中学数学课改的十个论题(续完).pdf

攀 喜 一 一 一 u一 u 课 改 需要循 序渐 进 的持 续努力 实践 基础 上的 理论 概括是 可行 之 道 理解数 学 理解 学生 理 解教 学是 三 大基石 一 皴 章建跃 人民教育 出版社中学数学室 8 如何理解 不 是教教材 而是 用教材 教 从 大量 的课 堂观 察 中发 现 脱 离 课 本进 行 教 学 的 现象很普遍 这是令人担忧的 调研 表 明 出 现 脱 离 课 本 进 行 教 学 的 原 因 主 要有 第 一 许 多教 师 认 为 教 材 内容 简 单 不 足 以应 付 高考 第二 误解本次课改提倡的 不是教教材 而是用 教材 教 要 创造 性地 使用 教 材 的真正 意 图 第三 许 多教师 不善于或不愿 意花大力 气研究 教材 第四 有的教师认为 只有讲课本以外的东西才 能显 示 自己的水 平 对 此 笔 者 的观点 如 下 首先 不是教教材 而是用教材教 是针对 照本 宣科 而 言 的 绝 对 不 是 提 倡 大 家 脱 离 教 材 进 行 教 学 当然 某些 课 改专 家 确实 提 出过 教 材 仅 仅是 课 程 资源 的一种 教 师是 课 程 资源 的开 发 主 体 等 但 实践 证 明 这 些观 点过 于理 想化 了 其次 教材太简单 不足 以应付高考 的观点是 偏颇 的 诚然 教材 的 基础性 与高考的 选拔性 的 确有一定的 目标差异 但学好教材一定是高考取得好 成绩 的前提 教师的主要精力应放在帮助学生熟练掌 握教 材 内容上 第三 教材的结构体系 内容顺序是反复考量的 语言是字斟句酌 的 例题是 反复打磨 的 习题是精挑 细选的 因此 在处理教材时 内容顺序的调整要十分 小心 否则 容 易 导致 教 学 目标 的偏 离 例 如 有 的 教 师 在 数学 3 第三章 概率 之前补充排列组合知识 结 果使 概率 的教 学偏 离到 用排 列组 合 求古 典 概 型 的概 率 而把 理解古典概型的特征 实验结果的有限 性 和每一 个实 验 结 果 出 现 的等 可 能 性 丢 到 一 边 致 使学生把貌似古典概型问题当成古典概型 在对课本 例子 的处 理 中 可 以根据 学生 基础 和 当地 教 学环 境 替 换 但 所换 的例 子 要 反 映 教 科 书 的 意 图 要 能 承 载 书 上例子的教学任务 例如 人教 A版 在对函数概念 的概括 过 程 中 注 意 不 能用解 析 式 表达 的 函数 例子 的使用 其 目的是要提 升学生对 函数概 念 的认识 层 次 体会函数表示 的多样性 同时也是为 了帮助学生 更 全 面 深 刻地 领悟 对应 关 系 的本 质 因此 如果 把 八五 以来 我 国城镇 居 民恩格 尔 系数变 化 表 换 成 商 品总价 与 商 品数 关 系 表 就 不 能 承 载 相 应 的 教 学 任 务 换成 北京奥运会 金牌榜 先按字母顺序 对 国 家 赋 值 则是一 个 比较好 的选 择 教 之道在 于 度 学 之 道 在 于 悟 在 课 标 教 材 实验 过程 中 许 多 教 师觉 得 这 个 度 不 好 把 握 笔 者 认 为这 主要是 对课 标教 材 的研读 还不 够深 入 所致 不 领悟 教材 就不 可 能把握 好 度 课 本 一科 之 本 课 堂教学 应 以课 本 为本 9 重结果轻过程的危害是什么 重结果轻过程 是我 国数学教学 的一大弊端 尤 其表现在概念教学和解题教学 中 概念教学搞 一个定义三项注意 不讲概念产生 的背景 也 不经 历概 