中南大学《信号与信息处理》部分习题及题解.pdf

信号与信息处理基础 习题及题解 中南大学信息科学与工程学院 中南大学信息科学与工程学院 信息与通信工程系 2010 年 3 月 i 目 录 第 1 章 绪论 1 第 2 章 连续时间信号的时域分析 2 第 3 章 连续时间信号的频域分析 6 第 4 章 连续时间信号的复频域分析 14 第 5 章 离散时间信号的时域分析 16 第 6 章 离散时间信号的频域分析 19 第 7 章 离散时间信号的复频域分析 23 第 8 章 信息论与编码 24 信号与信息处理基础 习题及题解 1 第 1 章 绪论 1 1 结合具体实例 分析信息 消息和信号的联系和区别 答 具体实例略 信息 消息和信号三者既有区别又有联系 具体体现在 信息的基本特点在于其不确定性 而通信的主要任务就是消除不确定性 受信者在 接收到信息之前 不知道发送的内容是什么 是未知的 不确定性事件 受信者接收到信息 后 可以减少或者消除不确定性 消息是信息的载体 可以由消息得到信息 以映射的方式将消息与信息联系起来 如果不能建立映射关系就不能从消息中得到信息 例如 一个不懂得中文的人看到一篇中文 文章 就不能从中获取信息 信号是消息的具体物理体现 将消息转换为信号才能够在信道 传输信号的物理媒 质 如空气 双绞线 同轴电缆 光缆等 中传输 1 2 说明连续时间信号 模拟信号 离散时间信号和数字信号之间的联系和区别 答 按照时间函数取值的连续性与离散性可将信号划分为连续时间信号与离散时间信 号 简称连续信号与离散信号 连续时间信号 离散时间信号 幅值连续 幅值离散 模拟信号 幅值连续 幅值离散数字信号 抽样 信号与信息处理基础 习题及题解 2 第 2 章 连续时间信号的时域分析 2 2 试写出图中各波形的表达式 解 左图 31312 tututtututf 33112 tuttuttu 中图 321 tututututf 中图 221 tutututf 2 5 试画出如下复合信号的波形图 1 2 tutf ttf sinsgn 9 2 ttfsgn ttfsgnsin ttf sin 解 2 7 已知信号 2 tututtf 试画出 tf tf dt d 的波形图 并写出 tf dt d 的表 达式 解 22222 ttututtttututf t tf o 2 2 2 t t f o 2 1 2 t tf o 1 1 1 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1 t tf o 1 1 33 t tf o 1 1 1 1 33 2 t tf o 1 1 1 1 3 2 3 t tf o 11 t tf o 13 2 t tf o 13 1 2 2 t tf o 13 1 2 2 题 2 2 的图 第 2 章 连续时间信号的时域分析 3 2 9 已知信号 tf的波形如图所示 试画出 3 tf 1 2 1 tf tf dt d t df 的 波形 解 3311231312 tuttuttutututtututf 0 30 032 232 33 030 33133 1302 3 tt tt t tt tt t tf 且 msc 就能完满地恢复出原信号 tf 这就是著名的时域抽样定 理 又称香农 Shannon 或称仙农 定理 实际抽样与理想抽样区别主要在三个方面 第一 抽样脉冲不是周期冲激序列而是有 一定宽度 即持续时间0 周期方波信号 第二 信号 tf的带宽不是有限的 第三 低通滤波器特性也不是理想的 要减少实际抽样带来的信号失真 也就必须从这三个方面 入手 减小周期方波的持续时间 考虑更宽一些信号带宽 使用性能更好的滤波器 时域抽样定理的实际应用主要体现在其第一部分 它告诉我们由模拟信号向数字信号 转换最基本的要求 否则其转换是无实际意义的 3 8 定义信号的有效频带宽度有什么实际意义 答 因为系统的带宽要适应信号的带宽 系统的带宽如果小于信号的带宽 那么经这 第 3 章 连续时间信号的频域分析 7 个系统处理的信号就会失真 如果系统的带宽比信号的带宽大的多 那么就会造成很大的 浪费 所以只有确定了信号的带宽 才能既能够不失真的处理信号 又不至于投资浪费 3 9 若信号 tf的最高频率是300Hz 求如下信号的最高频率 如果对其进行无失真的抽 样 那么最小抽样频率是多少 对应的抽样间隔是多少 解 