01-4-第4章-功和能-力学-大学物理-海南大学.pdf

第第 4 章章 功和能 第 4 章 功和能第 4 章 功和能 功功 动能和动能定理动能和动能定理 一对力的功一对力的功 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律 碰撞碰撞 功功 1 恒力做功恒力做功 恒力对物体所作的功等于作用于物体的力 与物体沿力的方向所作位移大小的乘积 恒力对物体所作的功等于作用于物体的力 与物体沿力的方向所作位移大小的乘积 F r r rFA 功功 当力与物体的位移有一恒定夹角时当力与物体的位移有一恒定夹角时 x r F x F rFA x rF cos 上式可记为 称为 上式可记为 称为矢量的点乘矢量的点乘 rFA 功功 功的功的单位单位 牛顿米 牛顿米 Nm 称为 称为焦耳焦耳 J 功的量纲功的量纲 ML2T 2 功的非功的非SI单位 单位 尔格 尔格 erg 1 erg 10 7 J 电子伏特 电子伏特 eV 1 eV 1 6 10 19 J 此外 在电工学上还常用千瓦小时作单位 此外 在电工学上还常用千瓦小时作单位 KWh 1KWh 3 6 106 J 功功 讨论讨论 功是标量 但有正负 功是标量 但有正负 2 力与位移方向垂直 力与位移方向垂直 cos 0 力 不作功 力 不作功 如物体作圆周运动时 向心力不作功 如物体作圆周运动时 向心力不作功 人担水走平路时 支撑力不作功 人担水走平路时 支撑力不作功 0 力对物体作正功 力对物体作正功 如自由落体 重力作正功 如自由落体 重力作正功 rFA cosrF 功功 2 cos 0 力对物体作负功 或物 体反抗外力作正功 力对物体作负功 或物 体反抗外力作正功 如竖直上抛 重力作负功 如竖直上抛 重力作负功 功是力在空间上的累积效应 功是力在空间上的累积效应 rFA x r F x F 功功 2 变力做功变力做功 力的大小或方向随时间而变化力的大小或方向随时间而变化 在物体运动轨道上任取一位移微元在物体运动轨道上任取一位移微元 rdFdA rd F A B 则力作的功微元 物体从 则力作的功微元 物体从A运动到 运动到 B 变力作的总功 为 变力作的总功 为 dAA B A rdF 功功 在直角坐标系在直角坐标系 kFjFiFF zyx kdzjdyidxrd B A rdFA B A r r xdx F B A B A r r z r r y dzFdyF 功功 当质点同时受到几个力作用时当质点同时受到几个力作用时 21 FFFF i i B A rdFA B A r r rdFF 21 B A r r rdF 1 B A r r rdF2 21 AA 例题例题P 179 动能和动能定理动能和动能定理 功的物理意义功的物理意义 可以通过与功有联系的物理规律揭示出来 可以通过与功有联系的物理规律揭示出来 amF rdFdA dt dr mdv vmdv 2 1 2 mvd 令令 2 2 1 mvEk 称为物体的称为物体的动能动能 drFt tt maF dt dv m dr dt dv m 动能和动能定理动能和动能定理 即即 合力对质点所作的功等于质点动能的增 加 合力对质点所作的功等于质点动能的增 加 称为称为动能定理动能定理 合力作的功是力在空间的积累效应 与过程 有关 但作功大小却等于力作用始末的质点 动能差 与物体动能变化的过程无关 合力作的功是力在空间的积累效应 与过程 有关 但作功大小却等于力作用始末的质点 动能差 与物体动能变化的过程无关 动能动能单位单位 与功相同 与功相同 千克 米千克 米2 秒秒2 称为 称为 焦耳 焦耳 J v v mvdA 0 2 1 2 2 0 2 2 1 2 1 mvmv 0kk EE 动能和动能定理动能和动能定理 动能仅仅是能量存在的一种形式 在物体相 互作用时 动能往往可以转化成其他形式的 能 如势能 热能 电能等 物质的运动形 式也随能量的转化而发生变化 动能仅仅是能量存在的一种形式 在物体相 互作用时 动能往往可以转化成其他形式的 能 如势能 热能 电能等 物质的运动形 式也随能量的转化而发生变化 