念 的概 括过 程 仅 从 逻 辑 意义 列 举 概念 要 素 和 注 意事 项 忽 视 概 念 所 反 映 的 数学思想方法 导致学生难 以达成对概念的实质性 理 解 无 法形 成 相 应 的 心理 意 义 没 有 过 程 的 教 学 因为缺乏数学思想方法为纽带 概念间的关 系无 u 一 一 2 0 10 法 认识 联 系 也 难 以建 立 导致 学 生 的数 学 认 知结 构 缺乏整体性 其可利用性 可辨别性和稳定性等 功能 指 标 都会 大 打折扣 解 题 历 来 是 课 堂 教学 的 重 点 核 心 教 师 常 常把 注意力 集 中在 题 型 及 其技 巧 上 而且 往 往 把 技术 直 接 告诉 学生 然 后 让 学 生 再 通 过 模 仿 训 练 记 住 技 巧 而对技巧的来龙去脉则语焉不详 实 际上 技巧往往 是 可以意会不可言传 的 就像专业运 动技 巧 魔术 表演技巧等一样 需要经过长时 间的 枯燥 的千百次 重复 普及教育 大众教育并不需要这种专 门技巧 教 学时也很难用富有启发性 的语言予 以传授 特别是 对蕴涵于数学知识 中的数学思想方法教学 因其是一 种 潜移 默化 润物 无声 的 慢工 被 有些 教 师 判 为 不 实惠 而得不到应有的渗透 提炼和概括 结果是在稍 有变 化 的情境 中 因为 没有 数 学思 想 方法 的支 撑 特 技 失 灵 动作 变 形 灵 活应 用数 学 知识 解 决 问题 的 能力成为 泡影 在 能力立意 的高考 中出现 讲 过 练过 的不 一定 会 没 讲 没 练 的一 定 不 会 的结 局 就 不 足 为奇 了 例 8 递 推 数列 通项 公式 的题 型总结 上世 纪八 九 十年代 由于 高考 常 常 出 现 以递 推数 列为 背景 的压 轴题 所 以对 递 推数 列 的题 型总 结很 是 热 闹了一 阵子 后来 因为控 制难 度 纠偏 等 递 推 数列 在高考 中销声 匿迹 所 以教 学 中也 就 不 搞 了 但 最 近 几 年这 个 问题 又热 闹起 来 了 于是 递推 数 列 的题 型及 其解题技巧又热起来 了 在递推数列 的代数 变换 中 由于涉及 巧法 较多 而这些确实是学 习的难 点 因 此教师就在技巧上大做文章 并总结出许多 题型 1 利 用 n S a 一S 一 S 一 构 建 递 推关 系 解 决 问题 2 n 一k a b型 当 k 一 1时 口 是 等 差 数 列 当 k 1时 用 待 定 系 数 法 设 n m k n 求 出 化归 为等 比数 列 3 d 1 一k a f n 型 当 k 一 1时 口 l 一口 厂 若 厂 可求 和 则可 用累加消项法 当 k 1 时 如 果 一口 b 则 可 设 n A 1 B n A B 如 果 厂 一q l q 0 1 等 式 两 边 同 时 除 以 q 得 一 手 争 吉 可 归 结 为 口 1 一k a b型 4 a 一厂 口 型 如 果 z 是 常 数 则 可 化 归为等比数列 如果 厂 可求积 则 可用 累积约项的 方法 化简 求通 项 5 一是 型 可以考虑倒数关 系 有 I n 1 a n 一 f l 1 可化归为b k b c 型 一 1 7 z 6 a 一p a 1 g a q为 常 数 型 可 以应 用 不动 点 理论 题型套题型 题 型何其多 没有思想方法作为主 线 成为题型的杂乱无章的堆砌 实际教学中 采取灌 输的方式 将这些题 型及其解法强加 给学 生 这种 只 给结果 的教学是不可能奏效的 因为没有对解法 的来 