工程问题.pptx

六年级奥数之工程问题 一 基本公式 工程问题是应用题中的一种类型 在工程问题中 一般要出现三个量 工作总量 即工量 工作时间 完成工作总量所需时间即工时 和工作效率 单位时间内完成的工作量即工效 工作效率 工作时间 工作总量 工作总量 工作时间 工作效率 工作总量 工作效率 工作时间 二 基本思路 假设工作总量为 1 和总工作量无关 假设一个方便的数为工作总量 一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数 利用上述三个基本关系 可以简单地表示出工作效率及工作时间 而把工量看做单位1时 工效即用工时的倒数来表示 关键问题 不管题型如何 都要学会确定工作量 工作时间 工作效率间的两两对应关系 三 例题讲解 例1 一项工程 甲乙两队合作需12天完成 乙丙两队合作需15天完成 甲丙两队合作需20天完成 如果由甲乙丙三队合作需几天完成 分析 设这项工程为1个单位 将所有题设条件转化为数学语言 甲乙合作工效1 12 乙丙合作工效1 15 甲丙合作工效1 20 观察设问 如何求得甲乙丙三队合作的工时 时间 工作总量 工作效率如今由 知工作总量为1 欲求工时 需知工效 经简单计算可知 不能由题设条件推导出甲乙丙三队合作的工效和 再次读题可发现 甲乙丙在相关工效条件中均出现两次 则可得出 甲乙丙三队合作的工效和的2倍 1 12 1 15 1 20 易得 甲乙丙三队合作的工效和 1 12 1 15 1 20 2 接下来由基本公式求解1 1 12 1 15 1 20 2 10 天 答 如果由甲乙丙三队合作需10天完成 例1 一项工程 甲乙两队合作需12天完成 乙丙两队合作需15天完成 甲丙两队合作需20天完成 如果由甲乙丙三队合作需几天完成 习题1 一件工作 甲5小时完成了1 4 乙6小时又完成了剩下任务的一半 最后余下的部分由甲乙合作 还需要多少时间才能完成 思路 1 假设工作总量为 1 2 联系基本公式 层层剥离 找出问题关键点 甲工效1 4 5 1 20乙工效 1 1 4 1 2 6 1 16 分析 设这项工程为1个单位 将所有题设条件转化为数学语言 工作时间 工作总量 工作效率 观察设问 如何求得甲乙合作完成余下部分工作所需的工时 即有 工作总量 1 1 4 1 1 4 2 3 8甲乙总工效1 20 1 16 9 80 下面分解第 问 则知需求出 工作总量 和工作效率 工作总量 不再是单位1 而是题设问题中 余下部分工作 总量 同时 工效也不再单纯是甲乙各自的工效 而是甲乙合作的工效和 自然地 所求工时3 8 9 80 10 3 小时 答 甲乙合作完成余下部分工作需10 3小时 习题1 一件工作 甲5小时完成了1 4 乙6小时又完成了剩下任务的一半 最后余下的部分由甲乙合作 还需要多少时间才能完成 思路 甲 乙各自的工效 求得工效差 即为3个零件在整批零件中所占比例 利用部分与整体的比例关系求得整批零件个数 例2 加工一批零件 甲乙合作24天可以完成 现在由甲先做16天 然后乙再做12天 还剩下这批零件的2 5没有完成 已知甲每天比乙多加工3个 求这批零件有多少个 甲乙合作12天 完成了总工程的几分之几 1 24 12 1 2 甲工效 甲一天能完成全工程的几分之几 3 5 1 2 16 12 1 40 乙工效 乙一天能完成全工程的几分之几 1 24 1 40 1 60 这批零件共多少个 3 1 40 1 60 360 个 答 这批零件共360个 例2 加工一批零件 甲乙合作24天可以完成 现在由甲先做16天 然后乙再做12天 还剩下这批零件的2 5没有完成 已知甲每天比乙多加工3个 求这批零件有多少个 分析 由于题设条件比较复杂 现采用 排除法 对工量 工时 工效进行筛选以寻找解题突破口 1 首先 因设问即要求求出工量 且部分工量2 