2015考研数学基础班线性代数辅导讲义_20140314131856.pdf

目 录 目 录 第一讲 行列式 1 第二讲 矩阵及其运算 7 第三讲 n维向量 19 第四讲 线性方程组 30 第五讲 矩阵的特征值与特征向量 35 第六讲 二次型 42 参考答案 47 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 1 第一讲第一讲 行列式行列式 考研大纲考研大纲 1 了解行列式的概念 掌握行列式的性质 2 会应用行列式的性质和行列式按行 列 展开定理计算行列式 知识要点知识要点 一 行列式的概念一 行列式的概念 1 n阶行列式的定义 nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 111112121111 1 n nnjj j a Aa Aa Aa A 其中 1 11 1 j jj AM 且 212 12 12 313 13 13 1 1 1 1 jjn jjn j nn jn jnn aaaa aaaa M aaaa 1 2 jn 二 行列式的性质二 行列式的性质 1 行列式与它的转置行列式相等 T nnnn n n nnnn n n D aaa aaa aaa aaa aaa aaa D 21 22212 12111 21 22221 11211 2 互换行列式的两行 列 行列式变号 nnnnn jnjjj iniii n aaaa aaaa aaaa aaaa D 321 321 321 1131211 nnnnn iniii jnjjj n aaaa aaaa aaaa aaaa 321 321 321 1131211 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 2 推论 如果行列式有两行 列 完全相同 则此行列式等于零 3 行列式的某一行 列 中所有元素都乘以同一数 等于用数 乘此行列式 nnnnn iniii n aaaa aaaa aaaa D 321 321 1131211 nnnnn iniii n aaaa aaaa aaaa 321 321 1131211 推论 1 行列式中某一行 列 的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 2 行列式中如果有两行 列 元素成比例 则此行列式等于零 4 如果行列式的某一行 列 的元素都是两数之和 则此行列式等于两个行列式之和 两 个行列式在该行 列 分别取第一个和第二个元素 其余各行 列 都不变 nnnnn ininiiiiii n aaaa babababa aaaa 321 332211 1131211 nnnnn iniii n aaaa aaaa aaaa 321 321 1131211 nnnnn iniii n aaaa bbbb aaaa 321 321 1131211 5 把行列式的某一行 列 的各元素乘以同一数 然后加到另一行 列 对应的元素上去 行列式的值不变 nnnnn jnjjj iniii n aaaa aaaa aaaa aaaa D 321 321 321 1131211 nnnnn injnijijij iniii n aaaa aaaaaaaa aaaa aaaa 321 332211 321 1131211 6 行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 ininiiii AaAaAaD 2211 其中ni 1 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 3 njnjjjjj AaAaAaD 2211 其中nj 1 推论 行列式某一行 列 的各元素与另一行 列 对应的元素的代数余子式乘积之和等 于 零 0 2211 jninjiji AaAaAa 其中nji 1 0 2211 njnijiji AaAaAa 其中nji 1 7 拉普拉斯定理 行列式等于某几行的所有子式与其对应的代数余子式乘积的和 三 克莱姆法则三 克莱姆法则 设含有n个未知数 n xxx 21 的n个线性方程的方程组 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 0 0 0 2211 2222121 1212111 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 定理 如果线性方程组 的系数行列式不等于零 即0 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa D 那 么 方程组 有唯一解 D D x D D x D D x n n 2 2 1 1 其中 nnjnnjnn njj j aabaa aabaa D 1 1 1 11 111 111 21 nj 推论 1 如果线性方程组 无解或有两个不同的解 则它的系数行列式必为零 2 如果齐次线性方程组 有非零解 则它的系数行列式必为零 例例 1 设A是n阶矩阵 证明 存在非零的n阶矩阵B使0 AB的充要条件是0 A 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 4 四 重要公式四 重要公式 1 1111121 2122222 1122 12 00 00 00 n n nn nnnnnn aaaa aaaa Da aa aaaa 2 11 1 2 12 22 11 000 000 1 000 000 nn nn n n n aa aa Da aa aa aa 3 奇数阶反对称行列式等于0 