源有任何交代 因此学生是无法理解的 没有 过 程 的教学 把 思维 的体操 降格 为 刺 激一 反 应 训 练 是 教 育 功 利 化 在 数 学 教 学 中 的 集 中 表现 为使 数学 教 学 成 为 有 思 想 的教 学 成 为 提 高 思维 能 力 的舞 台 成 为培 育 理 性 精 神 的阵 地 必 须 坚 持 过程 与结 果 并 重 的原 则 实 际上 只要 设 计得 当 递推 数 列 通 项 公 式 的教 学 完 全 可 以成 为 充 满 思 想 性 的过程 学 生 也可 以从 中获得 思考 方 法 的启 迪 例 9 数 列 口 中 已知 口 一口 当 1时 有 a p a q 其中 P q为常数 且 p 4 1 求数列 口 的通项 公 式 教学 过程 设 计 先行 组织 者 这 是 一个 递 推数 列 问题 一般 地 抽 象问题具体化 一般问题特殊化是数学 中采用的基本 策略 因此 先考查几个特殊的具体问题 以便从 中找 到思 路 问题 1 已知 口 1 一l n 1 2 a 1 1 求通 项公 式 设计意 图 本题是解决整个 问题的关键 取P 2 g 一1 是因为这 时比较容易观 察出其结构特点 并可 以采 取 凑 的办 法 将数 列 化归 为 等 比数 列 注 意 教 学 中应 该 在 这 里 舍 得 花 时 间 放 手 让 学 生 自己去 做 教 师不 必干 预 过多 问题 2 已知 n 1 1 n 1 2 a 3 1 求 通 项 公式 设 计 意 图 这个 问题 主 要 是 为 了 巩 固一 下 问题 1 中获得 的方 法 问题 3 已知 口 l 1 n 十 1 2 a q 1 q为 常 数 求 通项 公 式 设计 意 图 这 是 P一 2时 的一 般 性 结 论 变 形 为 a g 一2 口 g 对引出 待定系数法 很有启发 问题 4 已知 口 l 一 1 n I 1 3 a 1 1 求 通 项 公 式 设计意图 这一问题不能像前面那样容易地 凑 了 提 出这 一 问题 后 先让 学生 思 考 待 学 生 产生 困难 后 再 做如 下 引导 注意 观 察 前 几 个 问题 的解 决 过 程 变 形 后 得 到 2 0 1 上 中 学 箍 学教 学参 考 一 一 羲 的 等式 的结 构有什 么 共性 从 中可 以得 到什 么启 发 结论 都转化为 n F f 一2 n 的形式 设 n l t 一3 口 t 则 t 一 去 于 是 n 专 一 3 丢 问题 5 一般地 对于 口 1 一n n 1 p a q 如何 求 通项公 式 设计 意 图 在 前 面 4个 问 题 的铺 垫 下 这 一 问题 的解决 已经 水 到 渠 成 当 然 因 为 推 广 到 了 同类 事 物 所 以要 注意 完 备性 要 对 细节 特例 进行 讨论 上述设计 我们 不是把 待定 系数法 强 加给学 生 而是 通过 从特 殊 到一般 引 导学 生 发 现 这类 问题 的 结构特征 让学生通过独立思考而得到这类 问题的一 般解法 虽然其 构造性 很强 但方法不是从天上掉 下来的 而是 合情推理 的结果 1 0 如何理解 数 学应用 关 于数 学应 用 笔者 有 以下几 点基 本认 识 1 数学 是一 门有 生命 力 的和有广泛应 用 的学 科 某种程度上它应该像 自然科学的学科一样来探索 理 解 教 数学 应用 的主 要 目的是 使 学 生 更 全 面地 理 解 数学 学 以致用 用 以促学 学用相长 应成 为数学应 用 教学 的基 本指 导思 想 2 数 学应 用教 