一、二、三章习题解答.pdf

1 习题解答 习题 1 1 1 一质量为m的物体 从高度 0 s处以初速度 0 v铅直向上抛出 设空气的阻力与速度 成正比 试求物体的运动规律所满足的微分方程 并写出初始条件 解 如图建立坐标系 设时刻t时物体的高度为 x t 因物体所受的合力为 fmgkdx dt 方向向下 由 Newton 第二定律可得 2 2 d xdx mmgk dtdt 0k为常数 化简后可得微分方程 2 2 0 d xk dx g dtm dt 若令dx dtv 则得速度v满足的一阶微分方程 0 dvk vg dtm 相应的初始条件为 0 0 vv 2 一高温物体在C 20的恒温介质中冷却 设在冷却过程中降温速度与物体和其所在 介质的温度差成正比 已知物体的初始温度为 0 u 试求物体的温度 tu所满足的微分方程 并写出初始条件 解 设时刻t时物体的温度为 tu 由 Newton 冷却定律可得微分方程 20 du k u dt 0k为常数 相应的初始条件为 0 0 uu 3 已知曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横 坐标和纵坐标的等差中项 试求这曲线所满足的微分方 程 解 如图所示建立坐标系 设所求曲线为 yy x 曲线上的坐标为 x y 过点 x y处的切线上的坐标 为 X Y 则切线方程为 Yyy Xx 易见该切线在纵轴上的截距为 byxy 由条件可知 2 2 xy yxy 整理可得微分方程 11 0 2 yy x 习题 1 2 4 求下列两个微分方程的公共解 24 2yyxx 242 2yxxxyy 解 公共解当然满足关系式 24242 22yxxxxxyy 化简 得 22 2 1 0yxyx 所以 2 yx和 2 1 2 yx可能是两个方程的公共解 进一步验证可知前者是公共解 而后 者不是 5 求微分方程 2 0yxyy的直线解 解 设直线解为yaxb 则 2 0aa xaxb 比较同次幂系数得 ab 2 aa 故0ab 或1ab 亦即所求的直线解为0y或1yx 6 试求下列曲线族所满足的微分方程 1 2 ycxx 2 12 xx ycec xe 3 平面上的一切圆 解 1 从 2 ycxx 2ycx 消去c可得微分方程 2 0 xyxy 2 从 12 xx ycec xe 12 1 xx ycec xe 12 2 xx ycec xe 消去 12 c c可得微分方程 2 0yyy 3 从 222 xaybc 0 xayb y 2 1 0yyb y 3 0y yyb y 消去 a b c可得微分方程 22 1 3 0yyy y 7 给定微分方程 2223 4 x yyxy 证明其解曲线关于坐标原点 0 0 O成中心对称的 曲线也是此微分方程的解曲线 3 证明 设 00 xy是方程 2223 4 x yyxy 的积分曲线上任意一点 根据题意 我们只 需证明 00 xy也是方程 2223 4 x yyxy 的解即可 事实上 设 yy x为任意积分曲线 00 xy为其上任一点 则 2223 00000 4 x yxyxx y x 又设 1 yy x为与积分曲线 yy x关于坐标原点成中心对称的曲线 则 010 y xyx 010 y xyx 代入上式 得 2223 01010010 4 x yxyxx yx 即 2223 01010010 4 xyxyxx yx 即 00 xy也是方程 2223 4 x yyxy 的解 习题 1 3 试用图像法作出如下微分方程的方向场和积分曲线的略图 1 xy xy y 2 2 1 yy 3 xyy 1 4 22 yxy 解 1 当0 xy时 1f x y 即在第一 第 三象限内任何点的方向斜率均为 1 当0 xy时 1f x y 即在第二 第四象限 内任何点的方向斜率均为1 由此不难画出方向场及积 分曲线的略图 2 易见 2 1 f x yy满足解的存在唯一性条 件 考察等斜线 2 1 yk 0k 即 1yk 当0k时 1y 容易验证它是一条积分曲 线 再取1k可得直线0y和2y 过它们 上面各点的方向相同 斜率均为 1 画出这三条等斜 线 又见当1y或1y时 均有 0y 故过这 两个区域内每一点的积分曲线都是单调上升的 又 3 2 1 2 1 yyyy 令 0y得1y 因它是一条积分曲线 由解的 4 唯一性知其它积分曲线不可能穿过它 因此不是拐点曲线 而当1y时 0y 故过该 区域内每一点的积分曲线都是下凸的 当1y时 0y 故过该区域内每一点的积分曲 线都是上凸的 由此不难画出方向场和积分曲线略图 3 易见 1f x yxy满足解的存在唯一性条件 考察等斜线 1xyk 即1xyk 它是一族双曲线 可以验证它们都不是积分曲线 令0k 得等斜线 1xy 它将平面分成三部分 在外部 0y 故解递减 在内部 0y 故解递增 所以1xy在第二象限的一支为极小值点曲线 在第四象限 的一支为极大值点曲线 再令1k 得0 x及0y 故在两个坐标轴 上 方向的斜率均为 1 令2k得双曲线1xy 在其上方向的斜率为 2 令1k得双曲线2xy 在其上方向的斜 率为1 画出以上各等斜线 又 1 yxyyxxyy 令 0y得曲线 1 0 xxyy 易知它不是积分曲线 它将平面分成两部分 在上方 0y 过其中每一点的积分曲线 均下凸 