4 范德蒙德行列式 则向量 组 s 21 线性相关 两个等价的线性无关组所含向量个数相等 1 n个n维向 量组一定线性相关 5 定理 n个n维向量构成的向量组 n 21 线性相关的充分必要条件是 0 21 22212 12111 nnnn n n aaa aaa aaa 6 定理 向量组 m 21 线性相关的充分必要条件是 12 m rm 例例1 判断下列命题是否正确 1 设 n 21 为一组向量 若有一组不全为零的数 n kkk 21 使得 2211 kk0 nn k 则向量组 n 21 一定线性无关 2 若向量组 n 21 线性相关 则其中任一向量都可以由其余向量线性表示 3 若向量组 n 21 线性相关 则 n 一定可以由其余向量线性表示 4 若向量组 n 21 两两线性无关 则向量组 n 21 一定线性无关 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 22 例例2 设向量组 123 线性无关 且向量 不能由向量组 123 线性表示 判断 123 的线性相关性 四 向量组的秩四 向量组的秩 1 极大线性无关组 如果向量组 s 21 中部分组 r iii 21 满足以下条件 1 r iii 21 线性无关 2 向量组 s 21 中任意1 r个向量都线性相关 备注 向量组 s 21 的极大线性无关组不唯一 向量组 s 21 与极大线 性无关组 r iii 21 等价 2 向量组的秩 向量组 s 21 的极大线性无关组中所含向量的个数 记作 12 s rr 3 向量组的秩的性质 1 若向量组 I可以由向量组 II线性表示 则 r Ir II 2 若向量组 I与 II等价 则 r Ir II 反之不成立 但若向量组 II可以由 向量组 I线性表示 且 r Ir II 则向量组 I与 II等价 3 向量组 t 21 可以由 s 21 线性表示的充分必要条件是 12 s r 12 s r 21t 4 向量组 t 21 与向量组 s 21 等价的充分必要条件是 12 s r 12 t r 12 s r 21t 五 矩阵的秩五 矩阵的秩 1 矩阵A的k阶子式 在nm 矩阵A中任取k行k列 由交叉元素按原来次序构成的k阶 行列式 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 23 2 矩阵的秩 矩阵 nm A 中不等于零的子式的最高阶数 记作 r A 备注 1 若 r Ar 则所有高于r阶的子式都为0 2 0r A 的充分必要条件 是0 A 3 定理 初等变换不改变矩阵的秩 4 定理 矩阵的秩等于它行向量组的秩 也等于它列向量组的秩 5 矩阵的秩的性质 1 0 min r Am n 2 T r Ar A 3 若AB 则 r Ar B 4 若P Q可逆 则 r PAQr A 5 max r A r Br A Br Ar B 6 r ABr Ar B 7 min r ABr A r B 8 若0 pnnm BA 则 r Ar Bn 9 设A是n阶矩阵 则 1 1 0 2 nr An r Ar An r An 六 施密特正交化六 施密特正交化 1 正交 若0 则向量 与 正交 2 定理 设 m 21 线性无关 令 11 1 11 12 22 2 22 23 1 11 13 33 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 24 1 11 1 2 22 2 1 11 1 m mm mmmm mm 则向量组 m 21 是正交向量组 1 1 1 2 2 2 m m m 是标准正 交向量组 例例3 用施密特正交化把向量组 T 111 1 T 101 2 T 321 3 规范正 交化 七 向量空间七 向量空间 1 定义 设V为n维向量的集合 如果集合V非空 且集合V对于向量的加法及乘数两种 运算封闭 那么称集合V为向量空间 例例4 判断下列集合是否为向量空间 1 RxxxxW nn 0 0 111 2 0 21212 nn xxxxxxW 3 12 21213 nn nxxxxxxW 4 是整数 in xxxxW 214 2 基 设V为向量空间 如果r个向量V r 21 且满足 1 r 21 线性无关 2 V中任一向量都可由 r 21 线性表示 3 维数 基中向量的个数称为向量的维数 记sW dim 4 坐标 设 r 21 是向量空间V的一个基 则V中任一向量 可唯一地表示为 rr xxx 2211 称 T r xxx 21 为 向 量 关 于 基 r 21 的坐标 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 25 5 过度矩阵 设 n 21 与 n 21 为 n R的两组基 且 nnnnnn nn nn aaa aaa aaa 2211 22221212 12121111 则矩阵 nnnn n n aaa aaa aaa P 21 22212 12111 被称为 从 基 n 21 到基 n 21 的过度矩阵 备注 过度矩阵一定可逆 6 基变换 设 T n xxxx 21 为向量 关于基 n 21 的坐标 T n yyyy 21 为向量 关于基 n 21 的坐标 则Pyx 或xPy 1 典型例题典型例题 一一 选择题选择题 例例5 设向量组 线性无关 线性相关 下列正确的的是 A 必可由 线性表示 B 必不可由 线性表示 C 必可由 线性表示 D 必不可由 线性表示 例例6 向量组 I r 21 可由向量组 II s 21 线性表示 则 A当sr 时 向量组 II必线性相关 B当sr 时 向量组 II必线性相关 D当sr 时 向量组 I必线性相关 例例7 设 A B为满足0AB 