湖北省四校（曾都一中、枣阳一中、襄州一中、宜城一中）高三数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

湖北省四校（曾都一中、枣阳一 中、襄州一中、宜城一中）2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一选择题（本大题共有10个小题，每小题5分，共50分）1已知集合a=1，0，1，2，b=x|x1，则ab=( )a2b1，2c1，2d1，1，2考点：交集及其运算 专题：计算题；规律型分析：集合a中元素个数较少，是有限集合，b是无限集合，可以利用交集的定义逐一确定ab中元素，得出结果解答：解：根据交集的定义ab=x|xa，且xb，a=1，0，1，2，b=x|x1，ab=1，2故选：b点评：本题考查了集合的交集运算，属于基础题2下列说法正确的是( )a命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”b命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题c命题“a、b都是有理数”的否定是“a、b都不是有理数”d“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：本题考查四种命题和充要条件的知识，将命题写出相应形式，判断真假；d中充要条件，将、“x25x6=0”“x=1，或x=6”再判断解答：解：a、命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x21，则x1”，a错误；b、命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为“若sinxsiny，则xy”，为真命题，b正确；c、命题“a、b都是有理数”的否定是“a、b不都是有理数”，c错误；d、“x25x6=0”“x=1，或x=6”，“x=1”是“x25x6=0”的充分不必要条件，d错误；故选；b点评：要注意否命题和命题的否定的区分，命题的否定是对命题整体的否定3若a是函数f（x）=x的零点，若0x0a，则f（x0）的值满足( )af（x0）=0bf（x0）0cf（x0）0df（x0）的符号不确定考点：函数的零点 专题：函数的性质及应用分析：利用函数零点的定义分别判断做出函数的图象，利用图象判断f（x0）的符合解答：解：由f（x）=x=0得，分别设，在同一坐标系中分别作出两个函数的图象，因为a是函数f（x）=x的零点，所以当0xa时，所以此时f（x）=x0故选b点评：本题主要考查函数与方程的关系以及函数零点的应用，利用数形结合是解决本题的关键4abc的内角a，b，c所对的边a，b，c满足（a+b）2c2=4，且c=60，则ab的值为( )abc1d考点：余弦定理 专题：计算题；解三角形分析：将（a+b）2c2=4化为c2=（a+b）24=a2+b2+2ab4，又c=60，再利用余弦定理得c2=a2+b22abcosc=a2+b2ab即可求得答案解答：解：abc的边a、b、c满足（a+b）2c2=4，c2=（a+b）24=a2+b2+2ab4，又c=60，由余弦定理得c2=a2+b22abcosc=a2+b2ab，2ab4=ab，ab=故选：a点评：本题考查余弦定理，考查代换与运算的能力，属于基本知识的考查5设x，yr，向量=（x，1），=（1，y），=（2，4），且，则|+|=( )abcd10考点：平行向量与共线向量；向量的模 专题：计算题；平面向量及应用分析：由向量平行与垂直的充要条件建立关于x、y的等式，解出x、y的值求出向量的坐标，从而得到向量的坐标，再由向量模的公式加以计算，可得答案解答：解：，且，x2+1（4）=0，解得x=2又，且，1（4）=y2，解之得y=2，由此可得，=（3，1），可得=故选：b点评：本题给出向量互相平行与垂直，求向量的模着重考查了向量平行、垂直的充要条件和向量模的公式等知识，属于基础题6将函数y=cos（2x）的图象向右平移个单位后所得的图象的一个对称轴是( )ax=bx=cx=dx=考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：利用诱导公式可得f（x）=cos（2x）=cos（2x），于是有f（x）=cos（2x），利用余弦函数的对称性即可得到答案解答：解：令f（x）=cos（2x）=cos（2x），则f（x）=cos=cos（2x），由2x=k（kz），得其对称轴方程为：x=+（kz），当k=0时，x=，即为将函数y=cos（2x）的图象向右平移个单位后所得的图象的一个对称轴，故选：a点评：本题考查函数y=asin（x+）的图象变换，考查余