在下方 0y 过其中每一点的积分曲线均上凸 积分曲线穿过该曲线 积分 曲线的凸性改变 故为积分曲线的拐点曲线 由此可以画出方向场和积分曲线族的略图 4 22 f x yxy满足解的存在唯一性条件 考察等斜线 22 xyk 都不是积分曲线 令0k 得零等斜线yx 它们将平面分 成四块 上下两块内 0y 过其内每点的 积分曲线均单调下降 左右两块内 0y 过其内每点的积分曲线单调上升 当积分曲线穿 过yx时 积分曲线的单调性改变 故 yx为积分曲线的极值点曲线 再令1k 作出相应的等斜线 又 22 22 22 yxyyxy xy 令 0y 得 5 22 22 0 xy xy 不是积分曲线 它将平面分成上下两部分 在上方 0y 积分曲线下凸 在下方 0y 积分曲线 上凸 由此可以作出方向场和积分曲线族的得略图 习题 2 1 1 求解下列微分方程 1 1 3 2 xy x dx dy 2 0sin 2 xy dx dy 3 2 3 0 yx dye dxy 4 1 1 0 x ydxy xdy 5 tancot0ydxxdy 解 1 分离变量得 2 3 1 x ydydx x 3 3 1 1 3 1 ydydx x 积分之 得通积分 23 2 ln 1 3 yxc c为任意常数 2 当0y时 分离变量得 2 sin dy xdx y 积分之得通积分 1 cosxc y 或 1 cos y cx c为任意常数 又见0y是方程的特解 它不含在通解中 3 分离变量得 2 3x y y dye dx e 积分得通积分 2 3 11 23 yx eec c为任意常数 4 分离变量得 6 11 0 xy dxdy xy 积分得通积分 ln xyxyc 另有特解0y 和0 x 5 当sincos0yx 时 分离变量得 tancot0 xdxydy 积分得 ln sincos ln yxc 0c 即通积分为 sincosyxc 当sincos0yx 时得特解yk 或 2 xk 0 1 2 k 2 求解下列微分方程的初值问题 1 03cos2sin ydyxdx 3 2 y 2 32 1xy dx dy x 1 0 y 3 0 2222 dyyxxdxxyy 1 1y 解 1 分离变量得 sin2cos3xdxydy 积分之得通积分 11 23 cos2sin3xyc c为任意常数 利用初始条件 23 y 可得 1 2 c 故初值问题的解为 111 cos2sin3 232 xy 2 当0y时 分离变量得 3 2 1 dyxdx y x 积分之 得通积分 2 2 1 1 2 xc y c为任意常数 利用初始条件1 0 y可得 3 2 c 故初值问题的解为 7 2 2 13 1 22 x y 即 22 2 13 10 xy 又易见0y不是初值问题的解 3 分离变量得 22 11xy dxdy xy 0 xy 积分之得通积分 11 ln ln xyc xy c为任意常数 利用初始条件 1 1y得2c 故初值问题的解为 11 ln ln 2xy xy 又易见0 x和0y都不是初值问题的解 3 试证明 若 y x是方程 sinyp xy 的满足初始条件 0 0y 的解 其中 p x是 区间 上的连续函数 则 0y x 证明 当sin0y时 对方程分离变量可得 sin dy p x dx y 积分后 得通积分 0 lntan 2 x y p x dxc 显然 其中没有满足条件 0 0y 的解 当sin0y时 可得方程的特解 yk 0 1 2 k 显然 只有解 0y x 满足初始条件 0 0y 4 已知 0 1 x f xf t dt 0 x 试求函数 f x的一般表达式 解 对方程两边关于x求导得 2 0 0 x fxf t dtfx 另外 由已知条件得 8 0 1 x f t dt f x 所以 2 1 0 fxfx f x 即 3 df x fx dx 分离变量 积分得 2 1 2 fx xc c为积分常数 且0 xc 从而 1 2 f x xc 注意到 当1x 时 已知条件变为 1 0 11 1 2 1 2 dt ctc 不难得到0c 所以 f x的一般表达式为 1 2 f x x 5 求具有性质 1 x tx s x ts x t x s 的函数 x t 已知 0 x存在 解 首先 令0s 由已知可得 0 1 0 x tx x t x t x 化简得 2 0 1 0 xx t 所以 0 0 x 另外 由函数导数的定义 我们有 0 lim t x ttx t x t t 又因为 9 1 x txt x tt x t xt 所以 22 000 1 0 1 limlimlim 1 1 ttt xtx txtxx t x t tx t xttx t xt 2 0 1 xx t 变形为 2 0 1 dx t xdt x t 两边同时积分得 arctan 0 x txtc 其中c为积分常数 当0t 时 得0c 所以满足条件的函数为 tan 0 x txt 6 求一曲线 使它的切线介于坐标轴间的部分被 切点分成相等的两段 解 取坐标系如图所示 设所求曲线为 yy x 由条件可知过点 P x y的切线的斜切 线与两坐标轴的交点可设为 2 0 x与 0 2 y 于是 切线的斜率为 20 02 yy k xx 于是得方程 dyy dxx 其通积分为 xyc 7 跟踪 