动能是表征物体机械运动转化为一定量的其 他运动形式的能力的一种量度 动能是表征物体机械运动转化为一定量的其 他运动形式的能力的一种量度 例题例题P 183 表表P 182 动能和动能定理动能和动能定理 质点系的动能定理质点系的动能定理 第第 i 个质点同时受到系统外力 内力的作用个质点同时受到系统外力 内力的作用 int ext iii AAA 对所有质点 将上式两端求和对所有质点 将上式两端求和 i i AA 0kiki EE 即 系统的内力可以改变系统的总动能 即 系统的内力可以改变系统的总动能 但 不能改变系统的总动量 但 不能改变系统的总动量 如 地雷爆炸如 地雷爆炸 0intextkk EEAA 一对力的功一对力的功 1 一对力一对力 分别作用在两个物体上的大小相等 方向相 反的力 称之为 分别作用在两个物体上的大小相等 方向相 反的力 称之为一对力 一对力 一对力通常是一对力通常是作用力作用力与与反作用力反作用力 但也可以 不是 另外 一对力中的两个力也并不要求 必须在同一直线上 但也可以 不是 另外 一对力中的两个力也并不要求 必须在同一直线上 21 FF 1 F 2 F 一对力的功一对力的功 2 一对力的功一对力的功 2211 rdFrdFdA B2 A1 B1 A2 1 F 2 F 21 r 1 r 2 r 1 m 2 m 2 rd 1 rd 21 FF 2212 rdFrdF 122 rdrdF 212 rdF B A rdFA 212 B A rdF 121 A 初位形初位形 B 末位形末位形 一对力的功一对力的功 3 说明说明 一对力的功与参考系选取无关 只决定与 两质点的相对路径 为方便起见 计算时 常认为其中一个质点静止 并以该质点所 在位置为原点 再计算另一质点受力所做 的功 这就是一对力的功 一对力的功与参考系选取无关 只决定与 两质点的相对路径 为方便起见 计算时 常认为其中一个质点静止 并以该质点所 在位置为原点 再计算另一质点受力所做 的功 这就是一对力的功 比如 物体在地球表面受的重力与地 球受它的引力做功之和为 比如 物体在地球表面受的重力与地 球受它的引力做功之和为 mghA 一对力的功一对力的功 一对滑动摩擦力的功恒小于零 摩擦生热 是一对滑动摩擦力作功的结果 一对滑动摩擦力的功恒小于零 摩擦生热 是一对滑动摩擦力作功的结果 在无相对位移或相对位移与一对力垂直 的情况下 一对力的功必为零 在无相对位移或相对位移与一对力垂直 的情况下 一对力的功必为零 势能势能 势能指与相互作用的物体间相对位置有关的 能量 因此 势能只有相对意义上的值 势能指与相互作用的物体间相对位置有关的 能量 因此 势能只有相对意义上的值 势能势能 引力势能引力势能 重力势能重力势能 弹性势能弹性势能 由势能求保守力由势能求保守力 引力势能引力势能 万有引力万有引力 r r mm GF 2 21 B A F r B r rd A r rdr r dr rdFdA rdr r mm G 2 21 dr r mm G 2 21 rdr rd cos dr B A r r AB dr r mm GA 2 21 AB r mm G r mm G 2121 引力势能引力势能 所做的功与相对移动的路径无关 而只决定 于相互作用的物体的始末相对位置 这样的 力称为 所做的功与相对移动的路径无关 而只决定 于相互作用的物体的始末相对位置 这样的 力称为保守力保守力 重力 万有引力 弹性力和静电力都是保守 力 重力 万有引力 弹性力和静电力都是保守 力 摩擦力 空气阻力 磁场力和爆破力都是非 保守力 摩擦力 空气阻力 磁场力和爆破力都是非 保守力 AB r mm G r mm GAAB 2121 引力势能引力势能 令令 r mm GE p 21 定义为 定义为引力势能引力势能 pApB EE AB r mm G r mm GAAB 2121 pApB EE P E 质点作自由落体运动 万有引力作正功 引力势能降低 根据动能定理 质点的动 能将增加 速度增大 质点作自由落体运动 万有引力作正功 引力势能降低 根据动能定理 质点的动 能将增加 速度增大 万有引力作的功等于万有引力作的功等于系统势能系统势能的的减少减少 