tf的带宽300 m fHz tf2 tftf 2 tftf 2 由傅里叶变换的时频展缩特性时频展缩特性可知 当 tf压缩为 tf2 则其频宽为6002 m fHz 对其最小的抽样频率为12006002 s fHz 抽样间隔为sTs 8331200 1 由傅里叶 变换线性特性线性特性可知 信号 tftf 2的频谱应为 tf的频谱加上 tf2的频谱 显然 tftf 2的频谱宽度与 tf2的频谱宽度一致 即6002 m fHz 这样对其的最小的抽 样频率也为1200 s fHz 抽样间隔为sTs 833 由傅里叶变换的时域卷特积性时域卷特积性可知 信 号 tftf 2的频谱应为 tf的频谱乘以 tf2的频谱 显然 tftf 2的频谱宽度与 tf的 频 谱 宽 度 一 致 即300 m fHz 所 以 对 tftf 2最 小 的 抽 样 频 率 为 6003002 s fHz 抽样间隔为msTs67 1600 1 tf 3 tftf 3 tftf 3 由傅里叶变换的乘积特性乘积特性或三角积化和差公式可知 tf 3 的频宽为9003 m fHz 那 么对其最小的抽样频率为18009002 s fHz 抽样间隔为sTs 5561800 1 由傅里 叶变换线性特性线性特性可知 信号 tftf 3 的频谱应为 tf的频谱加上 tf 3 的频谱 显然 tftf 3 的频谱宽度与 tf 3 的频谱宽度一致 即9003 m fHz 这样对其的最小的抽样 频率也为1800 s fHz 抽样间隔为sTs 556 由傅里叶变换的时域卷特积性时域卷特积性可知 信号 tftf 3 的频谱应为 tf的频谱乘以 tf 3 的频谱 显然 tftf 3 的频谱宽度与 tf 的 频 谱 宽 度 一 致 即300 m fHz 所 以 对 tftf 3 最 小 的 抽 样 频 率 为 6003002 s fHz 抽样间隔为msTs67 1600 1 tftf2 3 tftf2 3 由傅里叶变换线性特性线性特性可知 信号 tftf2 3 的频谱应为 tf2的频谱加上 tf 3 的 频谱 显然 tftf2 3 的频谱宽度与 tf 3 的频谱宽度一致 即9003 m fHz 这样对其 的最小的抽样频率为1800 s fHz 抽样间隔为sTs 556 由傅里叶变换的时域卷特积性时域卷特积性 可知 信号 tftf2 3 的频谱应为 tf2的频谱乘以 tf 3 的频谱 显然 tftf2 3 的频 谱宽度与 tf2的频谱宽度一致 即6002 m fHz 所以对 tftf2 3 最小的抽样频率为 1200 s fHz 抽样间隔为sTs 833 3 10 求图中所示周期信号的傅里叶级数 题 3 10 的图 2 tf2 t o 1 2 t tf1 o 1 2 2 tf3 t o 1 2 2 第 3 章 连续时间信号的频域分析 8 解 信号 20 02 20 02 1 sin sin sin sin tt tt tt tt tf的周期 1 Ts 角频率2 2 1 01 T rad s 由于是偶函数 所以0 n b 22221 2 0 2 0 2 0 1 1 2 2 1 1 01 11 1 tdttdttf T dttf T a TT T cossin 2 0 2 0 011 1 2 2 011 1 1 2 442 11 1 dtnttdttntf T dttntf T a TT Tn cossincoscos 2 0 2 0 21 21 1 21 21 12 2121 2 tn n tn n dttntncoscossinsin 2 41 4 21 1 21 12 nnn 1 2 2 41 142 n nt n tfcos 信号 tt t tf 0 00 2 sin 的周期 2 2 Ts 角频率1 2 2 02 T rad s 1 2 1 2 111 0 0 2 0 2 2 2 2 2 2 02 22 2 tdttdttf T dttf T a TT T cossin 1 n时 0 2 0 022 2 2 2 022 2 12 122 22 2 dtttdttntf T dttntf T a TT T cossincoscos 02 4 1 2 2 1 0 0 tdttcossin 0 2 2 0 022 2 2 2 022 2 12 122 22 2 dttdttntf T dttntf T b TT T sinsinsin 