学 中 问题领 先 很 重 要 即以 问 题提供学生理解有关数 学的机会 数学模型化 数据 收集 数 据 表示 数 据 解 释 预 测 模 拟 等课 题 应 该 得 到充分 强调 3 特 别要 重 视 数 学 建 模 强 调 数 据 收 集 表 示 诠 释 预测 及模 拟 等 概 念 其 用 意是 通 过 数 学 建模 让 学 生在 各种 情 境 和 生 活 背景 下 由数 据 和 问题 出发 来 体验数学的具体意义 4 数 学 应 用 有 不 同 的侧 面 数 学 应 用 应 成 为 日常教学 中 自然 的一 部 分 当然 在 基 础 教育 阶 段 数 学教 育 的最 大应用 是 育 人 5 当前 数 学 应 用 没有 得 到起 码 的 重 视 题 型 技 巧 不 是 应 用 解 题 并 不 是 解 决 问 题 的 缩 写 课 堂是 教 数学 应 用 的主 阵地 需 要 研 究 的 问题 很 多 这里 通 过例子 谈 两点 体会 例 1 0 从应用 的角度看内容的变化 以三角 函数 为例 以往 三 角函数 的重点在三角恒 等变换 对三角 函数 本 身 的研 究并 不 充 分 与此 相 比 课 标 对 三 角 函数 的定位 有 变化 它 强调 函数 的角 度 强 调 三 角 函数 作 为描述 周 期现 象 的重要 数 学模 型 的地 位 认 为 应该 通过单摆 弹簧振子 圆上一点的运 动 以及音 乐 波浪 潮汐 四季变化等实例 使学生感受周期现 象的广泛存在 认识周期 现象的变化规律 体会 三角 函数是刻画周期现象的重要模型 强调 发挥单位圆 的作用 要求用单位圆来 帮助学生直观地认识任意 角 任意 角 的三 角 函数 理 解三 角 函数 的周 期 性 诱导 公式 同角三 角 函数关 系式 以及 三 角 函 数 的 图 象 和 基本 性 质 同 时 课 标 降 低 了三 角 恒 等 变 换 的要 求 淡化 了 三 角 恒 等 变 换 的 技 巧 性 内 容 为 什 么 呢 这是 因为 三角函数与其他学科的联系与结合非常重 要 最重要的是它与振动和波动的联系 可 以说 它几 乎是 全部 高科 技 的基 础 之 一 以 往 强调 三 角恒 等 变 换 主要 是为 了 制作 三 角 函数 表 以应 付 天 文 学 测 量 学的需要 而现在一个简单的函数计算器就可以搞定 任何三角函数求值 问题 因此 三角函数定位和处理 方式 的变化 正 是 为 了反 映 三 角 函数 的现 代 应 用 而 这也 是 当前数 学 教学 的薄 弱环 节 另外 强 调单 位 圆的作 用也 是 为 了更 好 地反 映 三 角函数与现实 的联系及其本质 正弦函数 余弦函数 是一对起源于圆周运动 密切配合 的周期 函数 它们 是解析几何学 和周期 函数的分析学中最 为基本 和重 要的函数 而正弦函数 余 弦函数的基本 性质乃是 圆 的几 何性 质 主 要 是 其对 称 性 的直 接 反 映 齐 民友 先生也说 三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运 动 的本 质表 现 研 究 匀速 旋 转 最 重 要 的 是 研究 P 的变化 即是 研究 和 作 为 的 函数 这 里 P是 单位 圆上 的点 是 单位 向量0 从 z 轴正 向开 始绕原 点旋 转所 成 的角 齐 先生 还说 三 角 函数 就 应该 那 么 简单 过 去把 它搞 得那 么 复杂是 由于 没有 认 识到 它 的 本质 抓 住三 角 函 数是 为 了 刻 画匀 