引力势能引力势能 万有引力是质点与地球组成的系统的内部相 互作用力 由此定义的引力势能是整个系统 的能量 但习惯上称为质点的势能 万有引力是质点与地球组成的系统的内部相 互作用力 由此定义的引力势能是整个系统 的能量 但习惯上称为质点的势能 万有引力所做的功与质点从万有引力所做的功与质点从 A 到到 B 的具体 路径无关 仅与质点的始末位置有关 的具体 路径无关 仅与质点的始末位置有关 注意注意 引力势能引力势能 引力势能曲线引力势能曲线 r mm GE p 21 r0 p E 称为称为势阱势阱 r0 p E 称为称为势能零点势能零点 例题例题P 193 引力势能引力势能 上式表明 上式表明 保守力沿闭 合路径一周 所做的功为 零 保守力沿闭 合路径一周 所做的功为 零 0 B A F r B r rd A r rdr r dr L1 L2 21 LL rdFA B A B A r r L r r L rdFrdF 21 0 rdF 重力势能重力势能 质点在地球表面时 受重力质点在地球表面时 受重力 gmP O h A B rd B h A h P dh rdPdA rdgm cosrdmg mgdh B A h h AB mgdhA BA hhmg 令 定义为令 定义为重力势能重力势能mghEP PAPBAB EEA P E dh 0 重力势能重力势能 即取高度为零时质点的势能为零 即取高度为零时质点的势能为零 mghEP 0 h0 P E 上式表明重力对质点作上式表明重力对质点作正功正功 系统的重力势 能 系统的重力势 能降低降低 PAB EA 0 AB A0 P E 0 AB A0 P E 如果重力作如果重力作负功负功 即外界反抗重力对系统作 功 则系统重力势能 即外界反抗重力对系统作 功 则系统重力势能增加增加 弹性势能弹性势能 xkF xdFdA 0cosxdkx kxdx 2 1 2 kxd 令 定义为弹簧和质点组成系统的 令 定义为弹簧和质点组成系统的弹性势能弹性势能 2 2 1 kxEP PAPBAB EEA P E B A x x AB kxdA 2 1 2 m O F x AB 2 1 2 1 22 AB kxkx kxF xd 弹性势能弹性势能 弹性势能曲线是一条抛物线弹性势能曲线是一条抛物线 O x P E 2 2 1 kxEP 由势能求保守力由势能求保守力 1 由势能求保守力由势能求保守力 万有引力做万有引力做正功 正功 引力势能引力势能减小减小 r mm GE p 21 dr r mm GdE p 2 21 P dErdF dr r mm GrdFdA 2 21 rd dE F P 由势能求保守力由势能求保守力 弹力做弹力做正功 正功 弹性势能弹性势能减小减小 xd dE F P 2 1 2 kxdxdFdA 2 2 1 kxEP P dExdF 由势能求保守力由势能求保守力 总结总结 保守力沿空间某一方向的分量等于与此保守 力相应的势能函数在该方向上的空间变化率 的负值 保守力沿空间某一方向的分量等于与此保守 力相应的势能函数在该方向上的空间变化率 的负值 dl dE F P l l l d F l F l dFdA P dE dlFl 由势能求保守力由势能求保守力 保守力等于相应的势能函数的保守力等于相应的势能函数的梯度梯度的负值 的负值 dl dE F P l 分量式分量式 rd dE F P x E F P x y E F P y z E F P z kFjFiFF zyx k z E j y E i x E PPP P gradE P E k z j y i x 由势能求保守力由势能求保守力 2 由势能曲线求保守力由势能曲线求保守力 势能曲线上某点斜率 的负值 就是该点对 应的位置处质点所受 的保守力 势能曲线上某点斜率 的负值 就是该点对 应的位置处质点所受 的保守力 0 rr 0 F 0 rr 0 rr 0 F 0 F 双原子相吸 双原子相斥 双原子相吸 双原子相斥 P E r 0 r O 双原子分子势 能曲线 双原子分子势 能曲线 rd dE F P 机械能守恒定律机械能守恒定律 1 1 功能原理功能原理 