意点时的函数值 利用该图像 我们可以得到 并验证函数的性质 单调性 凹凸性 极值点 拐点 渐近 线等 在探索图像与参数n和a之间的关系时 我们运用 几 何画板 得到直观 生动 准确的图像 进而让学生在这些 图像中领悟到其中所蕴涵的数学规律 3 几何画板 在多题归一中的应用 多题归一 要求学生在一题多变的基础上 分析不同题 目的共同本质 发现它们的共同点和一致性 从而形成普适 性的解题规律和思想方法 也就是说 让他们找到 万变不离 其宗 的 宗 可见 多题归一是一题多变的逆过程 利用 几何画板 的 追踪踪迹 4 等功能 我们可以 探索函数参数的变化及其所引起的函数图像变化 进而寻找 其 宗 例 3 在函数 sin bar 中 探索参数a b所起的 作用 第一步 探索参数a所起的作用 打开 几何画板 设 置参数a 选中 绘制新函数 绘制函数 3sin ar 的 图像 选中 显示 中的 追踪 功能 固定 的值 选中 参数a 然后按动 或 这时 我们会观察到函数图 像随着参数a的变化而变化 而且我们还会看到它们在变化 过程中留下的花瓣状痕迹 随着参数a的增大 花瓣的长度 图 3 图 2 图 1 图 1 x xsin 的数值变化情况 图 2 a nx exf 2 2 1 的图形 图 3 当参数a取负值时 a nx exf 2 2 1 的图形 第 1 期 耿秀荣 几何画板 在数学解题变式中的应用和体现 143 也在增加 见图4 第二步 探索参数b所起的作用 打开 几何画板 设 置参数b 选中 绘制新函数 绘制函数 sin 2 br 的 图像 固定 的值 选中参数b 然后按动 或 这 时 我们会观察到函数图像随着参数b的变化而变化 见图5 我们发现 花瓣的瓣数h与参数b密切相关 瓣数的变 化趋势是瓣数随着b的增大而增大 但不是一直增大 而是 随着参数b的奇偶取值变化而变化 详细关系见表1 通过表1 可以发现 当参数b为奇数12 k时 花瓣的 瓣数是奇数12 k 当参数b为偶数k2时 花瓣的瓣数是偶 数k22 于是 我们得到h与b的如下函数关系 3 2 1 24 1212 k kbk kbk h 时当 时当 可见 在函数 sin bar 中 参数a b对函数的 图像形状具有不同作用 1 a决定花瓣的长度 其数值越 大 花瓣越长 反之 数值越小 花瓣越短 2 b决定花 瓣的瓣数 当b为偶数时 花瓣的瓣数为偶数 当b为奇数 时 花瓣的瓣数为奇数 针对a b的不同取值 我们可以得到一系列题目 反 之 针对一系列题目 研究其特点 发现它们具有统一的模 型 函数表达式 sin bar 也就是说 我们找到了 它们的变化规律 利用 几何画板 的 追踪踪迹 等功能及其直观性等 优点 我们可以让学生深入探索问题的规律和本质 表 1 花瓣的瓣数与参数值b关系表 参数值b 123 4 5 6 7 花瓣的瓣数h143 8 5 12 7 4 结束语 综上所述 运用 几何画板 我们可以在计算机上动态 地呈现出图形 以便完成解题变式 在这种观察 实验的过 程中 不仅节约了时间 增强了效果 而且还能使学生根据 自己的特点和要求选择合适的变式 进而满足不同水平层次 的需求 同时 在这种寻求规律的过程中 学生具有强烈的 探索欲望 而这种求知欲望能够转化为内在驱动力 从而增 强学习主动性 另外 在趣味盎然的探索 实验过程中 我 们能够增强和培养学生的创新能力 参考文献 1 耿秀荣 基于现代化手段的数学变式教学 J 吕梁教育学院学报 2009 2 2 耿秀荣 数学变式教学 D 济南 山东师范大学 2001 3 李修清 高等数学 M 沈阳 东北大学出版社 2007 4 陶维林 几何画板实用范例教程 M 北京 清华大学出版社 2008 2 On the Practice and Embodiment of Geometrical Drawing Board in the Math Problem solving Variants GENG Xiu rong Computer Department Guilin Aerospace Industry College Guilin Guangxi 541004 China 图 4 图 5 图 7 图 6 图 8 图 9 图 10 图 11 a b 图 4 sin bar 函数图像 a b c d e f 图 5 sin bar 函数图像随着参数b的变化而变化 144 铜仁学院学报 2011年 Abstract In order to reveal the essence and the rule of math problems we can make research from their different flanks In this process three forms of math problem solving variants can be used many solutions to one problem one problem with different forms one solution to many problems As a modern technical measure geometrical drawing board has such functions as tracing orbit and real time calculation It can stimulate students to work hard and spontaneously and foster their learning interest and innovation ability to employ geometrical drawing board in math problem solving variants Key words geometrical drawing board math solution of variable exercise 责任编辑 李宗宝 上接 127 页 The Hanoi tower Problem with More Poles XU Wei mei1 XU Dao yun2 1 School of Science and Technology Guizhou University XiaoGuan Guiyang Guizhou 550004 China 2 School of Science and Technology Guizhou University XiaoGuan Guiyang Guizhou 550004 China Abstract The usual Hanoi tower game is played with three poles The optimal moving number is 21 n Hn in the game with n discs In this paper the Hanoi tower problem with four poles is considered and the corresponding solution 1 0 0 is given An interesting problem is how to take value 01 would m