2 1 2 2 1 2 1 21 2 1 0 0 ttdttsincos 1 n时 0 2 0 022 2 2 2 022 2 2 122 22 2 dtnttdttntf T dttntf T a TT Tn cossincoscos 0 0 1 1 1 1 1 1 2 1 11 2 1 tn n tn n dttntncoscossinsin 5 30 4 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 coscos n n n n n n nnn 0 2 0 022 2 2 2 022 2 2 122 22 2 dtnttdttntf T dttntf T b TT Tn sinsinsinsin 01 1 1 1 1 1 2 1 11 2 1 0 0 tn n tn n dttntnsinsincoscos 第 3 章 连续时间信号的频域分析 9 642 2 1 12 2 11 cossin n nt n ttf 信号 t tt t tt tf 00 0 00 0 3 sinsin 的周期 2 3 Ts 角频率 1 2 3 03 T rad s 1 2 1 2 111 0 00 2 3 3 2 2 3 3 03 3 3 3 ttdtdttf T dttf T a T T T cossin 1 n时 00 2 033 3 2 2 033 3 13 122 3 3 3 dtttdttntf T dttntf T a T T T cossincoscos 02 4 1 2 2 1 0 0 ttdtcossin 0 2 0 2 033 3 2 2 033 3 13 122 3 3 3 dttdttntf T dttntf T b T T T sinsinsin 2 1 2 2 1 2 1 21 2 1 0 0 ttdttsincos 1 n时 00 2 033 3 2 2 033 3 3 122 3 3 3 dtnttdttntf T dttntf T a T T Tn cossincoscos 0 0 1 1 1 1 1 1 2 1 11 2 1 tn n tn n dttntncoscossinsin 5 30 4 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 coscos n n n n n n nnn 00 2 033 3 2 2 033 2 3 122 3 3 3 dtnttdttntf T dttntf T b T T Tn sinsinsinsin 01 1 1 1 1 1 2 1 11 2 1 0 0 tn n tn n dttntnsinsincoscos 642 2 1 12 2 11 cossin n nt n ttf 3 11 求图中所示信号的傅里叶变换 解 信号 1 101 0 t ft 其它 321 2 tttttf 题 3 11 的图 t tf1 o 12 1 tf2 t o 1 2 1 3 1 1 1 tf3 t o 12 1 1 2 第 3 章 连续时间信号的频域分析 10 212 3 ttttf 则对应的傅里叶变换分别为 22 2 1 0 1 0 11 1 11 jj j jtjtjtj ee j e e j e j dtedtetfjF 2 2 2 2 2222 sin jjjj e j eee dtettttdtetfjF tjtj 321 22 jjjjjj eeeeee 111 232 jjj jjj jj eeeeeeee 222 2 11 cossin 2 4 22 4 2 3 22 2 3 j jj jj j ej ee j ee ej dtetttdtetfjF tjtj 212 22 2 4 2 4121 2 2 22 2 2 cos j jj jjjj e ee eeee 3 12 以题3 11中 tf1的傅里叶变换为基础 利用傅里叶变换的性质求图中所示信号的傅 里叶变换 解 2 2 1 1 2 1 sin j j e e j tf tftfa502 1 根据傅里叶变换的时频展缩特性 a jF a atf 1 及线性特性 可得 sin j jj a e e j e j tf 22 1 2 1 2 1 50 1 2 1 11 tftftfb 根据傅里叶变换的时移特性 jb ejFbtf 