速 圆周 运 动 的 这 样 就真 正抓住 了要领 就 能 以简 驭 繁 例 1 1 改 变 提 问 方 式 增 加 与 现 实 的 联 系 性 以 变量 函数 概 念 为例 在 函数 的教学 中 我们常常用类似于下面的问 题来 训 练学 生对 变 量 函数 概念 的理 解 1 已 知 函 数 f 一 一 2 x 3 求 f 2 厂 厂 2 厂 口 1 2 已 知 f Iz 一 2 1 5 8 6 8 x 求 f 7 f 一7 的值 3 已知函数 厂 一 J L 广 厂 2 一2 且方 程 一 一 一 一 厂 一2 x有一个根为寺 求 的值 厂 2 3 f 4 厂 5 1 厂 号 厂 1 1 稍 加 考 察 可 以 发 现 这 样 的题 目主 要 是 代 数 运 算 其 中量 的 变 化 的 特 征 一 个 量 随 着 另 一 个 量 的 变化而变化 的特征都不 明显 但 是如果 改变 提 问方 式 配以具体问题情境 变量 函数 的特征就会大 大加 强 例 如 在下 图 z轴上 6表示 从 5 O 0到 6 O 0 7 表示从 6 O 0到 7 0 o 依此类推 40 A M I 时 1 日 J 1 上 图显 示 了两 个 变 量 之 间 的关 系 这 两 个 变 量是 什么 2 描述卖 出饮料 的数量在一 天 内的变化情况 并解 释为 什么会 有 这样 的变 化 这样 提 问 两 个 量 一 个 量 随另 一 个 量 的变 化 而 变化 的味 道就很 浓 而且 解题 时 也要 用 函数 的思 想 结束语 我 国在世纪之交 发动 的中小学数学 课程改革 从 国外 引入 的味道较 浓 上层 建筑离 不开经 济基 础 在经济全球化背景下 我 国许 多经济改革措 施模 仿西方 我们的教育也无法摆脱西方特别是美 国强势 文化的影响 再加 上国内某些人 推波助澜 其影 响就 更加 无法 阻挡 但 是 华 尔 街金 融 风暴 对 我 国金 融 实 体经 济 的危害 已经 引发 有识 之 士 的反 思 到底 应该 如 何向西方学习 当前 许多学者在反思我 国 3 0年 改 革开 放经 验教 训 时指 出 照 搬西 方模 式 的做 法都 失 败 了 笔者认为 教育领域的改革更是如此 因为从 本质 上说 教育 的对 象 实 实 在 在 地 生 活在 这 片 土 地 上 一 方水土养一方人 受这 片土地所养育成 的社会 人文 环境的影响 受历史传统文化 的影 响 不可能一夜让 外来的东西颠覆 历史 文化传统 的力量是 巨大无 比 的 试 图一 夜改 变 传 统 是 非 常 幼 稚 的想 法 更 加 重 要 的是 我们的传统文化有强大 的生命力 有 自我净化 自我 调 整 自我 发 展 的 能 力 那 种 试 图 用 割 断 历 史 的 办法 引 进一 种 西方 的思潮 例 如 建 构 主义 来 彻 底 改 变我 们 中 华 文 化 教 育 发 展 轨 迹 的 想 法 是 有 害 的 因 此 在教育领域盲 目地否定 自己的传统 简单 照搬 国 外 的做法是不足 取的 中华文 明 已经五千多 年 我们 应 当对中国的教 育传统 的先进 性 优秀性 有充 分 的 自信 当然 我们并不是盲 目地崇拜传统 而是反对简 单化的全盘否定 更反对用西方 的一些 先进理念 来 否定我们的传统 正确 的做法是 首先要深入地 了解 传统 懂得传统 的精髓 分析其中的精华和糟粕 并采 取扬弃的办法 逐步 改 良 即使 真正看清 了某些东 西 必须要改 但作为文 化传统的继承 发展与创新 的载 体 教育改革