5 孤立无援 排除从工量下手的可能 2 其次 因题中大量出现工时数据 故尝试从工时切入 工量 工时 工效而正因工时数据繁杂 若从工时切入则需要找出诸多与每一工时相对应的工效 计算受阻 故排除从工时下手的可能 A 甲做16天和乙又做12天完成工程的3 5 可转化为甲乙合作12天后 乙接着做4天共完成工程的3 5 B 又知道甲乙二人合作24天可以完成 因此甲单独做所用天数可以求出 则乙单独做所用天数迎刃而解 即求得工时 C 工效可用工时的倒数表示 则可由B步骤得出甲乙各自工效 3 经排除 只能以工效为突破口进行解题 习题2 师徒二人合作生产一批零件 6天可以完成任务 师傅先做5天后 由徒弟接着做3天 共完成任务的7 10 如果每人单独做这批零件各需几天 思路 1 假设工作总量为 1 2 联系基本公式 层层剥离 找出问题关键点 要求 参照例2 写出大概思路 不作具体标准要求 提示 解题思维和例2有点类似 o 哦 2 要求每人单独做各需几天 摆明了是求工时则有相关公式 工时 工量 工效又已知该批零件总量为单位1 问题转化为求师徒二人各自的工效 分析 1 题设条件 师徒工效和1 6 习题2 师徒二人合作生产一批零件 6天可以完成任务 师傅先做5天后 由徒弟接着做3天 共完成任务的7 10 如果每人单独做这批零件各需几天 3 关键 师傅先做5天接着徒弟做3天转化为师徒合作3天接着师傅再做2天 师傅工效 7 10 1 6 3 2 1 10徒弟工效1 6 1 10 1 15 由公式得师傅单独做需10天徒弟单独做需15天 答 师傅单独做需10天 徒弟单独做需15天 四 课后习题 1 一项工作 甲单独做20天可完成 乙单独做30天可完成 现在两人合做 用16天就完成了工作 已知在这16天中甲休息了2天 乙休息了若干天 问 乙休息了多少天 2 甲乙两人共同加工一批零件 8小时可完成任务 若甲单独加工需12小时 现甲乙共同加工12 5小时后 甲撤出 由乙继续生产420个零件后才完成任务 问 乙一共加工零件多少个 五 习题答案 解 1 假设总工作量为 1 故由题可得甲工效 1 20乙工效为 1 30 1 一项工作 甲单独做20天可完成 乙单独做30天可完成 现在两人合做 用16天就完成了工作 已知在这16天中甲休息了2天 乙休息了若干天 问 乙休息了多少天 2 甲所完成的工量占总工量 16 2 20 7 10 3 乙工时 3 10 1 30 9故乙休息的天数为16 9 7天答 乙休息了7天 乙所完成的工量占总工量 1 7 10 3 10 2 甲乙两人共同加工一批零件 8小时可完成任务 若甲单独加工需12小时 现甲乙共同加工12 5小时后 甲撤出 由乙继续生产420个零件后才完成任务 问 乙一共加工零件多少个 解 乙单独加工 每小时加工1 8 1 12 1 24 甲撤出后 剩下工作乙需做 1 12 5 1 8 1 24 84 5 所以乙每小时加工零件420 84 5 25 个 即乙12 5小时加工 12 5 25 60 个 则乙一共加工420 60 480 个 简单提问 利用什么公式 工时 工效 工量 请问 该式使用了什么公式 工量 工效 工时 答 乙一共加工零件480个 1 王师傅加工一批零件 计划在六月份每天都能超额完成当天任务的15 后来因机器维修 最后的5天每天只完成当天任务的八成 就这样 六月份共超额加工660个零件 王师傅原来的任务是每天加工多少个零件 首先我们知道6月有30天将额定每天完成的任务看作单位1每天超额15 一共工作30 5 25 天 每天超额完成15 25天共超额25 15 375 每天完成八成 5天少完成5 1 80 100 这个月共超额完成375 100 275 660 275 240 个 2 一堆饲料 3牛和5羊可以吃15天 5牛和6羊可以吃10天 那8牛和11羊可以吃几天解 