及线性特 性可得 222222 1 1 1 1 1 jjjjjj jjj b eeeeee j ee j e j tf 2 4 2 4 2 2 22 sin jj ee j jj 或 tftftfb 11 根据傅里叶变换的时频展缩特性 a jF a atf 1 及线性特 题 3 12 的图 t o 12 2 tfa t o 1 tfb 1 1 1 tfc t o 12 2 1 3 4 第 3 章 连续时间信号的频域分析 11 性可得 22 22 2 2 2 2 2 2 jj jj b ee ee tfsinsinsin 2 4 22 4 2 22 sinsin jj ee j jj tftftftftfc2505050250150 1111 根据傅里叶变换的时移特 性 jb ejFbtf 时频展缩特性 a jF a atf 1 及线性特性可得 2 2 2 2 50 2 2 1 sinsin j j j e e e tf sin 2 1 2 5050 j e tf 2 2 250 2 1 sin j e tf cossinsinsinsinsin21 2 2 2 2 22 2222 jjjj c eeee tf 或 350502 111 tftftftfc 可得 2 2 2 2 3 2 7 3 2 1 sinsin j j j e e e tf 2 24 2 2 2 7 2 2 sinsinsin j j j c eee tf 2 3 2 3 22 2 24 jj jj ee ee sinsin 2 3 2 44 22 cossinsin jj ee sinsinsin2 24 22jj ee 2 2 2 sinsin j e 3 14 求图中所示周期信号的傅里叶变换 解 如图 tftf 1 tftftf 12 4232122 2 tttttf 43 2 12 jjj eeejF jjj eee 112 3 3 112 jj ee 2 3 2 3 22 2 2 jjjj j eeeee j ee j ee e jjjj j 22 8 2 3 2 3 22 2 t o 1 2 2 34 tf 题 3 14 的图 t t tf1 tf2 2 2 2 2 第 3 章 连续时间信号的频域分析 12 coscossinsin 24 2 3 2 1 8 22jj ee 由傅里叶变换的时域微分特性 tfjFjjFtf 2 22 2 41 2 2 2 2 coscos j e jF j jF 3 15 一一个信号传输系统 输入信号 tf的频谱 jF 理想高通滤波器的频谱 jHh 理想低通滤波器的频谱 jHl 均如图中所示 试画出系统中A B C各处的频谱 图 以及输出 ty的频谱图 jY 解 由傅里叶变换的频移特性 0 0 Fetf tj 可得 tjtj A etfetfttftf 200200 2 1 2 1 200 cos 200 2 1 200 2 1 FFjFA 得 jFA图 由傅里叶变换的时域卷积特性 jFjFtftf 2121 可得 tfjFjHjFthtf BBhAhA 得 jFB图 o 200 jFB 200 o jY 100100 1 o 50 jFA 2 200 200 2 o 200 jFC 200 1 450 450 50 5050 题 3 15 的图 jF tf AC B ty jY 滤波器 理想低通 滤波器 理想高通 t200cost250cos o 50 jF 4 50 o 200 jFh 1 200 o jHL 100100 1 第 3 章 连续时间信号的频域分析 13 同 可得 tj B tj BBC etfetfttftf 250250 2 1 2 1 250 cos 250 2 1 250 2 1 BBC FFjF 得 jFB图 由傅里叶变换的时域卷积特性 jFjFtftf 2121 可得 tyjYjHjFthtf lClC 得 jY图 信号与信息处理基础 习题及题解 14 第 4 章 连续时间信号的复频域分析 4 1 求图中所示各信号的拉普拉斯变换 解 2 2 2 11 00 0 22 ed2ede 1e stststs F sf ttt ss 134 134 22 013 0013 33434 1 eded2eded e2ee 11 1e2e2eee 1eee ststststststst ssssssss F sf ttttt s ss 