的任意两个非零矩阵 则必有 A A的列向量组线性相关 B的行向量组线性相关 B A的列向量组线性相关 B的列向量组线性相关 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 26 CA的行向量组线性相关 B的行向量组线性相关 DA的行向量组线性相关 B的列向量组线性相关 例例8 设 963 42 321 tQ P是3阶非零矩阵 且0 PQ 则 A 6 t时 1r P B 6 t时 2r P C 6 t时 1r P D 6 t时 2r P 例例9 向量组 1234 线性无关 则命题正确的是 A 12233441 线性无关 B 12233441 线性无关 C 12233441 线性无关 D 12233441 线性无关 例例10 设 abb bab bba A 1r A 则 A 0 ba B ba 且02 ba C 02 ba D ba 且02 ba 二二 填空题填空题 例例11 设n阶矩阵 a a a A 11 111 111 3 n 且 1r A 则 a 例例12 设 365 123 1121 A 且 2r A 则 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 27 例例13 设 43 025 212 a A B是3阶非零矩阵 且0 AB 则 a 例例14 设A是23 矩阵 B是32 矩阵 则 BA 三三 解答题解答题 1 讨论向量组的线性相关性 例例15 判断下列向量组的线性相关性 1 T e 001 1 T e 010 2 T n e 100 2 T 1 11 1 T 2 50 2 T 4 72 3 3 T 3 5 11 1 T 6 1 42 2 T 9 7 103 3 例例16 设 12 n a aa 是互不相同的数 21 1 n iiin a aa 1 2 ir 判断向量 组 12 r rn 的线性相关性 2 证明向量组的线性相关性 例例17 设A为n阶矩阵 若存在正整数k 2 k 使得0 k A 但0 1 k A 其 中 为n维非零向量 证明 1 k AA 线性无关 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 28 例例18 证明 321 线性无关的充要条件是 211 322 133 线性无关 例例19 设向量组 321 线性无关 1123 2 212 313 证明 321 线性相关 例例20 设n个n维向量 n 21 构成一个向量组 证明 它们线性无关的充分必要条 件是任一n维向量都可由它们线性表示 例例21 设 A B分别为 nm mn 矩阵 nm 且ABE 证明 B的列向量组线性 无关 3 求向量组的极大线性无关组 例例22 设向量组 T 5432 1 T 6543 2 T 7654 3 T 8765 4 求向量组 4321 的极大线性无关组 并把其余向量用极大线性无关组表示 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 29 4 有关向量组的秩或矩阵的秩的计算与证明 例例23 设 41461 35102 16323 05023 A 求矩阵A的秩及A的一个最高阶非零子式 例例24 设 121 312 321 nn n n 证明 向量组 n 21 与向量组 n 21 等价 例例25 设n个n维向量构成的向量组 n 21 且n维单位坐标向量 n eee 21 能 由它们线性表示 证明 向量组 n 21 线性无关 例例26 设向量组 T 1111 1 T 3113 2 T 1102 1 T 2011 2 T 0213 3 证明 向量组 21 与向量组 321 等价 例例27 设A是m n 矩阵 mn 证明 0 T A A 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 30 5 有关向量空间命题的证明 例例28 设 3 R的两个基为 1 1 1 1 1 0 1 2 1 0 1 3 及 1 2 1 1 4 3 2 2 3 4 3 3 求 1 由基 321 到基 321 的过度矩阵 2 若向量 关 于基 321 的坐标为 T 121 则向量 关于基 321 的坐标 第四讲第四讲 线性方程组线性方程组 考研大纲 考研大纲 1 会用克拉姆法则解线性方程组 2 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条 件 3 理解齐次线性方程组的基础解系 通解的概念 掌握齐次线性方程组的基础解系和通解 的 求法 4 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念 5 掌握用初等行变换求解线性方程组的方法 知识要点 知识要点 一 线性方程组的概念 一 线性方程组的概念 定义 含有n个未知数m个方程的线性方程组为 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 31 或bAx 其中 mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 n x x x x 2 1 m b b b b 2 1 或bxxx nn 2211 其中 T miiii aaa 21 二 线性方程组解的性质 二 线性方程组解的性质 1 定理 若 1 2 是0 Ax的两个解 则其线性组合 2211 kk 21 k k为任意实 数 仍是0 Ax的解 2 定理 若 1 2 是bAx 的两个解 则 21 是0 Ax的解 3 定理 若 是0 Ax的解 是bAx 的解 则 是bAx 的解 4 基础解系 设 s 21 是0 