设某A从xoy平面上的原点出发 沿 x轴正向前进 同时某B从点 0 b开始跟踪A 即B与A永远保持等距b 试求B的光滑运动轨 迹 解 取坐标系如图所示 设所求曲线为 yy x 则过点 B x y的切线方程为 Yyy Xx 其中 X Y为切线上的坐标 切线与x轴的交点为 10 0 y A x y 由题设条件知 ABb 即 2 22 2 y yb y 由题意可知 22 y y by 分离变量得 22 by dxdy y 故通积分为 22 by xdy y 2222 2222 sin sincsc cosln csccot ln ln ybt btt dt btttc bybyb bc byy bybby bc by 令 利用条件 0 x b 得0c 故所求轨迹的函数为 22 22 ln y xbby bby 上式可改写为 22 22 ln bby xbby y 两式相加并除以 2 后 可得另一个表达式 22 22 22 ln 2 bbyb xby bby 习题 2 2 1 求解下列微分方程 11 1 x xey dx dy 2 2 xy dx dy xsin2 3 xn dyn ye x dxx n为常数 4 1dyayx dxxx a为常数 5 3 dyy dxxy 6 0 x x yey t dt 解 1 由通解公式可得 22 22 1 dxdx xxxxx yexe edxcexe dxceexc 2 由通解公式可得 22 22 sin11 sin sincos dxdx xx x yeedxcxxdxcxxxc xxx 3 通解为 nn dxdx xnnx xx yece x edxx ce 4 当0a时 方程是变量可分离的 其解为ln yxxc 当0a时 方 程是线性的 其解为 1 1 1 1 ln 1 11 1 1 ln 1 1 11 1 1 aa dxdx xx aaa aaa a x yecedx x xcxxdx x cxa x xcxxa aa cxxxa cxxa aa 5 将方程改写为线性方程 2 1dx xy dyy 其通解为 11 22 1 2 dydy yy xecy edyy cydyy cy 另有特解0y 6 方程两边求导得线性方程 x yey 其通解为 12 x ye cx 由原方程可得初始条件 0 1y 代入上式得1c 于是原方程的解为 1 x yex 2 试证明 形如 dy xf yg yh y dx 的方程是关于x的线性方程 并写出通解公式 同时 据此结果求解方程 1 4 3 0ydxxy dy 2 22 2 0 dy xxyyy dx 3 2 6 2 dy yxy dx 4 1 sin 2 cos sectan y dxyyxyy dy 证明 将方程改写为 dxf yg y x dyh yh y 这是一个线性方程 其通解为 f yf y dydy h yh y g y xecedy h y 利用该公式可得上述方程的通积分 1 3 xyyc 2 1 2 1 y xyce 3 2 3 2 y xcy 4 2 sectan xyyyc 3 试证明 当且仅当通解形如 ycxx 时 它所适合的微分方程是一阶线性微分方程 其中c是任意常数 而 x 与 x 均是x 的确定的可微函数 证明 先证必要性 事实上 消去 ycxx ycxx 中的参数c 可得曲线族满足的微分方程 yxx yxxxx 这是一个一阶线性微分方程 由一阶线性方程的通解公式可知充分性是显然的 4 设函数 t 于t 上连续 0 存在且满足关系式 tsts 试求此函数 解 令0s 则 13 0 tt 因为上式对任意t 都成立 所以 0 1 由函数的导数定义 得 00 limlim tt tttttt t tt 00 1 0 lim lim 0 tt tt tt tt t 即 t 满足微分方程 0 tt 直接解得 0 t tce 考虑到 0 1 得出1c 所以所求函数为 0 t te 5 设 y x在区间 0 上连续可微 且 lim 0 x y xy x 试证明 lim 0 x y x 证明 当x充分大时 设 y xy xf x 由条件可知lim 0 x f x 设 y x满 足初始条件 0 0 yy 则 0 0 x xx y xeyf x e dx 因 00 xx xx f x e dxf xe dx 若 0 lim x x x f xe dx 收敛 则易见结论成立 否则 有 0 lim x x x f xe dx 于是 由 L Hospital 法则 可知 0 0 00 lim lim limlim x x x xx x x xx xx yf xe dx y x e f xe dx y ee 0lim0 x x x f xe e 6 设 12 y x y x是方程 14 yp x yq x 的两个相异解 试证明方程的任一解 y x必满足下述恒等式 1 21 y xy x k y xy x k是某常数 证明 由解的性质可知 21 y xy x 与 1 y xy x 均为相应齐次方程的解 再由线 性齐次方程的解的公式可知上述两解必然是线性相关的 故必存在某常数k 使得 121 y xy xk y xy x 7 考虑方程 xqyxp dx dy 其中 xp和 xq都是以0 为周期的连续函数 试证 1 若0 xq 则方程 的任一非零解以 为周期 当且仅当函数 