123 123 33 012 0012 22323 1 eded2ed3ed e2e3e 11 1e2e2e3e3e 1ee3e ststststststst ssssssss F sf ttttt s ss 4 2 拉普拉斯变换的物理意义与傅里叶变换的物理意义有何不同 解 傅里叶变换的物理意义 任何信号 jj 1 j j edde 22 tt F f tF 均 可表示为无穷多个幅度为 j d 2 F 无穷小 等幅 的谐振荡信号 j e t 之和 拉普拉斯变换的物理意义 任何信号 j j j 1 j e ddee 2j2 sttt F f tF ss 均 可表示为无穷多个幅度为 j de 2 t F 无穷小 变幅 的谐振荡信号 j e t 之和 它们的差别是 傅立叶变换是等幅的 拉普拉斯变换是变幅的 4 5 已知信号 tf的拉氏变换是 sF 试利用拉氏变换的性质求下列各信号的拉普拉斯变 换 2 tf tf2 32 tf 2 ttf 22 tft 解 由时移特性 2 2 e s f tF s 由展缩特性 11 2 22 ftFs 由时移特性 3 3 e s f tF s 由展缩特性 3 2 11 23 e 22 s ftFs 由时移特性 2 2 e s f tF s 题 4 1 的图 t o 12 2 tf1 t o 12 2 1 3 tf3 3 t o 12 2 1 3 4 tf2 第 4 章 连续时间信号的复频域分析 15 由复频域微分特性 222 d 2 e 2e e d sss tf tF sF sF s s 由复频域微分特性 tf tF s 由时移特性 2 2 2 e s tf tF s 或或 2 2 2 2 2 tf ttf tf t 由前面的结果及线性特性可得 2222 2 2 2e e 2e e ssss tf tF sF sF sF s 4 8 求下列拉普拉斯变换式的原函数 34 4 2 1 ss s sF 742 14 2 sss sF 解 1 2 44 43 1 3 13 ssAB F s ssssss 其中 1 1 1 43 1 32 s s s AF s s s 1 3 3 41 3 12 s s s BF s s s 3 1 1 3ee 2 tt f tu t 2 14 2 4 7 247 ABC F s ssssss 其中 2 2 2 147 2 4 7 5 s s AF s s ss 2 4 4 147 4 2 7 3 s s BF s s ss 2 7 7 1414 7 2 4 15 s s CF s s ss 247 2 7714 eee 5315 ttt f tu t 信号与信息处理基础 习题及题解 16 第 5 章 离散时间信号的时域分析 5 2 给定信号 3 41 3 03 0 nn x nn 其它 画出序列 x n的波形 标出各序列值 试用单位抽样序列 n 及其加权和表示 x n 令 1 2 2 x nx n 试画出 1 x n的波形 令 2 3 x nx n 试画出 2 x n的波形 令 3 3 x nxn 试画出 3 x n的波形 解 4 2 2 1 3 3 1 3 2 3 3 x nnnnnnnn 1 x n x n 2 x n 第 5 章 离散时间信号的时域分析 17 5 3 已知序列如图所示 画出 1 2 x nxn 的波形 并标出各序列值 画出 2 2 x nx n un 的波形 并标出各序列值 画出 3 1 3 x nx nn 的波形 并标出各序列值 解 题 5 3 的图 3 x n 1 x n 2 x n 第 5 章 离散时间信号的时域分析 18 5 4 判断下面序列是否是周期序列 如是周期的 确定其周期 3 cos 76 x nAn A是常数 1 j 84 e n x n 解 3 00 314 2 14 73 k NkkN 时 所以周期为 14 00 1 2 16 8 Nkk 所以是非周期的 5 5 已知线性时不变系统的单位脉冲响应为 h n 当输入为 x n时 系统输出为 y nx nh n 试分别求下面几种情形的系统输出 y n 0 5 n h nu n 4 x nR n 2 1 2 h nnnn 2 1 x nnn 解 4 0 0 5 m mm y nh m x nmR nm 当0n 时 0y n 当03n 时 00 0 5 4 0 520 5 n mmn mm y nu nmu nm 当4n 时 