Ax的解 且满足以下性质 1 s 21 线性无 关 2 0 Ax的任一个解均可以由 s 21 线性表示 则 s 21 为0 Ax 的基础解系 5 定理 若 s 21 为0 Ax的基础解系 是bAx 的特解 则 2211 kk ss k 是0 Ax的通解 ss kkk 2211 是bAx 的通解 例例1 证明 与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系 三 齐次线性方程组解的结构定理 三 齐次线性方程组解的结构定理 1 定理 n元齐次方程组0 Ax有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 r An 2 定理 n元齐次方程组0 Ax只有零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 r An 3 定理 设 m n r Ar 则n元齐次方程组0 Ax的解集S的秩 r Snr 例例2 设A是 m n矩阵 证明 存在n s 的矩阵0B 使得0AB 的充要条件是 r An 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 32 四 非齐次线性方程组解的结构定理 四 非齐次线性方程组解的结构定理 1 定理 n元非齐次方程组bAx 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的 秩 即 r Ar A b 1 bAx 有唯一解的充分必要条件是 r Ar A bn 2 bAx 有无穷解的充分必要条件是 r Ar A bn 2 定理 n元非齐次方程组bAx 无解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于增广矩阵的 秩 即 r Ar A b Axxf T 则称二次型 Axxf T 为正定二次型 系数矩阵A为正定矩阵 2 定理 设n元二次型Axxf T 为正定二次型 二次型Axxf T 的正惯性指数np 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 44 A与E合同 即有可逆矩阵P 使得PPA T A的特征值均为正数 A 的顺序主子式均大于零 例例4 设A是n阶正定矩阵 证明 1 A A也是正定矩阵 例例5 设 323121 2 3 2 2 2 1 4225xxxxxaxxxxf 为正定二次型 求a取值范围 典型例题典型例题 一 选择题一 选择题 例例6 设 12 21 A 则在实数域上与A合同的矩阵为 A 21 12 B 21 12 C 21 12 D 12 21 例例7 设矩阵 211 121 112 A 000 010 001 B 则A与 B A合同且相似 B合同但不相似 C不合同但相似 D既不合同也不相似 二 填空题二 填空题 例例8 设 二 次 型 2 321 2 32 2 321 3 32 2 axxxxxxaxxf 正 定 则 a 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 45 例例9 二次型 2 213 2fxx x 的负惯性指数 q 三 解答题三 解答题 1 化二次型为标准型 例例10 设 T 2 2 1 是二次型 323121 2 3 2 2 2 1 8444xxxxxxbxxaxf 矩阵A的 特征向量 求正交变换化二次型为标准型 并写出所用正交变换 例例11 设矩阵 11 11 11 a Aa a 1 1 2 且线性方程组Ax 有解但不唯一 1 求a的值 2 求正交矩阵Q 使得 T Q AQ为对角矩阵 2 二次型通过正交变换化为标准型求参数 例例12 设二次型 323121 2 3 2 2 2 1 244xaxxxxxxxxf 经正交变换为 22 12 33yy 2 3 by 求a b的值及所用正交变换 3 有关正定二次型或正定矩阵的判断与证明 例例13 设A EA 都是n阶实对称正定矩阵 证明 1 AE是正定矩阵 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 46 例例14 设A B均是n阶正定矩阵 k l均是正数 证明 kAlB 也是正定矩阵 例例15 设A是n阶实对称矩阵 若对任意的n维列向量 恒有0 T A 证明 0A 例例16 判断n元二次型 nji ji n i i xxxf 11 2 的正定性 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 47 参考答案参考答案 第第 1 讲讲 行列式例行列式例 例1 说明 必要性 已知存在n除非零矩阵B 使得AB 0 将B中的每一列记录 1 2 n 即B 1 2 n 且 1 2 n至少有一个为非零到向量 且满足 A i 0 i 1 2 n 这说明AX 0有非零解 所以r A n 从而 有 A 0 充分性 已知 An 0 即r An n 从而 方程组AX 0有非零解 不妨设到向量 是一 个非零解 那么构选B 0 0 0 0 则必有AB A 0 0 0 0 0 例2 5 例3 a 例4 2 例5 0 例6 解 按第1列展开求Dn 1 11 1 00000 00 00 00000 1 n n nnn xyy xy Dxy xy xxy xy 1 1 例7 解 累加法 1 1 1 111 1 1 2 3 111 00 1 1 2 3 00 i n i n rraxa axa Dnax in aax aax rra xa naxnaxxa in xa 例8 解 累加法 11 1 1 11 22 11111111 1111100 1 0 2 3 2 