将这堆饲料的总量看作单位13牛和5羊可以吃15天 吃的是单位1的量 相当于每天吃1 155牛和6羊可以吃10天 吃的是单位1的量 相当于每天吃1 10我们此时把3牛5羊看作一个整体 5牛6羊看作1个整体 每天吃饲料的1 15 1 10 1 6那么这堆饲料可以供8牛11羊吃1 1 6 6天 3 甲 乙合作完成一项工作 由于配合得好 甲的工作效率比独做时提高了十分之一 乙的工作效率比独做时提高了五分之一 甲 乙两人合作4小时 完成全部工作的五分之二 第二天乙又独做了4小时 还剩下这件工作的三十分之十三没完成 这项工作甲独做需要几个小时才能完成 乙独做4小时完成全部工程的1 2 5 13 30 3 5 13 30 1 6乙的工作效率 1 6 4 1 24乙独做需要1 1 24 24小时乙工作效率提高1 5后为 1 24 x 1 1 5 1 20甲乙提高后的工作效率和 2 5 4 1 10那么甲提高后的工作效率 1 10 1 20 1 20甲原来的工作效率 1 20 1 1 10 1 22甲单独做需要1 1 22 22小时 一项工程A B两人合作6天可以完成 如果A先做3天 B再接着做7天 可以完成 B单独完成这项工程需要多少天 AB合作 每天可以完成1 6A先做3天 B再做7天 可以看做AB合作3天 B再单独做7 3 4天AB合作3天 可以完成 1 6 3 1 2B单独做4天 完成了1 1 2 1 2B单独做 每天完成 1 2 4 1 8B单独完成 需要 1 1 8 8天 甲 乙二人同时开始加工一批零件 加单独做要20小时 乙单独做30小时 现在两人合作 工作了15小时后完成任务 已知甲休息了4小时 则乙休息了几小时 总的工作量为单位1甲的工作效率 1 20乙的工作效率 1 30甲乙工作效率和 1 20 1 30 1 12甲休息4小时 那么甲工作15 4 11小时 甲完成1 20 11 11 20乙完成1 11 20 9 20完成这些零件乙需要 9 20 1 30 27 2小时那么乙休息15 27 2 3 2小时 1 5小时 一间教室如果让甲打扫需要10分钟 乙打扫需要12分钟 丙打扫需要15分钟 有同样的两间教室A和B 甲在A教室 乙在B教室同时开始打扫 丙先帮助甲打扫 中途又去帮助乙打扫教室 最后两个教室同时打扫完 丙帮助甲打扫了多长时间 中途丙去乙教室的时间不计 将工作量看作单位1甲的工作效率 1 10乙的工作效率 1 12丙的工作效率 1 15甲乙丙合干完成1间教室需要1 1 10 1 12 1 15 4分钟解 设丙帮甲a分钟a分钟甲丙完成 1 10 1 15 a a 6那么剩下的1 a 6需要甲独自完成乙a分钟完成a 12那么剩下的1 a 12需要乙丙完成需要的时间 1 a 12 1 12 1 15 1 a 12 3 20 根据题意 1 a 6 1 10 1 a 12 3 20 将工作量看作单位1甲的工作效率 1 10乙的工作效率 1 12丙的工作效率 1 15甲乙丙合干完成1间教室需要1 1 10 1 12 1 15 4分钟两间教室都是一样的工作量 那么实际就是甲乙丙三人共同完成 上面已经解出完成1间需要4分钟 那么完成2间需要4 2 8分钟 甲8分钟完成1 10 8 4 5 那么丙需要完成1 4 5 1 5所以丙帮甲 1 5 1 15 3分钟那么丙帮乙8 3 5分钟 明明和乐乐在同一所学校学习 一天班主任老师问他俩各人的家离学校有多远 明明说 我放学回家要走10分钟 乐乐说 我比明明多用4分钟到家 老师又问 你俩谁走的速度快一些呢 乐乐说 我走得慢一些 明明每分钟比我多走14米 不过 我回家的路程要比明明多1 6 班主任根据这段对话 很快算出他俩的路程 你会算吗解 设乐乐的速度为x 则明明的速度 x 14 6 7 14x 10 x 14 12x 10 x 140 x 70明明 70 14 10 840 m 乐乐 840