弦函数的对称性，属于中档题7函数y=的图象大致是( )abcd考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：考查函数相应性质，从四个选项中选择与之相符的一个解答：解：当x=1时，y=0；又f（x）=f（x），即函数为奇函数只有d项与之相符故选：d点评：本题考查了函数的性质与识图能力，属基础题，一般先区分四个选项，再研究函数对应的性质，选择与之相符的选项8若函数在上单调递增，则实数a的取值范围( )a（0，1b（0，1）c故选a点评：本题主要考查分段函数的单调性的应用，要保证分段函数满足单调递增，同时两个函数在端点处的函数值也存在一定的大小关系，利用数形结合的思想去解决9己知定义在实数集r上的函数f（x）满足：f（2x）=f（x）；f（x+2）=f（x2）；当x1，x2时，0，则f、f、f满足( )afffbfffcf=ffdf=ff考点：抽象函数及其应用 专题：函数的性质及应用分析：给出了函数的对称轴；给出了周期；确定了单调性，据此可以将给的函数值进行转化，最终变成内的函数值再进行比较解答：解：因为f（2x）=f（x），所以该函数的对称轴为x=，由f（x+2）=f（x2），令t=x2，代入原式得f（t+4）=f（t），所以该函数周期为4，因为当x1，x2时，0，所以该函数在上是增函数则f=f（4503+2）=f（2），f=f（4503+3）=f（3），f=f（4504）=f（0）=f（20）=f（2）所以f=f=f（2）f（3）=f，故选：d点评：正确理解给的三个条件所体现的函数性质是解题的关键，注意化归思想在本题中应用10已知函数f（x）满足f（x）=f（x），且当x（，0）时，f（x）+xf（x）0成立，若a=f，b=（ln2）f（ln2），c=（log2）f（log2），则a，b，c的大小关系是( )aabcbcbacacbdcab考点：利用导数研究函数的单调性；不等式比较大小 专题：导数的综合应用分析：构造函数h（x）=xf（x），由y=f（x）是r上的偶函数，y=x是r上的奇函数，得h（x）=xf（x）是r上的奇函数，h（x）在（，0）递减，在（0，+）递增，得320.11，0ln21，|log2|20.2ln2推出结果解答：解：构造函数h（x）=xf（x），由y=f（x）是r上的偶函数，y=x是r上的奇函数，得h（x）=xf（x）是r上的奇函数，又x（，0）时，h（x）=f（x）+xf（x）0成立，h（x）在（，0）递减，在（0，+）递增，320.11，0ln21，|log2|=320.1ln2，a=f，b=（ln2）f（ln2），c=（log2）f（log2）即bac，故选：d点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，函数的奇偶性，是一道综合题二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分将答案填在答题卡相应的位置上）11已知函数f（x）=，则=考点：函数的值 专题：计算题；函数的性质及应用分析：根据f（x）解析式代入相应表达式即可求得答案解答：解：由f（x）解析式可得：f（）+f（2）=+22=+=2+=，故答案为：点评：本题考查对数函数、指数函数的求值问题，属基础题，准确把握相应运算法则是解题的基础12已知tan=3，则sin22cos2=考点：三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦 专题：计算题分析：先把通过二倍角公式sin22cos2=sin2cos21，再利用万能公式把tan=3代入即可得到答案解答：解：sin22cos2=sin2cos21=1=故答案为：点评：本题主要考查了三角函数中的二倍角公式和万能公式的应用属基础题13函数f（x）=excosx的图象在点（0，f（0）处的切线的倾斜角为考点：导数的几何意义 专题：计算题分析：先求函数f（x）=excosx的导数，因为函数图象在点（0，f（0）处的切线的斜率为函数在x=0处的导数，就可求出切线的斜率，再根据切线的斜率是倾斜角的正切值，就可根据斜率的正负判断倾斜角解答：解：f（x）=excosxexsinx，f（0）=e0（cos0sin0）=1函数图象在点（0，f（0）处的切线的斜率为tan=1函数图象在点（0，f（0）处的切线的倾斜角为故答案为：点评：本题考查了导数的运算及导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系，属于综合题14在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且sina=sinbcosc，则b=；若，则=考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用 