3 1110 1 00 111 1 000 1 1 1 1 ii n n nn n nnn rrrrnn D ininnn nn nn 1 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 48 例9 解 1 2 1 12222 2222 10000 1 0100 101002 11 2 3 0010 10010 0002 10002 2 2 i n rr D inn n n n n 按第 行展 开 例10 解 1 1 1 231 2 1 1231 131 2 1131 2 3 1 1311311 1 2 2 1 1341 1 341 1341 2 1 341 2 10000 11000 11 1 2 2 3 n j j n n nn n n nn nn nn jnn n nnnn n n D CC n n n n n n n n CCj n n jn 11 200 1 1 1 1 22 111 2 0 1111 1 nn n nn n n n 1 例11 解 列变换 1 23 2 123 3 23 1 111 111 2 3 000 111 000 1 000 n nn n j j n a aaa jn a Daa aa aaaa CC a a 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 49 例12 解 加边法 123123 11231 122320 12333 1231 1 1 0 11 010000 01000 1 01000 1 2 01000 1 1 2 1 nn n ni n n nnn j j aaaaaaaa aaaa aaaarr D aaaa in aaaaa a jn CC 第 行 第0列 123 1 1 212 1 3 0000 00001 0000 0000 n n n n n n n a aaaa aa 例13 解 拆项法 11121 2122221222 12 1212 111 1111111 111111 n nn n nnnnnnnn x yx yx y x yx yx yx yx yx y DII x yx yx yx yx yx y 第 行拆分 将 21 212121 1 1 212121 111 1 1 023 n rr x yx yx y rr I x yx yx y 第 行与第 行成等比 1112111121 21222 2 1212 111 20 111111 nn n nnnnnnnn x yx yx yx yx yx y x yx yx y I x yx yx yx yx yx y 第 行拆分 将 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 50 所以 Dn 0 例4 解 1131223112 nn BII 拆分 11231231 11 1 1 nnn nnn I cccc 列列 变换变换 123 n Aa 2243412341 2132 1 2341121 1 1 nn n nn I cccc 列 1 逐次与前列 变换 将对换 1 n 1 A 1 n 1a B a 1 1 n 11 例15 解 递推法 1 11 1 231 1001000 1001 1 1 001 001 n n nn x x Dxa x aaaax 按第 列展 开 11 1111 1 1 nn nn xDaxDa 得递推公式 11nn DxDa 依次有 122322nnn DxDaDxDa 逐次代回 得 23 2221 nn nn DxDaxa xa 而 21 1 1 nn nn x Da xa aa 代入 得 12 121 nn nnn Dxaaxa xa 例16 解 拆项 递推 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 51 12 110000110000 121000021000 0121000121001 000021000021 000012000012 n DII 按第 列拆分 1 1 110000 011000 1 001100 1 2 3 000011 000001 ii rr I in 1 1 21 21000 12100 1 1 1 00021 00012 n ID 按第 列展求值 开 所以 1 1 nn DD 依次可有 1232 1 1 nn DDDD 代入 得 232 21 2322231 12 nnn DDDnDnnn 例17 解 1112131411121314 1111 1105 1 1 1313 2413 AAAAAAAA 1 12 13 14 1 1121314111213141 2 1 MMMAMMMM 1 1 1 1 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 52 11213141 1521 1105 1 1 1 1 0 1313 1413 A 例18 证明 由已知 不妨设 121 nn x xxx 是使 0 1 f xn 的个不同的数值 则 代入多项式有 01 11 0122 01 1 0111 0 0 0 0 n n n n n nn n nnn cc xc x cc xc x cc xc x cc xc x 若把 012 n cc cc 看作未知量 则上方程组就成为含有 n 1 个未知量且有 n 1 个方程 系数行列式 2 111 2 121 222 222 121 2 2 121 111 1111 1 1 1 n n n n n nnn nnn n n nnn xxx xxxxxx Axxx xxx xxxxxx 范德蒙行列式 