xp的平 均值 0 1 0 dxxpp 2 若 xq不恒为零 则方程 有唯一的 周期解 当且仅当0 p 试求出此 解 解 1 由通解公式 0 x p t dt yCe C为任意常数 可知 000 xxx x p t dtp t dtp t dtp t dt y xCeCeey x e 易见方程 的任一解为周期解 当且仅当0 1 0 dxxpp 2 通解公式 00 0 xt x p t dtpd yeq t edtC 易见 y x仍为解 从而 y xy x为相应齐次方程的解 由齐次方程解的性质知 y x为 的周期解 即 0y xy x 当且仅当 0 0yy 即 000 0 1 0 t p t dtpdp t dt eq t edtC e 当且仅当 0 1 0pp x dx时 可由上式确定出唯一的解C 换句话说有唯一周期解 8 设连续函数 xf在区间 x上有界 证明 方程 xfyy 15 在区间 x上有并且只有一个有界解 试求出这个解 并进而证明 当 xf还是 以 为周期的周期函数时 这个解也是以 为周期的周期函数 解 通解 0 x xt yee f t dtC 设 f xM 因 0 1 x tx e f t dtM e 所以对任意的C 当x时 y有 界 而当x时 一般y无界 除非 0 t Ce f t dt 该积分绝对收敛 此时对 应的解为 x xt yee f t dt 因 x xt ye Me dtM 故该解有界 若 f x以为周期 则 f xf x 令tz 则 x xt y xee f t dt x xz x xz eef zdz ee f z dz y x 即上述解也是以为周期的周期函数 9 解习题1 1中第2题所得到的微分方程 又若物体在20分钟内由C 100冷却至C 60 那么 在多长时间内 这个物体的温度达到C 30 解 初值问题方程 20 du k u dt 0 0 uu 的解为 0 20 20 kt uue 由条件可知 20 6020 10020 k e 所以 ln2 20 k 从而 ln2 20 2080 t ue 若物体温度降到C 30 则所需时间由 16 ln2 20 302080 t e 确定 即60t分钟 10 质点沿x轴运动 且只受一个与速度成正比的阻力 设它从原点出发时 初速度为 10 米 秒 而当它到达坐标为5 2米的点时 其速度为 5 米 秒 试求质点到达坐标为 4 米的点时的速度 解 由 Newton 第二定律可得微分方程 dv mkv dt 即 dvk v dtm 其中m为质点的质量 v为速度 利用 dvdv v dtdx 可将方程化为以x为自变量的方程 dvk dxm 该方程在初始条件 0 10v的条件下的解为 10 k vx m 由条件可知 52 510 k m 故2km 于是 210vx 于是质点到达坐标为 4 米时的速度为 2 习题 2 3 1 求解下列微分方程 1 lnln 0 xxy dyydx 2 yx xy y 2 2 3 142 12 yx yx y 4 2 2 2 1 y y xy 解 1 将方程改写为 ln dyy x dx x y 这是一个齐次方程 令yxu 则方程化为 17 ln duu ux dxu 分离变量后得 111 1 ln dudx uuux 积分 得 1 ln xu c u 代回原变量得原方程的通积分 1 ln y yc x 2 将方程变形为 21 2 y x y y x 令 y u x 则方程化为 21 2 u xuu u 整理并分离变量得 2 21 1 u dudx ux 1u 即 132 11 dudx uux 积分之 得 2 3 1 1 u cx u 换回原变量可得方程的通积分 3 yxc xy c为任意常数 由1u可得方程的两个特解yx 其中yx不含在通积分中 3 将方程改写为 21 2 2 1 xy y xy 令2uxy 对x求导可得 18 1 12 21 duu dxu 分离变量得 3 4 1 8 41 dudx u 当410u时 积分之 得 43ln 41 8uuxc c为任意常数 换回原变量可得方程的通积分 843ln 841 yxyxc 当410u时得方程的特解 11 28 yx 4 因方程组 20y 10 xy 有交点 3 2 作变换 3xu 2yv 则方程化为 2 2 dvv duuv 即 2 1 1 2 duu dvv 0v 这是一个齐次方程 令u vt 则上面方程化为变量可分离方程 2 2 1 dvdt vt 积分并代入原变量得原方程的通积分 3 2arctan 2 2 x y ec y 另有特解2y 2 利用适当的变换 求解下列方程 1 cos yxy 2 0 3 22 dyxyxdxyxy 3 22 1 41 81yxyxy 4 33 yx yxy 5 62 522 2 2 dyyx dxxyx y 6 2 22 3 2 2 dyx xyxy dxy 解 1 令uxy 对x求导得 19 1cos du u dx 分离变量得 1cos du dx u 1cos0u 积分之 得 cot 2 u xc c为任意常数 换回原变量可得方程的通积分 cot 2 xy xc 当1cos0u 即2uk 0 1 2 k 时 得特解 2yxk 2 将方程变形为 2 2 3dyxyy dxxxy 2 0 xxy 或 2 3 1 yy dyxx