专题：计算题；解三角形分析：根据三角形内角和定理与诱导公式，可得sina=sin（b+c）=sinbcosc+cosbsinc，代入题中等式得到cosbsinc=0结合sinc0得cosb=0，可得b=；若，由三角形内角和定理算出c=，再根据正弦定理加以计算，可得的值解答：解：abc中，b+c=a，sina=sin（a）=sin（b+c）=sinbcosc+cosbsinc，sina=sinbcosc，sinbcosc+cosbsinc=sinbcosc，即cosbsinc=0又abc中，sinc0，cosb=0，可得b=；若，则c=ab=，sina=，sinc=，可得sinc=sina，由正弦定理得c=a，=故答案为：，点评：本题给出三角形角之间的关系式，求角b的大小并依此求边的比值着重考查了三角形内角和定理、两角和的正弦公式和正弦定理等知识，属于中档题15已知，是夹角为60的两个单位向量，若=+，=4+2，则与的夹角为120考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：若设与的夹角为，根据条件求出cos即可要求，根据条件先求，也是这样求解解答：解：根据条件：=，设与的夹角为，则cos=；=120故答案是：120点评：考查向量的数量积的运算，向量的夹角注意求，先求的方法16已知函数f（x）的定义域为，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f（x）的图象如图所示下列关于f（x）的命题：x1045f（x）1221函数f（x）的极大值点为0，4；函数f（x）在上是减函数；如果当x时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数y=f（x）a有4个零点其中正确命题的个数有2 个考点：命题的真假判断与应用 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用分析：本题考查利导函数判断函数单调性和极值的问题，先利用导函数图象求函数极值和单调性，然后判断正误解答：解：导函数图象在x=0和4处导数为0，且导数符号由正到负，函数f（x）先增后减，函数f（x）的极大值点为0，4，正确；导函数图象在x处恒在x轴下侧，f（x）0，函数f（x）在上是减函数，正确；如果当x时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为5，而不是4，错误；由导函数图象得，函数在x=0，2，4处取得极值2，f（2），2，而当x取端点值f（1）=f（5）=1，则当f（2）1时，函数的值域为，结合函数性质，当1a2时，函数y=f（x）a有4个零点；则当f（2）1时，函数的值域为，结合函数性质，当1a2时，函数y=f（x）a有2个零点；综上当1a2时，函数y=f（x）a有2或4个零点，错误故答案为：2点评：难点是y=f（x）a中零点个数转化为方程f（x）=a的解的个数，可数形结合，画图求解17如果对于函数f（x）的定义域内任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2）且存在两个不相等的自变量m1，m2，使得f（m1）=f（m2），则称f（x）为定义域上的不严格的增函数已知函数g（x）的定义域、值域分别为a，b，a=1，2，3，ba且g（x）为定义域a上的不严格的增函数，那么这样的函数g（x）共有9个考点：函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：根据本题所给的定义，以及函数的定义对所给的函数进行讨论，解决此题要分三类，三对一的对应，二对一的对应，一对一的对应三种来研究，进而得到答案解答：解：由题意，若函数g（x）是三对一的对应，则有1，2，3对应1；1，2，3对应2；1，2，3对应3三种方式，故此类函数有三种若函数是二对一的对应，则有1，2对1，3对2；1，2对1，3对3，共有两种； 1对1，2，3对2；1对1，2，3对3，有两种；1对2，2，3对3，共有一种若函数是一对一的对应，则1对1，2对2，3对3，共一种综上，这样的g（x）共有3+2+2+1+1=9种，故答案为 9点评：本题考查函数单调性的性质，求解本题的关键是正确理解所给的定义，结合函数定义中对应的思想，对可能的函数进行列举，得出可能函数的种数，本题比较抽象，解题时要注意对其情况分类讨论，不重不漏，本题易因为分类不清，或者考虑情况不严密出错，属于基础题三、解答题（共65分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18设函数f（x）=lg（x2x2）的定义域为集合a，函数g（x）=的定义域为集合b（1）求ab；（2）若c=x|m1x2m+1，mr，cb，求实数m的取值范围考点：函数的定义域及其求法；集合的包含关系判断及应用；交集及其运算 