121 I1 jinn ij n xxx xx x 0 互不相同 所以 上方程组有唯一解 即 012 0 n cccc 从而 0 f x 第第 2 讲讲 矩阵及其运算矩阵及其运算 例题解答 例1 解 1 不正确举个反例 如 00 10 A 则 2 00 00 A 但0 A 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 53 2 不正确 反例 如 100 000 000 A 且 2 100 000 000 AA 但0A 且AE 3 不正确 反例 如 100000 101100 ABC 且AB 0 AC 0 即 ABAC 且0A 但BC 4 不正确 2222222 0 AB ABAB ABAABBABABABAB 5 不正确 T TT ABB ABAAB 矩阵乘法不满足交换律 例2 证明 1 设A B为两个上三角矩阵 则 111111 11 22222222 000 000000 nnnnnnnn aba b aba b AB aba b 所以 AB也是上三角矩阵 2 设A B为主对角元为0的上三角矩阵 则 0000 0000000 0000000000 AB 可以 看到AB仍是主对角元为0的上三角矩阵 3 设A B是主对角元金为1的上三角矩阵 则 121121 22 111 010101 001001001 nn nn aabb ab AB 所以 命题成立 例2 解 设 ijn n Bb 与 可交换 即B B 具体计算有 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 54 1112111 112 121 2122221 212222 121122 nnn nnn nnnnnnnnnn bbbbbb bbbbbb B bbbbbb 1 111 121 1 22122222 12 n n nnnnnnn bbb bbb B bbb 由B 可得对应元素相等 对i j 由 iijjij bb 移项 得 0 0 ijijijij bijb 同理 可得出 当i j时 0 ij b 因此 B只能是对角矩阵 例4 证明 1 TTTTT AAAAAAAA 是对称矩阵 TTTTT AAAAAAAA 是反对称矩阵 2 由 1 可知 111 222 TTTT AAAAAAAAA 其中 1 2 T AA 为对称矩阵 1 2 T AA 为反对称矩阵 例5 解 1 11 1 db AA caAadbc 1 1 2 1 1 2 1 n a aA a 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 55 1 1 1 1 1 3 1 n n a aA a 例6 解 1 不正确 反例 100100 010 010 001001 AB A与B可逆但 000 000 000 AB 不可逆 2 不正确 反例 如 1000 1011 AB A与B不可逆 但 10 01 AB 是可逆的 3 不正确 反例 01 12121 10 11111 00 ABAB 10AB 即AB可逆 但A与B不可逆 4 不正确 例如 2000 0200 AB 可知AB 0不可逆 但A是可逆 例7 略 例7 证明 由公式 1 2 nT AAAAAA 得 再由 可得 例8 22 1 0 T AAAAAA A可逆即 0A 所以 1 0A 即 1A 例9 选 B 例10 选 A 例11 选 C 例12 选 D 例13 3E 例14 3 例15 0 例16 16 例17 9 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 56 例18 解 246 123 123 T aaxayaz bx y zbxbybz ccxcycz 22 3axbycz 而 7 T x a b cyaxbycz z 例19 解 60PP 可逆 由 11 nn APPAP PAPP 且 31211321 23 23 APPPPP PPP 而 1 111 333 11 0 22 111 636 P 代入P与P 1 可得 505 000 505 A 例20 解 232432 22332443 234 213346 02 03 04 000000 AAA 12 543 5541 5 1 510 2 05 0 0000 nnn nnn n n n n AAn 上述矩阵的最右上角元素的系数为 1 3 1 2 6 1 2 3 10 1 2 3 4 1 2 3 民 1 1 2 n n 例21 解 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 57 232 666111111111111 1212126 222 6 222 181818333333333333 AA 1 111 6222 333 nn A 例22 证明 必要性 已知A B为n阶对称矩阵 AB也是对称矩阵 即 TTT AA BBABAB 而 T TT ABB ABA 所以AB BA 充分性 已知 T T AA BBABBA 且那么 TTTT ABBAA BAB AB为对称矩阵 例23 证明 由已知 可设 11121 12222 12 n n nnnn aaa aaa A aaa 再由 2 0A 即A2中所有元素为0 其中 对角元为 222 11121 222 12222 222 11 0 0 0 n n nnnn aaa aaa aaa 从而 解得 0 1 2 0 ij aijnA 即 例24 解 4 1 2 36 TT ABA B 例25 解构造矩阵 mm n m mn EA C BE 2 1 mm n mnn n rB r E A CEEBAEBA OEBA 