y dx x 令 y u x 代入上式并整理得 2 12 2 u dudx uux 即 2 2 14 1 1 1 1 dudx ux 积分之 得 24 ln 1 1 lnln uxc 0c 即 42 1 1 xuc 换回原变量得通积分 223 2x yx yc 当 2 0 xxy得特解0 x 在通解中 3 令41uy 则原方程变为 20 22 1 1 2 1 1 4 du xux u dx 即 2 4 8 du ux dx 再令vux 则上面方程化为 2 48 d vx v dx 即 2 49 dv v dx 分离变量并积分 得 2 arctan 6 3 vxc 换回原来的变量得原方程的解为 2 tan 6 41 3 xcxy 4 将方程改写为 33 yxyx y 这是一个 Bernoulli 方程 两边同乘 3 y 则 323 yyxyx 0y 即 2 23 1 2 dy xyx dx 亦即 2 23 22 dy xyx dx 故方程的通积分为 22 22222 22 233 2222 2 2 1 1 xdxxdx xx xxxxx yex edxcex edxc ex edxcexecxce 其中c为任意常数 另外 方程还有特解0y 5 将方程变形为 21 22 22 2 2 3 ydyyx xdxxy 令 2 xu 2 yv 则方程化为 2 2 3 dvvu duuv 而直线20vu与30uv有交点 2 1 故作变换 2u 1v 可将上面方程化为齐次方程 2 2 d d 再令t 则方程化为 2 1 32 td dt tt 积分 得 2 3 1 2 t c t 代回原变量并化简 得原方程的通解 222223 1 23 yxc yx 6 令 3 uy 则方程可变形为 22 2 36 2 duux dxxux 再令vu x 即uxv 则上式化为 2 36 21 dvv xv dxv 整理 得 73 5352 dvdvdx vvx 两边同时积分 得 735 3 2 vvcx 22 代回原变量得原方程的解为 37335 3 2 yxyxcx 3 求解下列 Riccati 方程 1 2 2 4 1 x yy 2 222 1x yx yxy 3 2 fxg x yy g xf x 解 1 首先找方程的一个特解 由观察可知方程有形如yk x的特解 代入方程可 知1 2k 即方程有特解1 2 yx 作变换 1 2 yu x 代入方程化简后得 Bernoulli 方程 2 1 uuu x 将其变形为线性方程 1 1 1 1 du u dxx 故 11 1 1 ln dxdx xx ueedxcxdxcxxc x 换回原变量便得方程的通解 1 ln 1 2 xxc y x c为任意常数 亦即 11 2 ln y xxxc 2 易见方程有特解 1 y x 作变换 1 yu x 代入方程整理后得 Bernoulli 方程 2 1 uuu x 将其改写为 21 1 1u uu x 或 23 1 1 1 1 du u dxx 故 11 1 1 ln dxdx xx ueedxcxdxcxxc x 代回原变量可得方程的通解 11 ln y xxxc c为任意常数 3 易验证方程有特解 g x y f x 作变换 g x yu f x 则方程化为一个 Bernoulli 方程 2 2 dufxfx uu dxf xg x 作变换 1 zy 则上面方程化为线性方程 2 dzfxfx z dxf xg x 其通解为 2 2 fx zfx cdx g x fx 代回原变量得原方程的通解 1 22 1 g xfx ycdx f xfxg x fx 4 证明方程 x dy f xy y dx 经变换xyu 可化为变量可分离方程 并由此求解下列方程 1 22 1 yx y dxxdy 2 22 22 2 2 x dyx y y dxx y 24 证明 令xyu 则方程化为变量可分离方程 1 dxdu xuf u 1 在上述变换下 方程化为 2 2 dxdu xuu 积分 得 2 11 ln ln ln 2 ln 24 xuuc 0c 代回原变量 整理得通积分 2 4 2 2 x xc y 另有特解0y 2 在上述变换下 方程化为 2 2 4 dxu du xu 积分 得 2 11 ln ln 28 xuuc 代回原变量 整理得通积分 2 1 ln 4 x xyc y 5 试确定在什么条件下 方程 yf x y 在代换uaxbyc 及ux y 下可化 为变量可分离方程的微分方程 解 1 在代换uaxbyc 下 方程 yf x y 变为 11 du afxuaxc bdxb 整理后得 11 dua fxuaxc b dxbb 不难看出 所得方程为变量可分离方程当且仅当 a f x yx g axbyc b 其中 x g u 均为任意的连续函数 25 2 在代换ux y 下 方程 yf x y 变为 du uf x y dxxy 不难看出 所得方程为变量可分离方程当且仅当 y f x yx g x y x 其中 x g u 均为任意的连续函数 6 试确定 使方程 322 2 1 0 xy dxx ydy 在变量代换yz 下化为齐次方程 并进而求解该方程 解 这不是齐次方程 我们设想通过代换yz 改变方程各项的次数 看能否通过选取 的值 使得方程变成齐次方程 将代换代入方程 