3 0 515 0 5 n mn m n y n i 2 0 2 5 1 3 mm y nh m x nmh m x nmnnn 3 x n 信号与信息处理基础 习题及题解 19 第 6 章 离散时间信号的频域分析 6 2 试求如下序列的傅里叶变换 2 1 2 1 x nnnn 4 3 4 x nu nu n 解 jjj 2 1 e e2e22cosnX j 3j4 3 jjj 4 j 3 7 sin ee 2 e 3 4 ee 1 1e sin 2 nn nn Xu nu n 6 4 已知 0j 1 0 1 e 0 X 2 12cos3cos2 j Xe 试求上述各 j e X 的傅里叶反变换 x n 解 0 0 j0 sin1 e 2 n n x nd n jjjj2j2 2 3 e 12cos3cos21 ee ee 2 X 2 33 1 1 2 2 22 x nnnnnn 6 15 计算以下各序列的N点DFT 在变换区间01nN 内 序列定义为 00 0 x nnnnN 2 cos 0 x nmnmN N n N x na Rn 解 0 1 0 0 0 1 1 N knnk NN n X knn WWkN 2 2 jj 2ee cos 2 mnmn NN x nmn N 2 2 jj 2 2 2 111 jj j 000 ee11 eee 222 mnmn NNN NN nkn k mn k m NNN nnn X k 考虑到 k 的取值区间 可得 2 0 0 1 N km Nm X k kkN 其他 1 0 11 0 1 1 11 NkNN N nnkN N kk n NN a Wa X ka WkN aWaW 第 6 章 离散时间信号的频域分析 20 6 16 设 6 x nR n 求 j e FT Xx n 画出它的幅频特性和相频特性 标出主要坐标值 求 11212 DFT X kx nRn 并画出它的幅频特性 求 21212 DFT 1 n Xkx nRn 并画出它的幅频特性 解 j 11 jjjj5 2 j 00 1esin 3 e eee 1esin 2 N NN nn nn Xx n 15 11212 00 DFT N nknk NN nn X kx nRnx n WW 5 2j j12 j 6 sin 11e 2 e0 1 11 11e sin 12 kNk k N kk N k W k k W 令 11212 x nx nRn 2 j 6 j 12 121211 1 e e n nn x nRnx nx n i 1212112 DFT 1 6 n x nRnXkRk 6 26 已知有限长序列 2 2 2 5 x nnnn 求它的10点离散傅里叶变换 X k 第 6 章 离散时间信号的频域分析 21 已知序列 y n的10点离散傅里叶变换为 3 10 k Y kWX k 求序列 y n 已知序列 z n的10点离散傅里叶变换为 Z kX k Y k 求序列 z n 解 25 1010 1220 1 9 kk X kWWk 3 101010 3 3 2 5 2 8 k Y kWX ky nx nRnnnn 25358 1010101010 122 22 kkkkk Z kX k Y kWWWWW 3578 10101010 85444 kkkk WWWW 8 5 3 4 5 4 7 4 8 z nnnnnn 6 30 长为12的序列 定义在011n 上 3 1 2 3 4 3 1 0 2 4 6 3 x n 该序列有一个12点的离散傅里叶变换 DFT 011X kx nk 要求在不计算离 散傅里叶变换的条件下 求出下面的值 0 X 6 X 11 0 k X k 11 4 6 0 jk k eX k 11 2 0 k X k 解 1 0 1 0 1 N kn N n N kn N k X kx n W x nX k W N 1 0 0 14 N n Xx n 11 2 00 6 1 18 NN nNn N nn Xx n Wx n 11 00 0 36 NN kn N kk X k WNx nX kNx 2 2 111111 j4j8 j 4 6 1212 000 e e e 8 24 kk k kkk X kX kX kNx 1111 22 00 1368 kn X kNx n 6 34 两个有限长序列 x n和 y n的零值区间为 0 0 