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 58 1 2 m mnm n mn rA r E ABO CEABEEAB BE 所以 nm EBAEAB 例26 证明 一方面 21212 kkkk EA EAAAEAAAAAAEAE 另一方面 21212 kkkk EAAAEAEAAAAAAEAE 由递矩阵的定义 得 121 k EAEAAA 例27 1 1 128 12 2211414 333 111130111325 1013212322 01 333 X 2 11 010143100 100201001 001120010 X 初等矩阵的逆阵 010143100102 100201001341 001120010021 3 1 1 11 2 2 2 A XAXAE XAXAEA 1 11 11 0 22 202 11 0 4220 22 022 11 0 22 AAA AA 从而 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 59 1 1111111 00000 2222244 002 1111111 20000000 2222244 020 1111111 00000 2222244 X 例28 证明 1 2 1 0 1 0 1 TTTTTT TTTTT TTT AAEEAEA AA 矩阵 2 当 1 T 时 在等式 T AE 两边右乘 得 T AE 即 0 T A 这说明 0AX 有非零解 即 r A n 从而 0A 所以 A不可逆 例29 解 将A分块 1 2 1 2 1 000 000 0 0 000 000 n n a a A A A a a 利用分块矩阵的逆阵性质得 1 1 12 1 1 2 1 1 000 1 000 0 1 000 0 1 000 n n a a A A A a a 例30 证明 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 60 1 121 1 0 ABABrCAr QADCA B CDDCA B 例31 证明 21 0 ABrE rABABAB ABAB BABAABEEEE ABAB 例32 解 2 1006 20132 010010010100 100100100010 001001001001 010010010010 100100100100 001001001001 E 另外 2 2014 001001001100 010010010010 100100100001 000 010 100 E E 所以 原式 010123456 100456123 001789789 E 例33 解 B是由A经过初等列变换得到的 再根据初等变换与初等矩阵的关系 可得 1312 2 BA EE 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 61 其中 1312 102010 2 010100 001001 EE 11 13121312 012 3 2 3 2 3 100 001 A BA ABAAEEEE 第 3 讲 n 维向量 第 3 讲 n 维向量 例题解答 例1 解 1 不正确 因为这是线性相关的定义 2 不正确 例如 12312 100 012 一定线性相关 但不能由 3 来线性表示 3 不正确 如 2 题中的例子 4 不正确 例如 123 111 210 其中 1213 23 每一个向量组都是线性无关的 但 1 2 3 是线性无关的 例2 解 1 2 3 是线性无关的 否则 若 1 2 3 线性相关 而已知 中 1 2 3 线性无关 由定理可得 能由 1 2 3 线性表示 与已知中 不能由 向量组 1 2 3 线性表示矛盾 例3 解 由施密特正交化方法 令 11 1 1 1 T 21 221 11 1 21 3 33 T 3231 3321 2211 2 0 2 T 再令 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 62 1123 1 1161 212 1 1 1 1 0 1 23 3323 T TT 例4 解 1 是 因为 任取W的两个向量 x1 v 0 xn y1 0 0 0 yn x1 xn y1 yn 111 0 0 nn RxyxyW 则 任取kR 112 0 0 0 0 nn xxWkdkxkxW 则封闭性成立 是 因为 任取 x1 x2 xn y1 y2 yn W2 其中 x1 x2 xn 0 y1 y2 yn 0 那么 11221122 0 nnnn xy xyxyxyxyxy 其中 2 W 加法满足封闭性 任取 12212 0 nn x xxWxxxR 其中 任意实数 则kd kx1 kx2 kxn 其中 k2x1 k x2 kxn k x1 x2 xn 0 kd 2 W 数乘也封闭 3 W3 不是向量空间 因为数乘不满足封闭性 如 d 123 n x xxW 其中 12 21 n xxnx 而R 12 n RxRxRx 其中 1212 2 2 nn RxRxnRxR xxnxR 3 RW 4 W4不是向量空间 因为数乘不满足封闭性 例5 解 线性无关也线性无关 而线性相关 由定理 得 必可由 线性表示 当然 也可以由 线性表示 故选 C 例6 解 选 D 由P19定理4的推论1 可得 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 63 例7 解 选 A 111 12212 1 0 0 0 p np nnp bb ABbbBB bb 因为则 中至少有 一个非零列向量 不妨设是第1列 