专题：规律型；函数的性质及应用分析：（1）利用函数的定义域求法，求得集合a，b利用集合的基本运算进行求解即可（2）讨论c为空集和非空时，满足条件cb时成立的等价条件即可解答：解：（1）要使函数f（x）有意义，则x2x20，解得x2或x1，即a=x|x2或x1，要使g（x）有意义，则3|x|0，解得3x3，即b=x|3x3，ab=x|x2或x1x|3x3=x|3x1或2x3（2）若c=，即m12m+1，解得m2时，满足条件cb若c，即m2时，要使cb成立，则，解得2m1综上：m1即实数m的取值范围是（，1点评：本题主要考查函数定义域的求法，集合的基本运算，以及利用集合关系求参数问题19已知向量，函数f（x）=2的最小正周期为（0）（1）求f（x）的递减区间；（2）在abc中，a，b，c分别是a、b、c的对边，若f（a）=4，b=1，abc的面积为，求a的值考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）根据题意和向量的数量积运算、两角和的正弦公式，化简函数解析式，由函数的周期求出的值，再由正弦函数的减区间求出此函数的减区间；（2）由f（a）=4和角a的范围求出角a的值，由三角形的面积公式求出c的值，代入余弦定理求出a的值解答：解：（1）由题意得，=因为0，t=，所以=1，所以由得，所以f（x）的递减区间为（kz） （2）由f（a）=4得，f（a）=4，所以 又a为三角形的内角，则，所以，解得a= 因为abc的面积为，b=1，所以，解得c=2 由余弦定理得，a2=c2+b22cbcosa=1+42=3，所以a= 点评：本题考查正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，向量的数量积，两角和的正弦公式，以及正弦函数的单调性、周期性的应用，属于中档题20国庆期间襄阳某体育用品专卖店抓住商机大量购进某特许商品进行销售，该特许产品的成本为20元/个，每日的销售量y（单位：个）与单价x（单位：元）之间满足关系式y=，（其中20x50，a为常数）当销售价格为40元/个时，每日可售出该商品401个（1）求a的值及每日销售该特许产品所获取的总利润l（x）；（2）试确定单价x的值，使所获得的总利润l（x）最大考点：利用导数求闭区间上函数的最值 专题：计算题；应用题；导数的综合应用分析：（1）由题意401=+4（4050）2，从而求出参数值，再写出总利润l（x）即可；（2）化简l（x）=4x3480x2+18000x199980，求导l（x）=12（x30）（x50），讨论其正负从而确定单调性，从而求最值解答：解：（1）y=，401=+4（4050）2，解得，a=20；y=，则每日销售该特许产品所获取的总利润l（x）=y（x20）=（）（x20）=20+4（x20）（x50）2，（2）由l（x）=20+4（x20）（x50）2=4x3480x2+18000x199980，l（x）=12x2960x+18000=12（x30）（x50），则当x时，l（x）0，l（x）为增函数；当x（30，50）时，l（x）0，l（x）为减函数；则当x=30时，lmax（x）=16020即当销售单价为30元/个时，所获得的总利润最大，为16020元点评：本题考查了将实际问题转化为数学问题的能力及导数的综合应用，属于中档题21已知函数f（x）=，其中a0，a1（1）写出f（x）的奇偶性与单调性（不要求证明）；（2）若函数y=f（x）的定义域为（1，1），求满足不等式f（1m）+f（1m2）0的实数m的取值集合；（3）当x（，2）时，f（x）4的值恒为负，求a的取值范围考点：函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数恒成立问题 专题：函数的性质及应用分析：（1）由于函数f（x）的定义域为r，且满足f（x）=f（x），可得函数f（x）为奇函数分当a1和当0a1两种情况，分别根据的符号，及函数axax的单调性，可得函数f（x）的单调性（2）由题意可得 f（1m）f（1m2）=f（m21），故有，由此解得m的范围（3）要使f（x）4的值恒为负，只要f（2）40，即 ，由此求得a的范围解答：解：（1）由于函数f（x）=，其中a0，a1，它的定义域为r，再根据f（x）=（axax）=f（x），故函数f（x）为奇函数当a1时，0，且函数axax为增函数，故此时函数f（x）为增函数当 0a1时，0，且函数axax为减函数，故此时函