6 0 0 15 x nnn y nnn 对每个序列作15点DFT 即 DFT 0 1 14 DFT 0 1 14 X Kx nk Y Ky nk 如果 第 6 章 离散时间信号的频域分析 22 0 1 14 IDFT 0 1 14 F kX k Y kk f nF kk i 试问在哪些点上 f nx ny n 为什么 解 设 l f nx ny n 15 15 r l f nx ny nf nr Rn 只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上 才满足 l f nf n 514 l f nf nx ny nn 6 39 用微处理机对实数序列作谱分析 要求谱分辨率10FHz 信号最高频率为1kHz 试确定以下各参数 最小记录时间 p T 最大抽样间隔 max T 最少抽样点数 min N 在频带宽度不变的情况下 将频率分辨率提高一倍的N值 解 min 1 0 1 s p T F max minmax 11 0 5 ms 2 s T ff min min 3 max 0 1 200 0 5 10 p T N T 因为频带宽度不变 所以 p T要提高 min 1 0 2 s 5 p T min min 3 max 0 2 400 0 5 10 p T N T 信号与信息处理基础 习题及题解 23 第 7 章 离散时间信号的复频域分析 7 2 求序列 1 3 1 1 nunf n 的z变换 解 13 1 331 3 n zz f nu n z z 由序列移位特性 得 1 1 133 1 33131 n z f nu nz zz 7 3 求序列 nununf n n 3 1 3的z变换 解 3 3 n z u n z 13 1 331 3 n zz u n z z 由线性特性 得 13 3 3331 n n zz f nu nu n zz 7 7 求序列 51 nununf的z变换 解 1 z u n z 由序列移位特性 得 1 1 1 11 z u nz zz 4 5 5 11 zz u nz zz 由线性特性 得 44 11 1 5 111 zz f nu nu n zzz 7 8 求序列 75132 nf的z变换 解 由定义式可得 1234 2357 n n f nf n zzzzz 信号与信息处理基础 习题及题解 24 第 8 章 信息论与编码 8 1 用信息论的理论简单解释下列现象 一个最古老的问题 已知12个球中有一个球的重量与其它球不同 其它球均等重 用无砝码的天平至少须称3次才能找出此球 中新网3月23日电 据路透社报道 美国联邦法院今天裁决 特莉 夏沃的进食管已 于18日被移除 即被执行安乐死 法院今日的裁决意味着 这名因心脏病而导致脑 部瘫痪 卧床15年之久的美国植物人走到了生命的尽头 解 天平有3种状态 即平衡 左重 左轻 所以每称一次消除的不确定性为log3 12个球中的不等重球 可较轻 也可较重 的不确定性为 24log 2 1 12 1 log 3log3 log24 3 次测量可以找出该球 该新闻带来的信息是 特莉 夏沃的脑部瘫痪已经没有了信息 她的存在已经没有任 何信息量 没有信息就不能更好地利用物质和能量 她的存在也没有价值 8 2 从大量统计资料知道 男性中红绿色盲的发病率为7 女性发病率为0 5 若问一位男士 你是否是色盲 他的回答可能是 是 可能是 否 问这两个回 答中各含多少信息量 从计算的结果得出一个什么结论 在第一问中 平均每个回答中含有多少信息量 如果问一位女士 问她回答 是或否 前后不确定性各为多少 解 22 22 7 log log 0 073 837 93 log log 0 930 105 Y YY N NN p x I xp xbit p x I xp xbit 结论 在男性中患有红绿色盲的人比未患有的人少的多 被询问的人回答否的发生概率 更大 则含有的信息量要少了 2 222 log 0 07log 0 070 93log 0 93 0 366 ii i H Xp xp xbit symbol symbolbitxpxpXH i ii 045 0 995 0log995 0005 0log005 0 log 22 2 2 回答后不确定性变为0 8 3 有两个二元随机变量X和Y 它们的联合概率为 X Y 0 1 x 1 2 x 0 1 y 1 8