化为 32311 2 0 xz dxx zzdz 这里 3 xz 和 231 x z 的次数为31 1 z 的次数为1 故只要取1 即令1yz 方程就成为齐次的 即 3242 2 0 xz dxx zzdz 乘以 4 z 方程变为 22 2 0 xzdxzx dz 令zxu 方程化为 22 1 1 0u udxx udu 解此变量可分离的方程得通解 2 1 x ucu 故原方程的通解为 22 1x ycy 7 设从原点至一曲线上各点处的切线之垂直距离等于该切线切点的横坐标 试求此曲 线 解 设所求曲线为 yy x 则过曲线上任一点 x y的切线方程为 Yyy Xx 其中 X Y为切线的动坐标 又过原点与上面切线正交的直线为 1 YX y 它与切线的交点为 22 1 1 y xyyxyy X Y yy 由条件可得曲线所满足的微分方程 222 1 xyyxy 化简得方程 2 1 2 yyyx x 即 26 2 2 1d y yx dxx 这是一个线性方程 其通积分为 22 0yxcx 习题 2 4 1 判断下列方程是否为全微分方程 并对全微分方程求解 1 0 2 2 dyyxdxyx 2 0 2 2 2 dyxyedxyeye xxx 3 0 22 cxydydxbyax ba 和c为常数 4 02cos 2sin1 2 xdyydxxy 5 22 2 1 0 xxy dxxydy 6 22 0 xyx dxxydy 解 1 因 1 MN yx 故方程为全微分方程 重新分组得 2 20 x dxydxxdyydy 即 32 1 0 3 dxxyy 故方程的通积分为 32 1 3 xxyyc c为任意常数 2 因2 x MN ey yx 所以方程为全微分方程 重新分组得 2 2 20 xxx ye dxe dyy dxxydye dx 即 2 2 0 xx d yexye 积分之 得方程的通积分 2 2 xx yexyec c为任意常数 3 因 2 MN bycy yx 27 所以只有当2cb时 方程才是全微分方程 重新分组得 22 2 0ax dxby dxbxydy 即 32 1 0 3 daxbxy 积分之 可得方程的通积分 32 1 3 axbxyK K为任意常数 4 因2 sin2 MN yx yx 所以方程为全微分方程 重新分组可得 2 sin2cos2 0dxyxdxyxdy 2 1 cos2 0 2 d xyxdx 积分之 可得方程的通积分 2 1 cos2 2 xyxdxc c为任意常数 5 因 2 MNx yx xy 所以方程为全微分方程 积分之 得通积分 3 22 2 2 3 xxyc 6 因2 MN yy yx 所以方程不是全微分方程 2 用分项组合法求解下列方程 1 3322 44 26 0 xxy dxyx y dy 2 22 6 2 31 0 xx y ex dxyxedy 3 1 sin2ln0 yy yxx dxyxx dy 4 2 2 2 sin2sin 3cos320 y xx x dxyedy yy 5 32 2323 32 23 3tansec40 yy xydxxyydy xx 6 222 111 sincos1cossin0 xyyyxx dxdy yyxxxxyyy 解 1 重新组合各项 有 3322 4 46 20 x dxxy dxx y dyydy 28 即 4232 2 0d xx yy 积分得通积分 4232 2xx yyc 2 重新组合各项 有 222 2 66 20 xx y e dxye dyy xdxyx dyydy 即 2222 3 0 x d y ex yy 积分得通积分 2222 3 x y ex yyc 3 重新组合各项 有 1 ln sin20 yy yxdxxxdyxdxydy 即 2 cos 0 y d xxy 积分得通积分 2 cos y xxyc 4 重新组合各项 有 2 2 2 sin2sin 3cos320 y xx dxdyxdxye dy yy 即 2 2 sin sin30 y x dxe y 积分得通积分 2 2 sin sin3 y x xec y 5 重新组合各项 有 32 2323 32 23 3tansec 40 yy xydxxydydxdyy dy xx 即 3 34 2 tan0 y d xyy x 积分得通积分 3 34 2 tan y xyyc x 6 重新组合各项 有 29 222 111 coscossinsin0 yyyxxx dxdydxdydxdy xxxxyyyyy 即 1 sincos0 yx dx xyy 积分得通积分 1 sincos yx xc xyy 习题 2 5 1 用观察法求下列方程的积分因子 并求方程的通解 1 22 0ydxxyx dy 2 1 0yxy dxxdy 3 2 320y dxxydy 4 22 20yx dxxydy 5 22 42 0 x yy dxxdy 6 2 0 xdyydxxy dy 解 1 将方程重新组项 得 22 0ydxxdyxy dy 易见方程有积分因子 22 1 xy 用它乘方程两端 得全微分方程 22 0 ydxxdy dy xy 积分得原方程的通积分 arctan x yc y 另有特解0y 2 将方程重新组项 得 2 0ydxxdyxy dx 