则由上式得出 111212111211 0 nnn bbbbbb 不全为零 从而 12 n 线性相关 即A的列向量组是线性无关 11 1211 212222 12 0 0 0 n n nmmmn a aa ABa aaAA a aa 因为则 中至少有一个非零行向量 不 妨 设是第一行 从上式可得 1111221 0 nn 因为 11121 n 不全为零 所以 B的行向量组线性相关 例 8 解 选 C 因为 2 6 1 1 2 0 3 0 1 r p tr Q r P PQr Pr Q Pr P 时 1 6 2 1 0 3 0 1 r p tr Q r P PQr Pr Q Pr P 时 例10 解 选 D A 中的四个向量设为 112223334441 其中 41423242 相减得 41321234 00 从而 1234 线性相关 相同的方法可以得出 B C 中的向量组也是线性相关的 例10 解 选 B 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 64 1 13 12 02 r Ar AnAab 而当 10abr A 或 时所以 必有ab 例11 1 an 解 1 1 1 0 11 1 1 n r Ar AnA ana Aana 或 而 又因为1 1 12 3 ar Ar Ann 与时矛盾 所以 只能是a 1 n 例12 5 1 2 r A 3阶子式都等于0 如 121 3205 563 121 32101 56 例13 4 5 a 解 0 3 4 2 0 0 15 ABr Ar B r AAa Br B 例14 0 A B 解 2 2r Ar B 而AB是3阶交阵 且 min r ABr A r B 2 0 r ABAB 例15 解 1 设存在 12 n k kk 使得 1 12 2 0 n n k ek ek e 代入 12 n e ee 得 1 12 212 0 0 0 TT n nn k ek ek ek kk 得到唯一解 12 0 n kkk 所以线性无关 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 65 2 123 102 1240 157 线性相关 3 根据向量组的秩判断 21 3 31 41 43 3 1 5 11 123 1 2 123123123 369000000 51701122012 1410027027 123 000 012 003 rr r rr rr rr 123 3 r 线性无关 例16 解 因为 12 n 构成的行列式 21 111 12 21 222222 12 21 111 12 111 1 1 1 n n n n n nnnnnn n aaa aaa aaa aaa aaa aaa 范德蒙行列式 12 1 0 jin ij n aaa aa 互不相等 所以 12n 线性无关 又因为r 又 min r ABr A r Br Bn 又 rmr Bn 可逆 上式两端左乘 1 P 得 11 221 nn P 说明 每一个 1 都能由 12 n 线性表示 综上 得 12 n 与 12 n 是等价 例例25 证明 利用性质 若 I 可由 II 线性表示 则 r Ir II 已知 n维单位坐标向量 12 n e ee 是线性无关的 即 12 n r e een 由已知 12 n e ee 能由 12 n 线性表示 所以 1212 nn r e eer 从而有 12 n rn 即 12 n 是线性无关的 例例26 证明 利用 12 t 与 12 s 等价 1212 st rr 1212 st r 12 13 11 11 13 取两个向量的前两个分量 13 40 11 12 2 r 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 70 3132 134142 2 1 1 2 123 123 213102102102 0110110110 11 102213011000 120120021000 2 rrrr rrrrrr r 42 21 31 2 4 4 1 1 2 1 3 1 2 12123 13 2 13132131 3 2 1 3 1 1 0 11042220 4 2 2 2 11 1 02021110 0 0 0 0 1 3 1 20063330 0 0 0 0 rr rr rr rr rr i i 12123 2r 从而 得 12 与 123 等价 例例27 证明 T mnr Ar Am min TTT A An nr A Ar A r Amn 是矩阵 0 T A A 例28 解 1 设过滤矩阵为P 使得 123123 P 解出 1 123123 234 010 101 P 1 123123 11 2 2 2 11 P 11 123 13 2 1 22 2010 113 1 22 PP 于基的坐 标 2015 考研数学基础班线性代数辅导讲义 71 坐标为 9 2 2 7 2 第第 4 讲讲 线物方程组线物方程组 例1 证明 设向量组 1 2 s是方程组AX Dim基础解系 向量组 1 2 s是与 1 2 s等价的线性无关的向量组 那么 1 2 s 1 2 s P 1 即 1 2 s可以由 1 2 s来线性数字 P为S阶矩阵 若设X是方程AX Dim任意一个解 则必有 X k1 1 k2 2 k2 s 1 2 s 1 2 s k k k 将 1 式代入 得 X d1 d2 s 1 2 s k k P k 说明x也可以由d1 d2 s线性表示 由基础解系的意义 可知向量组 1 2 s也是一个基础解系 例2 证明 必要性 已知A是mxn矩阵 且存在BRXS 0 使得AB 0 那么 将A