质点系的动能定理质点系的动能定理 0intextkk EEAA consint consnint int AAA 0consint PP EEA 00consnint ext kkPP EEEEAA 00consnint extPkPk EEEEAA 称为系统的称为系统的机械能机械能 Pk EEE 令令 机械能守恒定律机械能守恒定律 上式表明 质点系机械能的增量等于系统外 力和系统内部非保守力所作功的代数和 称 为系统的 上式表明 质点系机械能的增量等于系统外 力和系统内部非保守力所作功的代数和 称 为系统的功能原理功能原理 0consnint ext EEAA 机械能守恒定律机械能守恒定律 系统内部非保守力作负功 系统内部非保守力作负功 系 统机械能减少 即被消耗 这样的非保守力 又称为 系 统机械能减少 即被消耗 这样的非保守力 又称为耗散力耗散力 0 consnint A 如摩擦力作为系统内力时 一对摩擦力作 功之和总是负值 如摩擦力作为系统内力时 一对摩擦力作 功之和总是负值 讨论讨论 系统内部非保守力作正功 系 统机械能增加 如炸弹爆炸 人在船上行走等 系统内部非保守力作正功 系 统机械能增加 如炸弹爆炸 人在船上行走等 0 consnint A 机械能守恒定律机械能守恒定律 但是 单独一个摩擦力有可能作正功 但是 单独一个摩擦力有可能作正功 力力 F 拉着物体拉着物体 B 带动带动 A 一起运动 一起运动 A B 间摩擦力 间摩擦力 f 对 对 A 来说方向向前 作正功 来说方向向前 作正功 A B f F 机械能守恒定律机械能守恒定律 2 2 机械能守恒定律机械能守恒定律 功能原理功能原理 0consnint ext EEAA 当只有保守内力做功时当只有保守内力做功时 0 ext A0 consnint A 0 EE常量 称为 常量 称为机械能守恒定律机械能守恒定律 00PkPk EEEE常量常量 机械能守恒定律机械能守恒定律 即 在外力和非保守内力都不作功或所作功 的代数和为零的情况下 系统内所有质点的 动能和势能的总和 即 即 在外力和非保守内力都不作功或所作功 的代数和为零的情况下 系统内所有质点的 动能和势能的总和 即系统的机械能保持恒 定 系统的机械能保持恒 定 注意注意 系统的机械能守恒 并不意味着每个 质点的动能或势能保持不变 实际上 质点 系中单个质点的动能和势能之间 质点间的 动能 势能及其动能和势能之间都是可以相 互转化的 系统的机械能守恒 并不意味着每个 质点的动能或势能保持不变 实际上 质点 系中单个质点的动能和势能之间 质点间的 动能 势能及其动能和势能之间都是可以相 互转化的 机械能守恒定律机械能守恒定律 大量事实表明 在系统的机械能减小或增加 的同时 在系统外面 必然有等值的其他形 式的能量增加或减少 如热能 电能 核能 等 而系统的机械能和系统外其他形式能量 的总和是恒定不变的 即 大量事实表明 在系统的机械能减小或增加 的同时 在系统外面 必然有等值的其他形 式的能量增加或减少 如热能 电能 核能 等 而系统的机械能和系统外其他形式能量 的总和是恒定不变的 即 能量不会消失 也不会产生 只能从一种形式转化为另一种 形式 能量不会消失 也不会产生 只能从一种形式转化为另一种 形式 这就是这就是能量转化和守恒定律能量转化和守恒定律 简称能 量守恒定律 违背能量守恒定律的 简称能 量守恒定律 违背能量守恒定律的 永动机永动机 称为称为 第一类永动机第一类永动机 机械能守恒定律机械能守恒定律 例题例题P 203 表表P 202 机械能守恒定律机械能守恒定律 3 守恒定律的意义守恒定律的意义 自然界中许多物理量 如动量 角动量 机 械能 电荷 质量 宇称 粒子反应中的重 子数 轻子数等等 都具有相应的守恒定律 自然界中许多物理量 如动量 角动量 机 械能 电荷 质量 宇称 粒子反应中的重 子数 轻子数等等 都具有相应的守恒定律 物理学特别注意守恒量和守恒定律的研究 这是因为 物理学特别注意守恒量和守恒定律的研究 这是因为 从从方法论方法论上看 利用守恒定律可避开过程细 节而对系统始 末态下结论 特点 优点 上看 利用守恒定律可避开过程细 节