易见方程有积分因子 2 1 y 用它乘方程两端 得全微分方程 30 2 0 ydxxdy xdx y 积分得原方程的通积分 2 2 xx c y 另有特解0y 3 易见方程有积分因子 2 x 用它乘方程两端 得全微分方程 223 320 x y dxx ydy 积分得原方程的通积分 32 x yc 4 将方程重新组项 得 22 2 0y dxxydyx dx 易见方程有积分因子 2 1 x 用它乘方程两端 得全微分方程 2 2 2 0 yy dxdydx xx 积分得原方程的通积分 22 yxcx 另有特解0 x 5 将方程重新组项 得 22 4 2 0 x y dxydxxdy 易见方程有积分因子 2 x y 用它乘方程两端 得全微分方程 2 3 2 4 2 0 xx x dxdxdy yy 31 积分得原方程的通积分 2 4 x xc y 另有特解0y 6 将方程重新组项 得 2 0 xdyydxxy dy 易见方程有积分因子 1 xy 用它乘方程两端 得全微分方程 0 xdyydx ydy xy 积分得原方程的通积分 2 1 ln 2 y yc x 另有特解0y 或0 x 2 证明方程 2 5 1 具有形如 x y 的积分因子的充要条件是 MN yx fx y NM xy 并写出这个积分因子 然后将结果应用到下述各种情形 得出存在每一种类型积分因子的充 要条件 22 xyxyy xx y 这里 均为常数 证明 充要条件的证明见命题 2 5 1 存在上述四种积分因子的充要条件分别为 1 MN NMf xy yx 2 22 MN xNyMf xy yx 3 2 MNyNMy f yxxxx 4 MNNM f x y yxxy 32 3 求出下列方程的积分因子并求方程的通解 1 0 23 2232 dyyxdxyxyyx 2 0 2 2 dyexyydx y 3 2 1 0 xy dxyx dy 4 0 cos2cot dyyyedxe xx 解 1 因 22 323 M xxy y 2 N x x 3 MN yx N 故方程有积分因子 3x e 用它乘方程得全微分方程 233223 32 0 xx x yxyy e dxxy e dy 由于 223 x u xy e y 对y积分得 233 1 3 x ux yy ex 其中 x 为待定函数 代入式子 233 32 x u x yxyy e x 得 0 x 故可取 0 x 于是得原函数 233 1 3 x ux yy e 原方程的通积分为 233 1 3 x x yy ec 2 因1 M y 2 N y x 1 2 NM xy My 故方程有积分因子 2 1 y e y 用 它乘方程得全微分方程 22 1 2 0 yy e dxxedy y 分项组合 得 22 1 2 0 yy e dxxe dydy y 即 2 ln 0 y d xey 积分得通积分 33 2 ln y xeyc 另有特解0y 3 因2 M y y N y x 3 1 MN yx Nx 故 方 程 有 积 分 因 子 3 2 1 x 用它乘方程得全微分方程 2 32 2 2 0 1 1 xyy dxdy xx 重新组合各项 得 2 323 222 0 1 1 1 yyx dxdydx xxx 积分得通积分 22 21 1 yxcx 另有特解1x 4 因0 M y cot x N ey x cot NM xy y M 故方程有积分因子sin y 用 它乘方程得全微分方程 sin cos2sincos 0 xx eydxeyyy dy 积分得通积分 2 sinsin x eyyc 4 试用分项组合的方法求下列方程的积分因子 并求出方程的通解 1 342 20 x ydxx dyy dx 2 322 53 37 0 xyy dxxxy dy 3 2232 2 2 0 xyx yy dxxx y dy 4 22 3 0 xyy dxyxy dy 5 322 2 1 0 xy dxx ydy 6 22 1 20 xydxxydy 解 1 因 3 0 MN x yx 易见方程没有仅依赖于x或y的积分因子 我们用分组求积分因子法 34 对于第一组 因 11 33 4 1 43 MN xxyx Nxx 故有积分因子 3 1 3 1 dx x xe x 事实上从方程很容易看出这一点 相应的原函数为 1 uxy 对于第二组 易见它有积分因子 2 2 1yy 相应的原函数为 2 ux 下面选取函数 1 t 和 2 t 使 12 32 11 xyx xy 不难看出只须取 12 25 11 tt tt 可得积分因子 52 1 x y x y 用它乘方程两边得 全微分方程 225 112 0dxdydx x yxyx 0 xy 即 4 11 1 0 2 d xyx 积分之便得原方程的通积分 4 11 1 2 c xyx c为任意常数 或 3 4 1 2 x y cx 另有特解0y或0 x 2 因 2 59 M xy y 2 67 N xy x 2 2 MN xy yx 又 2 35 73 NM xy xy 35 可见当 351 732 即 1 2 时 方程有形如 xy的积分因子 由公式 2 5 18 可知 1 MN yx NMxy xy xy 所以方程有积分因子 1du u uxy exy 用它乘方程得全微分方程 33175135 22222222 53 37 0 x yx ydxx yx ydy 积分得通积分 5337 2222 x yx yc 3 因 22 431 M xyx y y 1 4 N xy x 22 3 MN x y yx 又 22 2 NM xyx y xy 可见当3时 方程有形如 33 xy的积分因子 由公式 2 5 18 可知 33 33 1 MN yx xyNM xy xy 所以方程有积分因子 33 1 33 du u uxy exy 用它乘方程得全微分方程 232232 21112 0dxdy x yxx yx yxy 积分得通积分 36 22 14 2ln xc x yxy 另有特解0y 或0 x 4 当0y 时 将方程改写为 3 0 xy dxyx dy 这是一个全微分方程 可见方程有积分因子1 y 方程的通积分为 22 32xxyyc 另有特解0y 5 将方程重新分组 得 322 2 0 xy dxx y dydy 容易求得第一组有积分因子 2 1 y 易见它也是第二组的积分因子 用 2 1 y 乘方程 并积分得通积分 2 1 x yc y 另有特解0y 6 将方程重新分组得 22 1 2 0 xdxy dxxydy 容易求得第二组有积分因子 2 1 x 易见它也是第一组的积分因子 用 2 1 x 乘方程 并积分得通积分 22 1xycx 另有特解0 x 5 试证明 齐次方程0 dyyxNdxyxM在条件 0 xM x yyN x y 下 有积分因子 1 xM x yyN x y 利用此结果求解下列齐次方程 1 0 xy dxxy dy 2 22 2 3 0 xyy dxxxy dy 证明 设 M x y N x y为m次齐次函数 作变换yxu 则方程化为 1 1 1 1 0 mm xMuuNu dxxNu du 上式有积分因子 1 1 1 1 m xMuuNu 故原方程有积分因子 37 1 xM x yyN x y 1 方程有积分因子 22 11 xM x yyN x yxy 将方程重新分组 并用积分因子乘其两端得全微分方程 2222 0 xdxydyydxxdy xyxy 积分得通积分 22 1 ln arctan 2 x xyc y 2 方程有积分因子 2 11 xM x yyN x yxy 将方程重新分组 并用积分因子乘其两端得全微分方程 2 123 0 x dxdy yxyy 积分得通积分 2ln 3ln x xyc y 另有特解0y 或0 x 6 试证明 形如 0yf xy dxxg xy dy的方程在 f ug u的条件下 有积分 因子 1 xy f xyg xy 利用此结果求解下列方程 1 12 1 0yxy dxxxy dy 2 2332 2 0yx y dxxx y dy 证明 用乘方程两端 得 0 f xyg xy dxdy x f xyg xyy f xyg xy 容易验证 38 2 MNf xy g xyfxy g xy yxf xyg xy 所以 1 xy f xyg xy是原方程的积分因子 1 此处 12f xyxy 1g xyxy 故方程有积分因子 22 11 3xy f xyg xyx y 用它乘方程两端 得全微分方程 22 1 12 11 11 1 0 3333 dxdy x yxxyy 积分得通积分 1 2ln ln xyc xy 另有特解0y 或0 x 2 此处 22 1f xyx y 22 12g xyx y 故方程有积分因子 33 11 xy f xyg xyx y 用它乘方程两端 得全微分方程 3223 1112 0dxdy x yxx yy 积分得通积分 22 1 ln 2ln 2 xyc x y 另有特解0y 或0 x 7 试证明 方程 2 5 1 有变量分离形式的积分因子 12 xy 的充要条件是存 在连续函数 x 和 y 使得 MN NxMy yx 成立 此时 积分因子为 x dxy dy e 利用上述结果求解下列方程 1 322 2 0y dxxxy dy 2 3 2 310 yx xdxdy xy 39 3 0 n p x yq x y dxdy Bernoulli 方程 证明 方程有积分因子 12 xy 当且仅当 1212 MN yx 即 12 12 11ddMN NM yxdxdy 亦即存在连续函数 1 1 1 d x dx 和 2 2 1 d y dy 使得 MN NxMy yx 此时 1 x dx e 2 y dy e 所以 x dxy dy e 1 要使 MN NxMy yx 即 2223 54 22 yxxxyxyy 可令 k x x l y y 代入上式 比较同次幂系数 可得 25kl 24k 即2k 1l 故 2 x x 1 y y 于是方程有积分因子 2 1x dxy dy e x y 用积分因子乘原方程可得全微分方程 2 2 1 2 0 yy dxdy xyx 积分后得通积分 40 2 2ln y yc x 另有特解0y 或0 x 2 要使 MN NxMy yx 即 23 2 13 1 3 xxy xxy xyyx 可令 k x x l y y 代入上式 比较同次幂系数 可得 1kl 33kl 即3k 2l 故 3 x x 2 y y 于是方程有积分因子 32 x dxy dy ex y 用它乘原方程可得全微分方程 5223632 30 x yx ydxx yx